【状元之路】2014-2015学年北师大版数学必修一单元测评二　函　数

单元测评(二)　函　数
(时间：90分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．若集合A＝{y|y＝x，－1≤x≤1}，B＝{y|y＝2－x，0＜x≤1}，则A∩B等于(　　)www.21-cn-jy.com
A．(－∞，－1]　　　　　 B．[－1,1]
C．? D．{1}
解析：∵由y＝x (－1≤x≤1)可得－1≤y≤1，
故A＝{y|－1≤y≤1}．
由y＝2－x(0＜x≤1)得1≤y＜2，
故B＝{y|1≤y＜2}，故A∩B＝{1}．
答案：D
2．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A. B.
C. D.
解析：由2x－3＞0得x＞.
答案：D
3．下列对应关系：
①A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f：x→x的平方根；②A＝R，B＝R，f：x→x的倒数；③A＝R，B＝R，f：x→x2－2；④A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中数的平方．其中A到B的映射的是(　　)
A．①③ B．②④
C．③④ D．②③
解析：根据映射的概念易知③④是A到B的映射．
答案：C
4．设f(x)＝，则＝(　　)
A．1 B．－1
C. D．－
解析：f(x)＝，
f＝＝＝－＝－f(x)．
＝－1.则＝－1.
答案：B
5．下列函数为偶函数的是(　　)
A．f(x)＝x4－1 B．f(x)＝x2(－1＜x＜3)
C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝
解析：由定义域关于原点对称，且f(－x)＝f(x)得B、C、D都错．
答案：A
6．若偶函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则(　　)
A．f(－1.5)＜f(－1)＜f(2)
B．f(－1)＜f(－1.5)＜f(2)
C．f(2)＜f(－1)＜f(－1.5)
D．f(2)＜f(－1.5)＜f(－1)
解析：f(x)在(－∞，－1]上是增函数，
∴f(－2)＜f(－1.5)＜f(－1)，
又f(x)是偶函数，
∴f(2)＝f(－2)，
∴f(2)＜f(－1.5)＜f(－1)．
答案：D
7．函数y＝x2－4x＋1，x∈[2,5]的值域是(　　)
A．[1,6] B．[－3,1]
C．[－3,6] D．[－3，＋∞)
解析：y＝(x－2)2－3，函数在[2，＋∞)上是增函数，所以f(2)＝－3，又x∈[2,5]，∴f(5)＝6.21·cn·jy·com
答案：C
8．已知f(x)是奇函数，且对任意实数x1，x2(x1≠x2)，恒有＞0，则下列结论一定正确的是(　　)2·1·c·n·j·y
A．f(－3)＞f(5) B．f(－3)＜f(－5)
C．f(－5)＞f(3) D．f(－3)＞f(－5)
解析：设x1＞x2＞0，则f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，又f(x)为奇函数，
∴f(x)在R上为增函数，
∵－3＞－5，
∴f(－3)＞f(－5)，故正确答案为D.
答案：D
9．设f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，若x1＜0，且x1＋x2＞0，则(　　)
A．f(x1)＞f(x2)
B．f(x1)＝f(x2)
C．f(x1)＜f(x2)
D．无法比较f(x1)与f(x2)的大小
解析：x1＜0，且x1＋x2＞0，∴x1＞－x2，
又f(x)在(－∞，0)为减函数，
∴f(x1)＜f(－x2)，
又f(x)是偶函数，∴f(x1)＜f(x2)．
答案：C
10．已知反比例函数y＝的图像如图所示，则二次函数y＝2kx2－4x＋k2的图像大致为(　　)

A. B.
　
C. D.
解析：由反比例函数的图像知k＜0，∴二次函数开口向下，排除A、B，又对称轴为x＝＜0，排除C.
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．已知f(x)为偶函数，当－1≤x＜0时，f(x)＝x＋1，那么当0＜x≤1时，f(x)＝__________.21cnjy.com
解析：0＜x≤1时，－1≤－x＜0，f(－x)＝－x＋1，
∴此时f(x)＝f(－x)＝－x＋1＝1－x.
答案：1－x
12．若函数f(x)＝x2－(2a－1)x＋a＋1是(1,2)上的单调函数，则实数a的取值范围为__________．21世纪教育网版权所有
解析：函数f(x)的对称轴为x＝＝a－，
∵函数在(1,2)上单调，∴a－≥2或a－≤1，即a≥或a≤.
答案：a≥或a≤
13．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
　　
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f[g(1)]的值为__________；当g[f(x)]＝2时，x＝__________.
解析：f[g(1)]＝f(3)＝1，
∵g[f(x)]＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.
答案：1　1
14．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是__________．【来源：21·世纪·教育·网】
解析：注意到奇函数的图像关于原点成中心对称，用对称的思想方法补全函数f(x)在[－5,5]上的图像，如下图所示．21·世纪*教育网
由图可知，f(x)＜0的解集为{x|－2＜x＜0，或2＜x≤5}．
答案：(－2,0)∪(2,5]
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)已知二次函数f(x)＝x2＋2(m－2)x＋m－m2.
(1)若函数的图像经过原点，且满足f(2)＝0，求实数m的值；
(2)若函数在区间[2，＋∞)上为增函数，求m的取值范围．
解：(1)∵f(0)＝0，f(2)＝0，
∴∴m＝1.(6分)
(2)∵y＝f(x)在[2，＋∞)为增函数，
∴对称轴x＝－≤2，
∴m≥0.(12分)
16．(12分)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断并证明f(x)的奇偶性；
(3)求证：f＝－f(x)．
解：(1)由1－x2≠0得x≠±1，故f(x)的定义域为{x|x≠±1，x∈R}．(4分)
(2)f(x)是偶函数，证明如下：
设x∈{x|x≠±1，x∈R}，则－x∈{x|x≠±1，x∈R}．
∵f(－x)＝＝＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．(8分)
(3)∵f＝＝＝
＝－＝－f(x)，
∴f＝－f(x)成立．(12分)
17．(12分)已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．21教育网
(1)求函数g(x)的定义域；
(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．
解：(1)由题意可知
解得即＜x＜.(4分)
故函数f(x)的定义域为.(6分)
(2)由g(x)≤0，得f(x－1)＋f(3－2x)≤0，
∴f(x－1)≤－f(3－2x)．(8分)
∵f(x)为奇函数，
∴f(x－1)≤f(2x－3)．
而f(x)在(－2,2)上单调递减，
∴
解得＜x≤2.(10分)
∴g(x)≤0的解集为.(12分)
18．(14分)已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2.
用单调函数定义可证f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，(4分)
∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.
(6分)
(2)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝＞0恒成立，等价于x2＋2x＋a＞0恒成立．(8分)
设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)．
∵y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，
∴当x＝1时，ymin＝3＋a.(12分)
于是，当且仅当ymin＝3＋a＞0时，f(x)＞0恒成立．
∴a＞－3.(14分)