【状元之路】2014-2015学年北师大版数学必修一单元测评三　指数函数和对数函数

单元测评(三)　指数函数和对数函数
(时间：90分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．化简[]的结果为(　　)
A．5　　　　　　　　　 B.
C．－ D．－5
解析：[]＝()＝5＝5＝.
答案：B
2．若log5·log36·log6x＝2，则x等于(　　)
A．9 B.
C．25 D.
解析：由换底公式，得··＝2，
∴－＝2.
∴lgx＝－2lg5＝lg，∴x＝.
答案：D
3．若f(x)＝，则f(x)的定义域为(　　)
A. B.
C. D．(0，＋∞)
解析：f(x)要有意义，需log (2x＋1)＞0，
即0＜2x＋1＜1，解得－＜x＜0.
答案：A
4．函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．|a|＞1 B．|a|＞2
C．a＞ D．1＜|a|＜
解析：由0＜a2－1＜1得1＜a2＜2，∴1＜|a|＜.
答案：D
5．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　)
A．y＝5 B．y＝1－x
C．y＝ D．y＝
解析：y＝5的值域是(0,1)∪(1，＋∞)；y＝1－x的值域为(0，＋∞)；y＝的值域为[0，＋∞)；y＝值域为[0,1)，故选B.
答案：B
6．函数y＝的图像的大致形状是(　　)

A. B.
　　　 　　
C. D.
解析：原函数式化为y＝
答案：D
7．函数y＝的值域是(　　)
A．(－2，－1) B．(－2，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－2，－1]
解析：当x≤1时，0＜3x－1≤31－1＝1，∴－2＜3x－1－2≤－1.
当x＞1时，x＜1，∴0＜x－1＜0＝1，∴－2＜x－1－2＜1－2＝－1.
答案：D
8．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像为(　　)21世纪教育网版权所有
A.　　　　　　B.
C.　　　　　　D.
解析：由题意知前3年年产量增大速度越来越快，可知在单位时间内，C的值增大的很快，从而可判定结果．
答案：A
9．设函数f(x)＝若f(x0)＞1，则x0的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(0,2)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D．(－1,3)
解析：当x0≥2时，∵f(x0)＞1，∴log2(x0－1)＞1，即x0＞3；当x0＜2时，由f(x0)＞1得x0－1＞1，x0＞－1，∴x0＜－1，∴x0∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．21教育网
答案：C
10．函数f(x)＝loga(bx)的图像如图，其中a，b为常数．下列结论正确的是(　　)
A．0＜a＜1，b＞1
B．a＞1,0＜b＜1
C．a＞1，b＞1
D．0＜a＜1,0＜b＜1
解析：由于函数单调递增，∴a＞1，
又f(1)＞0，即logab＞0＝loga1，∴b＞1.
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．若函数y＝则f＝__________.
解析：∵－1＝log3＜log3＜log31＝0，
答案：2
12．函数y＝log3(x2－2x)的单调减区间是__________．
解析：令u＝x2－2x，则y＝log3u.
∵y＝log3u是增函数，u＝x2－2x＞0的减区间是(－∞，0)，
∴y＝log3(x2－2x)的减区间是(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
13．若函数f(x)＝loga(x＋)是奇函数，则a＝__________.
解析：由题意知，f(x)的定义域为R，又f(x)为奇函数，
∴f(0)＝0，即loga(0＋)＝0，＝1，
∵a＞0且a≠1，∴a＝.
答案：
14．已知f(x)的定义域为[0,1]，则函数y＝f[ (3－x)]的定义域是__________．21cnjy.com
解析：由0≤ (3－x)≤1
?≤3－x≤1?2≤x≤.
答案：
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)若2＜1，求a的取值范围．
解：∵2＜1，
∴－1＜loga＜1?loga＝－1＜loga＜1＝logaa.(2分)
(1)当a＞1时，有y＝logax为增函数，
∴＜＜a.
∴a＞，结合a＞1，故a＞.(6分)
(2)当0＜a＜1时，有y＝logax为减函数，
∴＞＞a.
∴a＜，结合0＜a＜1，故0＜a＜.(10分)
∴a的取值范围是{a|0＜a＜}∪{a|a＞}．
(12分)
16．(12分)已知f(x)＝ax－a－x·lgk(a＞0，且a≠1)为奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)讨论f(x)的单调性．
解：(1)f(－x)＝a－x－ax·lgk，－f(x)＝－ax＋a－x·lgk，
又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)
∴a－x－ax·lgk＝a－xlgk－ax，
∴lgk＝1?k＝10.(6分)
(2)f(x)＝ax－a－x
当a＞1时，ax和－a－x在定义域上均为增函数，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．(8分)
当0＜a＜1时，ax和－a－x在定义域上均为减函数，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．(12分)
17．(12分)已知函数f(x)＝满足f(c2)＝.
(1)求常数c的值；
(2)解不等式f(x)＞＋1.
解：(1)因为0＜c＜1，所以0＜c2＜c.
f(c2)＝，即c3＋1＝，得c＝.(4分)
(2)由(1)得f(x)＝
(6分)
f(x)＞＋1，当0＜x＜时，解得＜x＜；
(8分)
当≤x＜1时，解得≤x＜.(10分)
所以f(x)＞＋1的解集为{x|＜x＜}．
(12分)
18．(14分)已知二次函数f(x)是偶函数，且f(4)＝4f(2)＝16.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝loga[f(x)－ax](a＞0，且a≠1)在区间[2,3]上为增函数，求实数a的取值集合．21·cn·jy·com
解：(1)设f(x)＝a1x2＋b1x＋c1，
∵f(x)是偶函数，∴b1＝0，
又f(4)＝4f(2)＝16，则
解得∴f(x)＝x2.(6分)
(2)由(1)知，当x∈[2,3]时，g(x)＝loga(x2－ax)在[2,3]上为增函数，则
①当0＜a＜1时，y＝logau在其定义域内递减，要使g(x)在[2,3]上递增，
则要u＝x2－ax在[2,3]上递减且u＞0，
此时a必须满足(无解)；(8分)
②当a＞1时，y＝logau在定义域内递增，
要使g(x)在[2,3]上递增，
则要u＝x2－ax在[2,3]上递增且u＞0，此时a必须满足?a＜2，(12分)
由①、②得实数a的取值集合为{a|1＜a＜2}．
(14分)