【状元之路】2014-2015学年北师大版数学必修一单元测评四 函数应用
文档属性
| 名称 | 【状元之路】2014-2015学年北师大版数学必修一单元测评四 函数应用 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 335.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-12-06 17:09:59 | ||
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文档简介
单元测评(四) 函数应用
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．函数f(x)＝的零点有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：令f(x)＝0，得x－1＝0或ln(x－2)＝0，∴x＝1或x＝3，但x＝1时，ln(x－2)无意义，x＝3时，分母为0，故f(x)无零点．
答案：A
2．函数f(x)＝lgx－的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4，＋∞)
解析：∵f(1)＝lg1－2＜0，f(2)＝lg2－1＜0，
f(3)＝lg3－＜0，f(4)＝2lg2－＞0，
∴f(3)·f(4)＜0.
∴f(x)在(3,4)内有一个零点．∴选C.
答案：C
3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )21·cn·jy·com
A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51
解析：依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，所以总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)，所以当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．www-2-1-cnjy-com
答案：B
4．已知函数f(x)＝，则方程f(x)＋1＝0的实根个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：方程f(x)＋1＝0化为或
∴x＝－2或x＝4，故选C.
答案：C
5．函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6在区间[－2,4]上的零点必在( )
A．[－2,1] B.
C. D.
解析：由于f(－2)＜0，f(4)＞0，f＝f(1)＜0，f＝f＞0，f＜0，
∴零点介于.故选D.
答案：D
6．如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的是( )
①这几年人民生活水平逐年得到提高；②生活费收入指数增长最快的一年是2010年；③生活价格指数上涨速度最快的一年是2011年；④虽然2012年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．2-1-c-n-j-y
A．1项 B．2项 C．3项 D．4项
解析：由题意“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确．“生活费收入指数”在2010～2011年最陡．故②正确，“生活价格指数”在2011～2012年最平缓，故③不正确，由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故④正确．故选C. 21*cnjy*com
答案：C
7．产品生产件数x与成本y(万元)之间有函数关系y＝3 000＋20x－0.1x2，若每件产品成本平均不超过25万元，且每件产品用料6 t．现在库存原料30 t，旺季可进料900t，旺季最高产量是( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．150件 B．155件 C．200件 D．1 000件
解析：?150≤x≤155.
答案：B
8．某县计划十年内产值翻两番，则产值平均每年增长率(lg2＝0.3 010，lg11.49＝1.060 2)为( )21*cnjy*com
A．1.149% B．0.149% C．14.9% D．1.49%
解析：(1＋x)10＝4?lg(1＋x)＝0.060 2＝lg11.49－1＝lg1.149，∴1＋x＝1.149，即x＝0.149.
答案：C
9．已知函数f(x)＝2ax＋4，若在区间[－2,1]上存在x0，使f(x0)＝0，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
B．[1,2]
C．[－1,4]
D．[－2,1]
解析：f(－2)f(1)≤0?(－4a＋4)(2a＋4)≤0?a≤－2或a≥1.
答案：A
10．某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：
表1 市场供给表
单位(元/kg)
2
2.4
2.8
3.2
3.6
4
供给量(1 000 kg)
50
60
70
75
80
90
表2 市场需求表
单位(元/kg)
4
3.4
2.9
2.6
2.3
2
需求量(1 000 kg)
50
60
65
70
75
80
根据以上提供的信息，市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间( )
A．(2.3,2.4) B．(2.4,2.6)
C．(2.6,2.8) D．(2.8,2.9)
解析：根据题目中给出的表格，我们可以对应着做出数据的散点图，可很容易地发现适用一次函数分别作供应量和需求量的近似模拟函数，则供给量函数为y＝20x＋10，需求量函数为y＝－15x＋110，由20x＋10＝－15x＋110，得x＝20/7≈2.86，故选D.21cnjy.com
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．若定义在R上的函数f(x)是奇函数，且有三个零点x1、x2、x3，则x1＋x2＋x3的值为__________．www.21-cn-jy.com
解析：因为f(x)是奇函数，其图像关于原点对称，它有三个零点，即f(x)的图像与x轴有三个交点，故必有一个为原点，另两个横坐标互为相反数．∴x1＋x2＋x3＝0.21·世纪*教育网
答案：0
12．某宾馆有房间50套，现每套每天租金50元，基本上每天客满，如果提高租金，则顾客减少，预计大约每套提高租金5元，即有一套房间空起来．要使每天收入最高，房间租金应订为__________元．
解析：设每套提高租金x元，
则收入y＝(50＋x)＝(－x2＋200x＋12 500)，
故当x＝100时，y取得最大值，
从而每套房间租金应定为150元．
答案：150
13．已知m∈R时，函数f(x)＝m(x2－1)＋x－a恒有零点，则实数a的取值范围是__________．【版权所有：21教育】
解析：①当m＝0时，f(x)＝x－a＝0，得x＝a恒有解，此时a∈R.
②当m≠0时，f(x)＝0，即mx2＋x－m－a＝0恒有解，
∴Δ1＝1－4m(－m－a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．
∴Δ2＝16a2－16≤0，解得－1≤a≤1.
因此对m∈R，函数恒有零点，有－1≤a≤1.
答案：－1≤a≤1
14．函数f(x)＝，则函数y＝f(x)－的零点是__________．
解析：2x－2－＝0，x＝＞1，满足条件；x2－2x－＝0，x＝，又x＜1，则x＝，所以答案为，.21教育名师原创作品
答案：，
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)(1)若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，求实数a的值；
(2)若函数f(x)＝|4x－x2|－k有4个零点，求实数k的取值范围．
解：(1)当a＝0时，f(x)＝－x－1有唯一零点－1，符合题意；
当a≠0时，f(x)有唯一零点，即ax2－x－1＝0有惟一解．
由Δ＝1＋4a＝0得a＝－.
综上可知a的值为0或－.(6分)
(2)设g(x)＝|4x－x2|，画出其图像如图所示．
函数f(x)有4个零点，即方程g(x)－k＝0有4个不同的实数解，也就是y＝g(x)的图像与直线y＝k有4个不同的公共点，由图可知0＜k＜4.
(12分)
16．(12分)渔场中鱼群最大养殖量为m吨．为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求鱼群年增长量的最大值；
(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
解：(1)y＝kx(0＜x＜m)．(4分)
(2)∵y＝－(x2－mx)＝－2＋，
∴当x＝时，y取得最大值.(8分)
(3)依题意，为保证鱼群留有一定的生长空间，则有实际养殖量与年增长值的和小于最大养殖量，即0＜x＋y＜m.21世纪教育网版权所有
因为当x＝时，y最大＝，所以联想“f(x，y)≤a?f(x，y)max≤a”这一等价转化命题，则有2·1·c·n·j·y
0＜＋＜m，解得－2＜k＜2.
但k＞0，从而得0＜k＜2.(12分)
17．(12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)．
(1)若－1是f(x)的一个零点，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求f(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．【来源：21·世纪·教育·网】
解：(1)∵－1是f(x)的一个零点且对任意x均有f(x)≥0，
∴f(－1)＝a－b＋1＝0且－＝－1，
∴
∴f(x)＝x2＋2x＋1.
经验证知f(x)＝x2＋2x＋1符合题意．(6分)
(2)由题意得g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.
∴对称轴为x＝－.
∵g(x)在[－2,2]时是单调函数，
∴－≤－2或－≥2，
∴k≤－2或k≥6.(12分)
18．(14分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．21教育网
(1)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；
(2)当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得利润是多少元？(服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂单价－成本)【出处：21教育名师】
解：(1)当0＜x≤100时，P＝60，(2分)
当100＜x≤500时，
P＝60－0.02(x－100)＝62－.(4分)
∴P＝f(x)＝(x∈N)．
(6分)
(2)设销售商一次订购量为x件时，
工厂获得的利润为L元，则
L＝(P－40)x＝(x∈N)．
(10分)
当x＝450时，L＝5 850(元)．(12分)
因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获得的利润是5 850元．(14分)
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．函数f(x)＝的零点有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：令f(x)＝0，得x－1＝0或ln(x－2)＝0，∴x＝1或x＝3，但x＝1时，ln(x－2)无意义，x＝3时，分母为0，故f(x)无零点．
答案：A
2．函数f(x)＝lgx－的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4，＋∞)
解析：∵f(1)＝lg1－2＜0，f(2)＝lg2－1＜0，
f(3)＝lg3－＜0，f(4)＝2lg2－＞0，
∴f(3)·f(4)＜0.
∴f(x)在(3,4)内有一个零点．∴选C.
答案：C
3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )21·cn·jy·com
A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51
解析：依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，所以总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)，所以当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．www-2-1-cnjy-com
答案：B
4．已知函数f(x)＝，则方程f(x)＋1＝0的实根个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：方程f(x)＋1＝0化为或
∴x＝－2或x＝4，故选C.
答案：C
5．函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6在区间[－2,4]上的零点必在( )
A．[－2,1] B.
C. D.
解析：由于f(－2)＜0，f(4)＞0，f＝f(1)＜0，f＝f＞0，f＜0，
∴零点介于.故选D.
答案：D
6．如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的是( )
①这几年人民生活水平逐年得到提高；②生活费收入指数增长最快的一年是2010年；③生活价格指数上涨速度最快的一年是2011年；④虽然2012年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．2-1-c-n-j-y
A．1项 B．2项 C．3项 D．4项
解析：由题意“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确．“生活费收入指数”在2010～2011年最陡．故②正确，“生活价格指数”在2011～2012年最平缓，故③不正确，由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故④正确．故选C. 21*cnjy*com
答案：C
7．产品生产件数x与成本y(万元)之间有函数关系y＝3 000＋20x－0.1x2，若每件产品成本平均不超过25万元，且每件产品用料6 t．现在库存原料30 t，旺季可进料900t，旺季最高产量是( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．150件 B．155件 C．200件 D．1 000件
解析：?150≤x≤155.
答案：B
8．某县计划十年内产值翻两番，则产值平均每年增长率(lg2＝0.3 010，lg11.49＝1.060 2)为( )21*cnjy*com
A．1.149% B．0.149% C．14.9% D．1.49%
解析：(1＋x)10＝4?lg(1＋x)＝0.060 2＝lg11.49－1＝lg1.149，∴1＋x＝1.149，即x＝0.149.
答案：C
9．已知函数f(x)＝2ax＋4，若在区间[－2,1]上存在x0，使f(x0)＝0，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
B．[1,2]
C．[－1,4]
D．[－2,1]
解析：f(－2)f(1)≤0?(－4a＋4)(2a＋4)≤0?a≤－2或a≥1.
答案：A
10．某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：
表1 市场供给表
单位(元/kg)
2
2.4
2.8
3.2
3.6
4
供给量(1 000 kg)
50
60
70
75
80
90
表2 市场需求表
单位(元/kg)
4
3.4
2.9
2.6
2.3
2
需求量(1 000 kg)
50
60
65
70
75
80
根据以上提供的信息，市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间( )
A．(2.3,2.4) B．(2.4,2.6)
C．(2.6,2.8) D．(2.8,2.9)
解析：根据题目中给出的表格，我们可以对应着做出数据的散点图，可很容易地发现适用一次函数分别作供应量和需求量的近似模拟函数，则供给量函数为y＝20x＋10，需求量函数为y＝－15x＋110，由20x＋10＝－15x＋110，得x＝20/7≈2.86，故选D.21cnjy.com
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．若定义在R上的函数f(x)是奇函数，且有三个零点x1、x2、x3，则x1＋x2＋x3的值为__________．www.21-cn-jy.com
解析：因为f(x)是奇函数，其图像关于原点对称，它有三个零点，即f(x)的图像与x轴有三个交点，故必有一个为原点，另两个横坐标互为相反数．∴x1＋x2＋x3＝0.21·世纪*教育网
答案：0
12．某宾馆有房间50套，现每套每天租金50元，基本上每天客满，如果提高租金，则顾客减少，预计大约每套提高租金5元，即有一套房间空起来．要使每天收入最高，房间租金应订为__________元．
解析：设每套提高租金x元，
则收入y＝(50＋x)＝(－x2＋200x＋12 500)，
故当x＝100时，y取得最大值，
从而每套房间租金应定为150元．
答案：150
13．已知m∈R时，函数f(x)＝m(x2－1)＋x－a恒有零点，则实数a的取值范围是__________．【版权所有：21教育】
解析：①当m＝0时，f(x)＝x－a＝0，得x＝a恒有解，此时a∈R.
②当m≠0时，f(x)＝0，即mx2＋x－m－a＝0恒有解，
∴Δ1＝1－4m(－m－a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．
∴Δ2＝16a2－16≤0，解得－1≤a≤1.
因此对m∈R，函数恒有零点，有－1≤a≤1.
答案：－1≤a≤1
14．函数f(x)＝，则函数y＝f(x)－的零点是__________．
解析：2x－2－＝0，x＝＞1，满足条件；x2－2x－＝0，x＝，又x＜1，则x＝，所以答案为，.21教育名师原创作品
答案：，
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)(1)若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，求实数a的值；
(2)若函数f(x)＝|4x－x2|－k有4个零点，求实数k的取值范围．
解：(1)当a＝0时，f(x)＝－x－1有唯一零点－1，符合题意；
当a≠0时，f(x)有唯一零点，即ax2－x－1＝0有惟一解．
由Δ＝1＋4a＝0得a＝－.
综上可知a的值为0或－.(6分)
(2)设g(x)＝|4x－x2|，画出其图像如图所示．
函数f(x)有4个零点，即方程g(x)－k＝0有4个不同的实数解，也就是y＝g(x)的图像与直线y＝k有4个不同的公共点，由图可知0＜k＜4.
(12分)
16．(12分)渔场中鱼群最大养殖量为m吨．为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求鱼群年增长量的最大值；
(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
解：(1)y＝kx(0＜x＜m)．(4分)
(2)∵y＝－(x2－mx)＝－2＋，
∴当x＝时，y取得最大值.(8分)
(3)依题意，为保证鱼群留有一定的生长空间，则有实际养殖量与年增长值的和小于最大养殖量，即0＜x＋y＜m.21世纪教育网版权所有
因为当x＝时，y最大＝，所以联想“f(x，y)≤a?f(x，y)max≤a”这一等价转化命题，则有2·1·c·n·j·y
0＜＋＜m，解得－2＜k＜2.
但k＞0，从而得0＜k＜2.(12分)
17．(12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)．
(1)若－1是f(x)的一个零点，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求f(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．【来源：21·世纪·教育·网】
解：(1)∵－1是f(x)的一个零点且对任意x均有f(x)≥0，
∴f(－1)＝a－b＋1＝0且－＝－1，
∴
∴f(x)＝x2＋2x＋1.
经验证知f(x)＝x2＋2x＋1符合题意．(6分)
(2)由题意得g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.
∴对称轴为x＝－.
∵g(x)在[－2,2]时是单调函数，
∴－≤－2或－≥2，
∴k≤－2或k≥6.(12分)
18．(14分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．21教育网
(1)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；
(2)当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得利润是多少元？(服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂单价－成本)【出处：21教育名师】
解：(1)当0＜x≤100时，P＝60，(2分)
当100＜x≤500时，
P＝60－0.02(x－100)＝62－.(4分)
∴P＝f(x)＝(x∈N)．
(6分)
(2)设销售商一次订购量为x件时，
工厂获得的利润为L元，则
L＝(P－40)x＝(x∈N)．
(10分)
当x＝450时，L＝5 850(元)．(12分)
因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获得的利润是5 850元．(14分)