【状元之路】2014-2015学年新课标B版数学必修一单元测评二　函　数

单元测评(二)　函　数
(时间：90分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D.
解析：由2x－3＞0得x＞.
答案：D
2．下列函数为偶函数的是(　　)
A．f(x)＝x4－1 B．f(x)＝x2(－1＜x＜3)
C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝
解析：由定义域关于原点对称，且f(－x)＝f(x)得B、C、D都错．
答案：A
3．函数y＝x2－4x＋1，x∈[2,5]的值域是(　　)
A．[1,6] B．[－3,1]
C．[－3,6] D．[－3，＋∞)
解析：y＝(x－2)2－3，函数在[2，＋∞)上是增函数，所以f(2)＝－3，又x∈[2,5]，∴f(5)＝6.21教育网
答案：C
4．下列选项中正确的是(　　)
A．f(x)＝－x2＋x－6的单调增区间为
B．f(x)＝－在[0，＋∞)上是增函数
C．f(x)＝在(－∞，＋∞)上是减函数
D．f(x)＝－x3＋1是增函数
解析：f(x)＝－x2＋x－6在上是增函数，故A正确；f(x)＝－在[0，＋∞)上是减函数，f(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，f(x)＝－x3＋1是减函数．21·cn·jy·com
答案：A
5．已知函数f(x)＝(a－x)|3a－x|，a是常数且a＞0，下列结论正确的是(　　)
A．当x＝3a时，有最小值0
B．当x＝3a时，有最大值0
C．无最大值且无最小值
D．有最小值，但无最大值
解析：由f(x)＝可画出简图．
分析知C正确．
答案：C
6．函数f(x)＝－x＋5的零点个数为(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
解析：令f(x)＝0得＝x－5，∵函数y＝与y＝x－5图像有两个交点，∴函数f(x)＝－x＋5有两个零点．【来源：21·世纪·教育·网】
答案：B
7．若|x|≤1时，y＝ax＋2a＋1的值有正有负，则a的取值范围为(　　)
A．a≥－ B．a≤－1
C．－1＜a＜－ D．以上都不是
解析：由于|x|≤1时，y＝ax＋2a＋1的值有正有负，则有f(－1)·f(1)＜0，即(3a＋1)·(a＋1)＜0，解得－1＜a＜－，故选C.21世纪教育网版权所有
答案：C
8．若函数f(＋1)＝x2－2x，则f(3)等于(　　)
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
解析：令＋1＝3，得x＝2，∴f(3)＝22－2×2＝0.
答案：A
9．设f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，若x1＜0，且x1＋x2＞0，则(　　)
A．f(x1)＞f(x2)
B．f(x1)＝f(x2)
C．f(x1)＜f(x2)
D．无法比较f(x1)与f(x2)的大小
解析：x1＜0，且x1＋x2＞0，∴x1＞－x2，
又f(x)在(－∞，0)为减函数，∴f(x1)＜f(－x2)，又f(x)是偶函数，∴f(x1)＜f(x2)．21·世纪*教育网
答案：C
10．已知反比例函数y＝的图像如图所示，则二次函数y＝2kx2－4x＋k2的图像大致为(　　)

A. B.
　　　　

C. D.
解析：由反比例函数的图像知k＜0，∴二次函数开口向下，排除A、B，又对称轴为x＝＜0，排除C.
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．已知f(x)为偶函数，当－1≤x＜0时，f(x)＝x＋1，那么当0＜x≤1时，f(x)＝__________.21cnjy.com
解析：0＜x≤1时，－1≤－x＜0，f(－x)＝－x＋1，
∴此时f(x)＝f(－x)＝－x＋1＝1－x.
答案：1－x
12．已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，(x，y∈R)，则下列各式恒成立的是__________．www.21-cn-jy.com
①f(0)＝0；②f(3)＝3f(1)；③f＝f(1)；④f(－x)·f(x)＜0.
解析：令x＝y＝0得f(0)＝0；令x＝2，y＝1得：f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)；令x＝y＝得：f(1)＝2f，www-2-1-cnjy-com
∴f＝f(1)；令y＝－x得：f(0)＝f(x)＋f(－x)即f(－x)＝－f(x)，∴f(－x)·f(x)＝－[f(x)]2≤0.2-1-c-n-j-y
答案：①②③
13．用二分法研究函数f(x)＝x3＋2x－1的零点，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈__________，第二次计算的f(x)的值为f(__________)．　　21*cnjy*com
解析：由函数零点的存在性定理，
∵f(0)＜0，f(0.5)＞0，
∴在(0,0.5)存在一个零点，第二次计算找中点即＝0.25.
答案：(0,0.5)　0.25
14．若函数f(x)＝x2－(2a－1)x＋a＋1是(1,2)上的单调函数，则实数a的取值范围为__________．【来源：21cnj*y.co*m】
解析：函数f(x)的对称轴为x＝＝a－，
∵函数在(1,2)上单调，∴a－≥2或a－≤1，即a≥或a≤.
答案：a≥或a≤
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(12分)已知二次函数f(x)＝x2＋2(m－2)x＋m－m2.
(1)若函数的图像经过原点，且满足f(2)＝0，求实数m的值；
(2)若函数在区间[2，＋∞)上为增函数，求m的取值范围．
解：(1)∵f(0)＝0，f(2)＝0，
∴∴m＝1.(6分)
(2)∵y＝f(x)在[2，＋∞)为增函数，
∴对称轴x＝－≤2，
∴m≥0.(12分)
16．(12分)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断并证明f(x)的奇偶性；
(3)求证：f＝－f(x)．
解：(1)由1－x2≠0得x≠±1，故f(x)的定义域为{x|x≠±1，x∈R}．(4分)
(2)f(x)是偶函数，证明如下：
设x∈{x|x≠±1，x∈R}，则－x∈{x|x≠±1，x∈R}．
∵f(－x)＝＝＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．(8分)
(3)∵f＝
＝＝
＝－
＝－f(x)，
∴f＝－f(x)成立．(12分)
17．(12分)已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．2·1·c·n·j·y
(1)求函数g(x)的定义域；
(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．
解：(1)由题意可知
解得即＜x＜.(4分)
故函数f(x)的定义域为.(6分)
(2)由g(x)≤0，得f(x－1)＋f(3－2x)≤0，
∴f(x－1)≤－f(3－2x)．(8分)
∵f(x)为奇函数，∴f(x－1)≤f(2x－3)．
而f(x)在(－2,2)上单调递减，
∴
解得＜x≤2.(10分)
∴g(x)≤0的解集为.(12分)
18．(14分)已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2.
用单调函数定义可证f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，(4分)
∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.
(6分)
(2)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝＞0恒成立，等价于x2＋2x＋a＞0恒成立．(8分)
设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)．
∵y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，
∴当x＝1时，ymin＝3＋a.(12分)
于是，当且仅当ymin＝3＋a＞0时，f(x)＞0恒成立．
∴a＞－3.(14分)