【状元之路】2014-2015学年新课标B版数学必修一单元测评三　基本初等函数Ⅰ

单元测评(三)　基本初等函数(Ⅰ)
(时间：90分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．化简[]的结果为(　　)
A．5　　　　　　　　　 B.
C．－ D．－5
解析：[]＝()＝5＝5＝.
答案：B
2．若log5·log36·log6x＝2，则x等于(　　)
A．9 B.
C．25 D.
解析：由换底公式，得··＝2，
∴－＝2.
∴lgx＝－2lg5＝lg，∴x＝.
答案：D
3．若f(x)＝，则f(x)的定义域为(　　)
A. B.
C. D．(0，＋∞)
解析：f(x)要有意义，需log (2x＋1)＞0，
即0＜2x＋1＜1，解得－＜x＜0.
答案：A
4．函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．|a|＞1 B．|a|＞2
C．a＞ D．1＜|a|＜
解析：由0＜a2－1＜1得1＜a2＜2，∴1＜|a|＜.
答案：D
5．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　)
A．y＝5 B．y＝1－x
C．y＝ D．y＝
解析：y＝5的值域是(0,1)∪(1，＋∞)；y＝1－x的值域为(0，＋∞)；y＝的值域为[0，＋∞)；y＝值域为[0,1)，故选B.
答案：B
6．函数y＝的图像的大致形状是(　　)

A. B.
　　　 　　
C. D.
解析：原函数式化为y＝
答案：D
7．函数y＝的值域是(　　)
A．(－2，－1) B．(－2，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－2，－1]
解析：当x≤1时，0＜3x－1≤31－1＝1，
∴－2＜3x－1－2≤－1.
当x＞1时，x＜1，∴0＜x－1＜0＝1，∴－2＜x－1－2＜1－2＝－1.
答案：D
8．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像为(　　)21教育网
A.　　　　　　B.
C.　　　　　　D.
解析：由题意知前3年年产量增大速度越来越快，可知在单位时间内，C的值增大的很快，从而可判定结果．
答案：A
9．设函数f(x)＝若f(x0)＞1，则x0的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(0,2)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D．(－1,3)
解析：当x0≥2时，∵f(x0)＞1，∴log2(x0－1)＞1，即x0＞3；当x0＜2时，由f(x0)＞1得x0－1＞1，x0＞－1，∴x0＜－1，∴x0∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．21·cn·jy·com
答案：C
10．函数f(x)＝loga(bx)的图像如图，其中a，b为常数．下列结论正确的是(　　)
A．0＜a＜1，b＞1
B．a＞1,0＜b＜1
C．a＞1，b＞1
D．0＜a＜1,0＜b＜1
解析：由于函数单调递增，∴a＞1，
又f(1)＞0，即logab＞0＝loga1，∴b＞1.
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．若函数y＝则f＝__________.
解析：∵－1＝log3＜log3＜log31＝0，
f＝＝3－log3＝3log32＝2.
答案：2
12．已知函数y＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]的最大值比最小值大2，则它的反函数在[1,4]上的最大值为__________．www.21-cn-jy.com
解析：当0由题意a－a2＝2，无解．
当a>1时，y＝ax在[1,2]上是增函数．
由题意a2－a＝2, 解得a＝2，a＝－1(舍去)．
∴函数y＝2x的反函数为y＝log2x，最大值为log24＝2.
答案：2
13．若函数y＝2x＋1，y＝b，y＝－2x－1三图像无公共点，结合图像求b的取值范围为__________．21世纪教育网版权所有
解析：如图．
当－1≤b≤1时，此三函数的图像无公共点．
答案：[－1,1]
14．已知f(x)＝log3x的值域是[－1,1]，那么它的反函数的值域为__________．
解析：∵－1≤log3x≤1，
∴log3≤log3x≤log33，∴≤x≤3.
∴f(x)＝log3x的定义域是，
∴f(x)＝log3x的反函数的值域是.
答案：
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)设函数y＝2|x＋1|－|x－1|.
(1)讨论y＝f(x)的单调性，作出其图像；
(2)求f(x)≥2的解集．
解：(1)y＝(2分)
当x≥1或x＜－1时，y＝f(x)是常数函数不具有单调性，
当－1≤x＜1时，y＝4x单调递增，(4分)
故y＝f(x)的单调递增区间为[－1,1)，其图像如图．
(6分)
(2)当x≥1时，y＝4≥2成立，
当－1≤x＜1时，由y＝22x≥2＝2×2＝2，得2x≥，x≥，∴≤x＜1.
当x＜－1时，y＝2－2＝≥2不成立，(10分)
综上，f(x)≥2的解集为.(12分)
16．(12分)设a＞1，若对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝3，求a的取值范围．21cnjy.com
解：∵logax＋logay＝3，
∴loga(xy)＝3.(4分)
∴xy＝a3，∴y＝.(6分)
∴函数y＝(a＞1)为减函数．(8分)
又当x＝a时，y＝a2，当x＝2a时，y＝＝，
∴?[a，a2]．
∴≥a.(10分)
又a＞1，∴a≥2.
∴a的取值范围为a≥2.(12分)
17．(12分)当1≤x≤64时，求y＝(log2x)4＋12(log2x)2·log2的最大值．
解：y＝(log2x)4＋12(log2x)2·log2
＝(log2x)2[(log2x)2－12log2x＋36]
＝(log2x)2(6－log2x)2
令log2x＝t，则y＝t2(6－t)2.
∵1≤x≤64，
∴0≤log2x＝t≤6，t(6－t)≥0.
当t＝3时，t(6－t)取最大值9，
∴y的最大值为81.
18．(14分)已知函数f(x)＝.
(1)证明函数f(x)是R上的增函数；
(2)求函数f(x)的值域；
(3)令g(x)＝，判定函数g(x)的奇偶性，并证明．
解：(1)证明：f(x)＝＝＝1－.
设x1，x2是R内任意两个值，且x1＜x2，则x2－x1＞0，
y2－y1＝f(x2)－f(x1)
＝－
＝
＝.
当x1＜x2时，2x1＜2x2，∴2x2－2x1＞0.
又2x1＋1＞0,2x2＋1＞0，
∴y2－y1＞0，
∴f(x)是R上的增函数．(5分)
(2)f(x)＝1－.
∵2x＋1＞1，∴0＜＜2，
即－2＜－＜0，∴－1＜1－＜1.
∴f(x)的值域为(－1,1)．(10分)
(3)由题意知g(x)＝＝·x，易知函数g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
g(－x)＝(－x)·＝(－x)·＝x·＝g(x)，
∴函数g(x)为偶函数．(14分)