角平分线的性质
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(共32张PPT)
学习数学并不难，
学习数学就像交朋友一样，
朋友是越交越熟的，
天天见面，
朋友之间就亲密无间了。
让我们一起扬帆启航吧！
角平分线的性质
复习提问
2、角平分线的概念
1、点到直线距离的意义。
一条射线
把一个角
分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
从直线外一点
到这条直线的垂线段
的长度，
叫做点到直线的距离。
下列两图中，能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是（ ）
图1
图2
B
P
A
l
1
l
2
PA
下列两图中，能表示角的平分线上的一点P到角的边上的距离的是（ ）
PM
如右图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗
A
C
D
B
E
A
Ｂ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
．
O
仔细观察步骤
尺规作角的平分线
A
Ｂ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
为什么OC是角平分线呢？
O
Ｏ
想一想：
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
证明：在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB
A
B
O
A
O
E
B
C
P
D
将∠AOB对折,在折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论
可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离,这两个距离相等.
折一折
已知：如图，OC是的∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。
求证：PD=PE
C
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP
∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）
问题探究
A
B
O
D
E
P
C
角平分线的性质1：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
B
A
D
O
P
E
C
性质应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离。
性质的作用：
证明线段相等。
性质的书写格式：
OP 是 的平分线
\
PD = PE
（在角的平分线上的点
到这个角的两边的距离相等。）
∵
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
1.∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD
（×）
2.∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD
（×）
3.∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，（ ）
DB
DC
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
√
不必再证全等
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、河流的距离相等，并且离公路与河流交叉处３00米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000 ）？
北
比例尺1：20000
S
△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且
BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
A
B
C
D
E
如图，由 于点 D ， 于点 E，PD= PE ， 可以得到什么结论 ？
OB
PE
^
PD
^
OA
到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。
已知：如图， ，
，垂足分别是
A、B，PD=PE ，
求证：点P在 的角平分线上。
B
A
D
O
P
E
到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
已知：如图， ， ， 垂足分别是 D、E，PD=PE，
求证：点P在 的角平分线上。
证明：
\
连接OP并延长OP
即点P在 角的平分线上
在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
（ HL）
\
（全等三角形的对应角相等）
OP = OP （公共边）
PD = PE （ 已 知 ）
\
≌
性质 2
B
A
D
O
P
E
∵
∴OP平分∠AOB
性质 2的应用书写格式：
OP 是 的平分线
PD= PE
\
（到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）
∵
D
E
O
P
A
B
性质 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
性质 2 到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。
B
A
D
O
P
E
C
\
PD = PE
OP 是 的平分线
∵
∵
\
OP 是 的平分线
PD = PE
用途：证线段相等
用途：判定一条射线是角平分线
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
∴___________
(___________________________________________)
(2). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∴__________
(_ ______________________________________________)
∴ _________ ____
A
C
D
E
B
1
2
∠1= ∠2
DC=DE
到角的两边的距离相等的点，在角平分线上。
角平分线上的点到角的两边的距离相等
随
练习
AD平分∠BAC
A
N
B
C
P
M
知识应用
1.如图，△ABC的角的平分线BM，
CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，
CA的距离相等.
想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
例：已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 垂直AB于D，PE垂直BC于E，PF垂直CA于F
∴PD=PE
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、CA的距离相等
D
E
F
A
B
C
P
M
N
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
2..直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有: ( )
A.一处 B. 两处
C.三处 D.四处
2 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= 。
60
BF
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么AE+DE= 。
6cm
课堂练习
如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且CD：DB=1：2，则点D到AB的距离为_________。
已知：如图， ∠ C= ∠ D=90° ， BC=BD 。
求证：（1）∠BAC= ∠BAD
（2） AC=AD
A
D
C
B
5.如图所示， △ABC中，AB=AC，M为BC中点，MD⊥AB于D，ME⊥AC于E。
求证：MD=ME。
AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点，且DB=DC
求证： ∠EBD= ∠FCD 。
Ｅ
Ａ
c
F
B
D
3.如图所示，PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D是AP上一点。
求证： ∠BDP= ∠CDP
小 结：
3 角的平分线的性质定理1，定理2是证明角相等，线段相等的新途径。定理1多用于证明线段相等，定理2多用于证明角相等或点在角平分线上。
1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
结束寄语
严格性之于数学家,犹如道德之于人.
证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.
学习数学并不难，
学习数学就像交朋友一样，
朋友是越交越熟的，
天天见面，
朋友之间就亲密无间了。
让我们一起扬帆启航吧！
角平分线的性质
复习提问
2、角平分线的概念
1、点到直线距离的意义。
一条射线
把一个角
分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
从直线外一点
到这条直线的垂线段
的长度，
叫做点到直线的距离。
下列两图中，能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是（ ）
图1
图2
B
P
A
l
1
l
2
PA
下列两图中，能表示角的平分线上的一点P到角的边上的距离的是（ ）
PM
如右图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗
A
C
D
B
E
A
Ｂ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
．
O
仔细观察步骤
尺规作角的平分线
A
Ｂ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
为什么OC是角平分线呢？
O
Ｏ
想一想：
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
证明：在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB
A
B
O
A
O
E
B
C
P
D
将∠AOB对折,在折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论
可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离,这两个距离相等.
折一折
已知：如图，OC是的∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。
求证：PD=PE
C
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP
∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）
问题探究
A
B
O
D
E
P
C
角平分线的性质1：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
B
A
D
O
P
E
C
性质应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离。
性质的作用：
证明线段相等。
性质的书写格式：
OP 是 的平分线
\
PD = PE
（在角的平分线上的点
到这个角的两边的距离相等。）
∵
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
1.∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD
（×）
2.∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD
（×）
3.∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，（ ）
DB
DC
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
√
不必再证全等
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、河流的距离相等，并且离公路与河流交叉处３00米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000 ）？
北
比例尺1：20000
S
△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且
BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
A
B
C
D
E
如图，由 于点 D ， 于点 E，PD= PE ， 可以得到什么结论 ？
OB
PE
^
PD
^
OA
到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。
已知：如图， ，
，垂足分别是
A、B，PD=PE ，
求证：点P在 的角平分线上。
B
A
D
O
P
E
到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
已知：如图， ， ， 垂足分别是 D、E，PD=PE，
求证：点P在 的角平分线上。
证明：
\
连接OP并延长OP
即点P在 角的平分线上
在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
（ HL）
\
（全等三角形的对应角相等）
OP = OP （公共边）
PD = PE （ 已 知 ）
\
≌
性质 2
B
A
D
O
P
E
∵
∴OP平分∠AOB
性质 2的应用书写格式：
OP 是 的平分线
PD= PE
\
（到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）
∵
D
E
O
P
A
B
性质 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
性质 2 到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。
B
A
D
O
P
E
C
\
PD = PE
OP 是 的平分线
∵
∵
\
OP 是 的平分线
PD = PE
用途：证线段相等
用途：判定一条射线是角平分线
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
∴___________
(___________________________________________)
(2). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∴__________
(_ ______________________________________________)
∴ _________ ____
A
C
D
E
B
1
2
∠1= ∠2
DC=DE
到角的两边的距离相等的点，在角平分线上。
角平分线上的点到角的两边的距离相等
随
练习
AD平分∠BAC
A
N
B
C
P
M
知识应用
1.如图，△ABC的角的平分线BM，
CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，
CA的距离相等.
想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
例：已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 垂直AB于D，PE垂直BC于E，PF垂直CA于F
∴PD=PE
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、CA的距离相等
D
E
F
A
B
C
P
M
N
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
2..直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有: ( )
A.一处 B. 两处
C.三处 D.四处
2 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= 。
60
BF
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么AE+DE= 。
6cm
课堂练习
如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且CD：DB=1：2，则点D到AB的距离为_________。
已知：如图， ∠ C= ∠ D=90° ， BC=BD 。
求证：（1）∠BAC= ∠BAD
（2） AC=AD
A
D
C
B
5.如图所示， △ABC中，AB=AC，M为BC中点，MD⊥AB于D，ME⊥AC于E。
求证：MD=ME。
AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点，且DB=DC
求证： ∠EBD= ∠FCD 。
Ｅ
Ａ
c
F
B
D
3.如图所示，PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D是AP上一点。
求证： ∠BDP= ∠CDP
小 结：
3 角的平分线的性质定理1，定理2是证明角相等，线段相等的新途径。定理1多用于证明线段相等，定理2多用于证明角相等或点在角平分线上。
1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
结束寄语
严格性之于数学家,犹如道德之于人.
证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.