第3章 勾股定理 单元精选精练卷（含解析）

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第3章 勾股定理 单元精选精练卷 2023-2024学年苏科版（2012）八年级数学上册
一、单选题
1．如图，在中，，，点在上，若，平分，则的长为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，若，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么的长为（　　）

A．3 B． C．4 D．
4．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图点为数轴的原点，点和点分别对应的实数是和1．过点B作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
6．若的三边分别为8、15、17，则的面积是（ ）
A．68 B．60 C．120 D．134
7．下列说法正确的是（ ）
A．在直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5
B．三角形为直角三角形，三角形的三边长为a，b，c，则满足a2-b2＝c2
C．以任意三个连续自然数为三边长都能构成直角三角形
D．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC为直角三角形
8．如图，从电线杆离地的处向地面处拉一条长的缆绳，则处到电线杆底部处的距离为（ ）

A． B． C． D．
9．已知，一轮船以16海里时的速度从港口A出发向北偏东方向航行，另一轮船以8海里时的速度同时从港口A出发向南偏东方向航行，则离开港口1小时后，两船相距（ ）
A．海里 B．海里 C．16海里 D．24海里
10．如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（ ）

A．65 B．85 C．90 D．150
11．M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．
A．4 B．5 C．6 D．7
12．如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（　　）m．

A．8 B．5 C．20 D．10
二、填空题
13．已知等腰三角形的腰长为10，顶角为锐角，腰上的高为6，则等腰三角形的底边长为 .
14．如图，在中，，中线，，则长为 ．

15．如图，已知，，，．则 度．

16．如图，两艘轮船和分别从港口出发，轮船以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船以3海里/时的速度从港口出发向东南方向航行，行驶5个小时后，两船的距离为 海里．

三、解答题
17．如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于长的相同长度为半径，在线段的两侧画弧，两条弧分别相交于点M，N．连结，分别交，于点D，F，于点E．

(1)求证：
(2)若，求的长．
18．如图所示，每个网格正方形的边长为，的三个顶点都在小正方形的格点上，求：

(1)求的周长．
(2)判断的形状，并求其面积．
(3)求边上的高．
19．如图，某海滨浴场岸边A处救生员发现海中的处有人求救，救生员没有直接从处游向处，而是沿岸边自A处跑到离处最近的点，然后从点游向处，经测量，，若救生员在岸边行进的速度是，在海中行进的速度是，请分析救生员的选择合理吗？

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参考答案：
1．B
【分析】根据，，可得，再由平分，可得，，然后根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
平分，
，，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
2．C
【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积, 再根据勾股定理可得: , 进而可将阴影部分的面积求出．
【详解】解：，
在中
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．
3．B
【分析】由折叠知，，设，则，在中，利用勾股定理列方程即可
【详解】解：使点与的中点重合，
，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
4．D
【分析】对于选项的图形，可以用两种方法分别表示出大正方形的面积，然后由两种表示法的面积相等进行证明；对于选项的图形，可以用两种方法都表示中间正方形的面积，一种是直接表示正方形的面积，另一组是根据“中间正方形的面积大正方形的面积个全等的直角三角形的面积”进行表示，再由两种表示法的面积相等，结合整式的运算证明勾股定理；接下来按照同样的方法，表示出选项、中图形的面积，进而得出结论．
【详解】解：、四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，
，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意；
、四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，
，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意；
、三个直角三角形的面积和梯形的面积，
，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意；
、不能证明勾股定理，故此选项符合题意，
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理计算与证明，熟练掌握勾股定理，根据图形的面积关系进行证明是解答本题的关键．
5．A
【分析】根据勾股定理求出，进而得到的长，根据实数与数轴的对应关系解答即可．
【详解】解：由题意得，，
在中，，
∴，
∴点E对应的实数是，
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
6．B
【分析】先根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再计算面积即可．
【详解】，
是直角三角形，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，在计算三角形面积之前先判定是直角三角形是解题的关键．
7．D
【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．
【详解】解：A、应为“直角三角形中，已知两直角边的边长为3和4，则斜边的边长为5”，故不符合题意；
B、应为“三角形是直角三角形，三角形的直角边分别为b，c，斜边为a，则满足a2=b2+c2，即a2-b2=c2”，故不符合题意；
C、比如：边长分别为3，4，5，有32+42=25=52，能构成直角三角形，故不符合题意；
D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为15°，75°，90°，因而是直角三角形，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和判定，注意在叙述命题时要叙述准确．
8．C
【分析】在中，已知斜边，一条直角边，用勾股定理求得另一条直角边即可．
【详解】解：如图：

在中，，，
，
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
9．B
【分析】根据方位角可知两船所走的方向夹角，再根据路程速度时间，得到，，最后利用勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【详解】解：由题意可知，，
离开港口1小时后，两艘船分别行驶了16海里和8海里，
即，，
由勾股定理得：，
故两船相距海里，
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理，方位角问题，熟练运用勾股定理进行计算是解题关键，基础知识，比较简单．
10．B
【分析】勾股定理求出，平移的性质推出防滑毯的长为，利用面积公式进行求解即可．
【详解】解： 由图可知：，
∵米，米，
∴米，
由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度（米），铅直的防滑毯的长度（米），
∴至少需防滑毯的长为：（米），
∵防滑毯宽为5米
∴至少需防滑毯的面积为：（平方米）．
故选：．
【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和．
11．A
【分析】如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km，求出FH，然后利用时间=路程÷速度，计算即可解决问题．
【详解】解：如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km
在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°，
∴ME=PM=120km，
∴EF=EH==90（km），
∴FH=180km，
∴受台风影响的时间有180÷45=4（小时）．
故选：A
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
12．C
【分析】把曲面展开变为平面，利用两点间线段最短，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，线段即为所需彩带最短，
由图可知，，
∴由勾股定理得，
，

故选C．
【点睛】本题考查两点间线段最短和勾股定理在生活中的应用．将曲面问题变为平面问题是解答本题的关键．
13．
【分析】根据描述画出图形，利用勾股定理求解．
【详解】解：如图，为等腰三角形，，顶角为锐角，腰上的高为6．

在中，由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
即等腰三角形的底边长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形、勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．即：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．
14．
【分析】证明为直角三角形，，延长延长至点，使得，连接，证明，可得，，，然后利用勾股定理即可解决问题.
【详解】解：在中, ，中线， ，
∴，
∴
∴，
∴为直角三角形，
∴，
如图，延长至点，使得，连接，

∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
在中，根据勾股定理得：．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是得到．
15．45
【分析】根据勾股定理得出，再利用勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：45．
【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出BC的长．
16．25
【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了20海里，15海里．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【详解】解：连接如图，

∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴，
在中，（海里），（海里），
根据勾股定理得（海里）．
故答案为：25．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理进是解决问题的关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意可得：是的垂直平分线，然后利用线段垂直平分线的性质可得，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得，从而可得，再根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质，，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，即可解答．
【详解】（1）由题意得：是的垂直平分线，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形以及勾股定理等知识，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
18．(1)
(2)锐角三角形，
(3)
【分析】（1）根据勾股定理分别求出三边长，即可得出周长；
（2）先构造如图所示，用勾股定理逆定理得出为直角三角形，推出，即可得出是锐角三角形，用割补法求面积即可；
（3）设C到的距离为a，则面积，即可求解．
【详解】（1）解：由勾股定理得：，
，
，
则的周长为；
（2）解：如图，

∵，，，
∴，
如图，中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是锐角三角形，
的面积；
（3）解：设C到的距离为a，
则，
∵，
∴，
∴点C到边的距离是．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，根据网格求三角形 的面积，解题的关键是掌握在直角三角形两直角边平方和等于斜边平方；两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形．
19．救生员的选择合理，理由见解析．
【分析】分别求得两个路线所用的时间，然后比较后即可得到答案．
【详解】解：救生员的选择合理，理由如下：
由题意得，
，，
，
救生员在岸边行进的速度是，在海中行进的速度是
救生员由点直接游向处需要的时间为：，
救生员由点跑到再游向处需要的时间为：，
，
救生员的选择合理．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并正确的利用勾股定理求斜边的长．
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