第6章 一次函数 单元精选精练卷（含解析）

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第6章 一次函数 单元精选精练卷 2023-2024学年苏科版（2012）八年级数学上册
一、单选题
1．快递小哥到加油站加油，加油机上的数据显示牌如图所示，则其中的常量是（ ）

A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
2．下列选项中，是的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．若是y关于x的正比例函数，则k的值为（ ）
A．2 B． C． D．3
4．已知一次函数和的图像都经过点，且与y轴交于B点，O为坐标系原点，那么的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．我们知道：若两条直线与垂直，则．如图，已知点到直线的距离是，则的值为（ ）

A． B． C． D．
6．如图，已知A、B、C、D是平面坐标系中坐标轴上的点，且．设直线的表达式为，直线的表达式为，则（ ）

A．2 B．3 C． D．
7．如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是（ ）

A． B． C． D．
8．如图，已知直线与图象交点的横坐标是，则关于x的不等式解集是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．已知一次函数，那么 ．
10．若一次函数的图像过点，则 ．
11．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点E，D为线段的中点，P为y轴上的一个动点，连接、，当的周长最小时，点P的坐标为 ．
12．一小汽车正常行驶时，油箱中的剩余油量（升）与行驶里程（千米）的关系式为．从关系式可知这辆小汽车加满油箱最多可以行驶 千米．
13．如图，一次函数与的图像相交于点，则关于的二元一次方程组的解是

14．如图，一次函数与的图象交于点．下列结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中，所有正确结论的序号是 ．

三、解答题
15．陈杰骑自行车去上学，当他以往常的速度骑 了一段路时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学离家距离与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)陈杰家到学校的距离是　 　米？本次上学途中，陈杰一共行驶了　 　米
(2)在整个上学的途中哪个时间段陈杰骑车速度最快？最快的速度是多少米/分钟？
(3)如果陈杰不买书，以往常的速度去学校，需要多少分钟？本次上学比往常多用多少分钟？
16．如图，矩形的顶点B的坐标为，双曲线与矩形的对角线交于点D，与、分别交于点E、F，且．

(1)求反比例函数解析式及点E的坐标；
(2)连接，求的面积．
17．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过定点，直线与交于点．

(1)填空：______；______；______；
(2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若动点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为秒．是否存在的值，使和的面积比为1：3？请简要说明理由．
18．一客车一出租车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，设客车离甲地距离为千米，出租车离甲地距离为千米，两车行驶的时间均为小时，、关于x的函数图象如图所示：

(1)根据图象，求、关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围；
(2)求经过多少小时，两车之间的距离为？
19．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于．

(1)求直线的函数解析式；
(2)设直线与y轴交于点M，求的面积；
(3)利用函数图象直接写出当时，x的取值范围为______．
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参考答案：
1．C
【分析】根据常量是固定不变的量，变量是变化的量进行求解即可．
【详解】解：∵在一个变化过程中，数值始终不变的量是常量，
∴其中的常量是单价，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了常量与变量的定义，解题的关键是掌握常量与变量的定义，并能够根据常识，推断出汽油的单价不变．
2．B
【分析】根据正比例函数的定义进行判断即可．
【详解】A．，不是的正比例函数，故A不符合题意；
B．，是的正比例函数，故B符合题意；
C．，不是的正比例函数，故C不符合题意；
D．，不是的正比例函数，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握形如（是常数，）的函数叫做正比例函数．
3．A
【分析】根据正比例函数的定义可得，进而可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
4．B
【分析】将点代入可求出点A的坐标，进而可求出一次函数的解析式，据此即可求解．
【详解】解：将点代入得：
∴
将代入得：
解得：
∴
令，则
∴
∴
故选：B
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题．正确求出函数解析式是解题关键．
5．B
【分析】先求得直线一定过，进而得，由垂线段最短得垂直于直线，进而利用待定系数法求得直线：，从而根据两直线垂直时，一次项系数的关系即可得解．
【详解】解：如图，

∵对于，当时，，
∴直线一定过，
∵，
∴，
∵点到直线的距离是，
∴由垂线段最短可得垂直于直线，
设直线：，
∵过点，，
∴，
解得，
∴直线：，
∵两条直线与垂直，则，
∴直线为：，
解得，
故选B．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短，待定系数法求解一次函数，求函数值，熟练掌握待定系数法求解一次函数是解题的关键．
6．D
【分析】设，，得到点，，，，然后利用待定系数法求出和的值，求出结果．
【详解】解：∵，
∴，，
设，，
得到点，，，，
把点A和点B坐标代入得，
解得 ，
把点C和点D坐标代入得，
解得，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，利用全等三角形的性质得到相等线段，表示出各个点的坐标是解决问题的关键．
7．D
【分析】当，，则，则一次函数图象的交点坐标为，由题意知，方程组的解是一次函数图象交点横、纵坐标的值，然后作答即可．
【详解】解：当，，则，
∴一次函数图象的交点坐标为，
由题意知，方程组的解是一次函数图象交点横、纵坐标的值，
∴方程组的解为，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解与函数图象交点的关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
8．B
【分析】观察图象在轴上方，直线的图象在直线的图象的上方部分对应的自变量的取值即为不等式解集；
【详解】解：观察图象可知：图象在轴上方，直线的图象在直线的图象的上方部分对应的自变量的取值即为不等式解集，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数与不等式、两直线相交等知识，解题的关键是学会利用图象法解决自变量的取值范围问题．
9．
【分析】将代入一次函数，即可求出的值．
【详解】解：当时，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
10．
【分析】先把点代入一次函数，得到，然后代入代数式计算即可．
【详解】解：∵一次函数的图像过点，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特点、代数式求值等知识点，掌握凡是函数图像经过的点必能满足解析式是解答本题的关键．
11．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，结合点为线段的中点可求出点的坐标，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的周长最小，由点，关于轴对称可得出点的坐标，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标．
【详解】解：当时，，
点的坐标为；
当时，，解得：，
点的坐标为．
又点为线段的中点，
点的坐标为，．
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的周长最小，如图所示．
点，关于轴对称，
点的坐标为，．
设直线的解析式为，
将，，代入得：，
解得：，
直线的解析式为．
当时，，
当的周长最小时，点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及轴对称最短路线问题，利用两点之间线段最短，找出点的位置是解题的关键．
12．500
【分析】由题意得，令，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：令，则，
解得：，
从关系式可知这辆小汽车加满油箱最多可以行驶500千米，
故答案为：500．
【点睛】本题考查了一次函数和解一元一次方程，根据题意得到关于的方程是解题的关键．
13．
【分析】先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标进行判断．
【详解】解：把代入，
得，解得，
所以点坐标为，
所以关于的二元一次方程组的解是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）的综合应用，理解方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标是解题关键．
14．②④⑤
【分析】由一次函数图像及其性质可知的符号情况，从而可判断①②的正确与否，由两函数图像的交点情况可判断③④正确与否，由与轴交点情况可判断⑤正确与否，作出选择即可．
【详解】由一次函数图像可知：，，由一次函数图像可知：，所以①错误，
∴，故②正确，
观察图像交点情况，交点的横坐标为1，自变量时，图像位于图像上方，即当时，，故③错误，同时因为交点横坐标为1，代入两解析式可得，故④正确，
由当时一次函数图像上的对应点在第三象限，即时，代入得：，即，故⑤正确，
故答案为②④⑤．
【点睛】本题考查了一次函数的图像及其性质，关键是利用数形结合的方法，把图像直观与代数精确计算综合运用，其中利用点的坐标代入直线方程解决等量关系判断尤为重要．
15．(1)；
(2)在整个上学的途中分钟到分钟时，米分
(3)分钟，分钟
【分析】（1）根据图象，路程的最大值即为陈杰家到学校的路程；分开始行驶的路程，折回书店行驶的路程以及从书店到学校行驶的路程三段相加即可得解；
（2）分别得出各段的平均速度，进而得出骑车最快速度；
（3）利用路程速度时间，进而得出答案．
【详解】（1）解：陈杰家到学校的距离是：1500米，
本次上学途中，陈杰一共行驶了：；
（2）解：根据题意可得：（米分）；
（米分）；
（米分）；
所以在整个上学的途中12分钟到14分钟时段陈杰骑车速度最快，最快的速度是450米分；
（3）解：（分钟），
（分钟），
所以陈杰以往常的速度去学校，需要7.5分钟，本次上学比往常多用6.5分钟．
【点睛】此题主要考查了函数图象，利用函数图象图象获取正确信息是解题关键．
16．(1)，
(2)
【分析】（1）利用矩形性质和坐标与图形性质，通过B点确定F点坐标，进而可确定反比例函数表达式，即可确定E点坐标；
（2）求直线表达式，与反比例函数表达式联立求交点D，进而求出三角形面积．
【详解】（1）B点坐标，，
∴点，代入得，，
反比例函数，
由图知E点横坐标为4，纵坐标
∴E点，
（2）如下图，连接．

设直线，将代入得，，
解得
直线：．
联立直线与反比例函数：，
解得（舍去）
∴
把代入
∴
【点睛】本题考查矩形性质、坐标与图形、待定系数法求函数解析式、反比例函数与一次函数的综合、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
17．(1)，4，2
(2)存在，
(3)存在，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于E，连接，则的周长最小．求出直线的解析式，即可解决问题；
（3）分两种情况：①点P在线段上，②点P在线段的延长线上，由和的面积比为，可得，根据比例的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，且经过定点，
∴，
∴，
∴直线，
∵直线经过点，
∴，
∴，
把代入，得到．
∴，，．
故答案为：，4，2；
（2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，则的周长最小．

∵，，
设直线的解析式为，
把代入得，
，∴，
∴直线的解析式为，
令，得到，
∴，
∴存在一点，使的周长最短，；
（3）解：∵点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动，直线，∴，
∵，
∴，
∵点的运动时间为秒．∴，
分两种情况：①点在线段上，

∵和的面积比为，
∴，
∴，
∴，
∴；
②点在线段的延长线上，

∵和的面积比为，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上：存在的值，使和的面积比为，的值为或．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
18．(1)，
(2)经过3小时或小时，两车之间的距离为120千米
【分析】（1）分别设、，根据图象经过的点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分两车相遇前和相遇后两种情况讨论，根据函数图象和解析式分别求解即可．
【详解】（1）解：设，由图可知，函数图象经过点，

∴，解得：，
∴，
设，由图可知，函数图象经过点，，
则，解得，
∴；
（2）两车相遇前，两车之间的距离为120千米，
则，即
解得；
两车相遇后，两车之间的距离为120千米，
则，即
解得，
综上所述，经过3小时或小时，两车之间的距离为120千米．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，解题的关键是正确的求出一次函数的解析式．
19．(1)；
(2)3；
(3)．
【分析】（1）先求出点B坐标，再将，代入，利用待定系数法即可解决问题；
（2）把代入解析式，求出M坐标，利用三角形面积公式解答即可；
（3）根据题意可知当时，函数的图象在函数的图象下方，结合图象即可求得．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
∴，
∴点，
设直线的表达式为，
将，代入得：，
解得，
∴直线的表达式为；
（2）将代入，得：，
∴，
∴，
∴的面积；
（3）观察图象，当时，函数的图象在函数的图象下方，
则，的取值范围为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会利用图象，根据条件确定自变量取值范围．
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