第1章 一元二次方程 单元精选精练卷（含解析）

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第1章 一元二次方程 单元精选精练卷 2023-2024学年苏科版（2012）九年级数学上册
一、单选题
1．方程化为一般形式后一次项系数和常数项分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．若一元二次方程的一个根为2，则的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．2
3．观察下表，估计一元二次方程的正数解在（ ）
0 1 2 3 4
4 11 20
A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
4．如图，是边长为8的等边三角形，以为底边在右侧作等腰三角形，连接，交于点O，过点D作交于点E，交于点F，若，则的长为（ ）

A． B． C． D．
5．反比例函数图象上一点，且有，则关于x的方程的根的情况为（ ）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法判断
6．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若，则x的值是（ ）
A．5 B．5或 C．或 D．5或
7．若实数x，y满足，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或2
8．若方程的两个实数根为a，b，则的值为（　　）
A．﹣9 B．9 C．﹣7 D．7
9．某市政府决定改善城市面貌，绿化环境，计划经过两年时间绿化面积增加，这两年平均每年绿化面积的增长率为（ ）
A． B． C． D．
10．有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1855，则原两位数是（ ）
A．35 B．53 C．62 D．35或53
11．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（ ）
A．36 B．26 C．24 D．10
12．已知日升租车公司有甲、乙两个营业点，顾客租车后于当日营业结束前必须在任意一个营业点还车．某日营业结束清点车辆时，发现在甲归还的车辆比从甲出租的多4辆．若当日从甲出租且在甲归还的车辆为13辆，从乙出租且在乙归还的车辆为11辆，则关于当日从甲、乙出租车的数量下列比较正确的是（ ）
A．从甲出租的比从乙出租的多2辆 B．从甲出租的比从乙出租的少2辆
C．从甲出租的比从乙出租的多6辆 D．从甲出租的比从乙出租的少6辆
二、填空题
13．若是一元二次方程的一个根，则 ．
14．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是矩形，点A，C的坐标分别为，点D以的速度从A出发向终点O运动，点P以的速度从C出发向终点B运动，当是以为一腰的等腰三角形时，点P的坐标为 ．

16．《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是 尺．

三、解答题
17．先化简，再求值，其中x的值是方程的根．
18．已知关于x的一元二次方程（m为常数）．
(1)若方程的一个根为0，求m的值和方程的另一个根；
(2)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
19．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿BC向终点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．

(1)填空：运动时间t的取值范围 ．
(2)是否存在t的值，使得的长度等于？若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由．
(3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？ 若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由．
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参考答案：
1．B
【分析】根据题意，将方程化为一般形式即可求解．一元二次方程的一般形式是：（是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：化为一般形式：，
∴一次项系数和常数项分别是，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
2．A
【分析】将代入原方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：把代入得：，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值，是方程的解．
3．C
【分析】由表格可发现的值和4最接近0，再看对应的x的值即可得到答案．
【详解】解：由表可以看出，当x取1与2之间的某个数时，，即这个数是的一个根．
的一个解x的取值范围为1和2之间．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．
4．C
【分析】根据等边三角形和等腰三角形的性质可知垂直平分，再根据勾股定理求出和的长，进一步可得的长，根据平行线的性质进一步可得，过点F作于点H，根据等腰三角形的性质可得的长，设，则，根据勾股定理列方程，求解即可．
【详解】解：在等边中，， 在等腰中，，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
根据勾股定理，得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点F作于点H，

则H是的中点，
∴，
设，则，
根据勾股定理，得，
解得 或（舍去），
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，利用直接开平方法解方程等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
5．A
【分析】利用完全平方公式将已知条件变形得出，再由反比例函数得出，根据一元二次方程根的判别式判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
∴，，
∴，
∵反比例函数图象上一点，
∴，
关于x的方程，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】题目主要考查完全平方公式及二次根式的化简，反比例函数，一元二次方程根的判别式，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
6．B
【分析】根据题意进行分类讨论，当时，可得，求出x的值即可；当时，可得求出x的值即可．
【详解】解：当时，则，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去），
当时，则，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去），，
综上：x的值是5或，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．
7．C
【分析】设：，则变为，进而解含a的一元二次方程，即可求出的值．
【详解】解：设：，则变为，
∴，则，
解得：，，
即的值为或1，
故选：C．
【点睛】本题考查解一元二次方程，整体思想，能够将方程转化为一元二次方程是解决本题的关键．
8．D
【分析】先根据分式的加减运算、完全平方公式可得，然后再根据一元二次方程根与系数的关系可得，最后整体代入即可解答．
【详解】解：，
＝，
，
∵方程的两个实数根为a，b，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了异分母分式加法、完全平方公式、一元二次方程根与系数的关系等知识点，灵活运用完全平方公式和根与系数的关系是解答本题的关键．
9．A
【分析】本题可设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加，则有，解这个方程即可求出答案．
【详解】解：设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得，
，
解得（舍去），．
所以，这两年平均每年绿地面积的增长率为．
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答此类题目中的关键是明确题意，列出相应的方程，注意增长的百分率是正值．
10．D
【分析】设十位数字为x，则个位数字为，根据新数与原数之积为1855，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设十位数字为x，则个位数字为，根据题意得：
，
解得：或，
∴这个两位数为35或53，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系列出方程．
11．C
【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入中即可求出结论．
【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
∴．
故乙走的步数是．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．B
【分析】设当日从甲、乙出租的车数量分别为x辆，y辆，根据题意列方程解答即可．
【详解】解：设当日从甲、乙出租的车数量分别为x辆，y辆，根据题意得：
，
所以，
即从甲出租的比从乙出租的少2辆．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程在实际生活中的应用，关键是找出题目中的等量关系，列出方程．
13．2023
【分析】利用一元二次方程的解，可得出，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2023．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，牢记“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键．
14．3
【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∵，，
∴，
解得（不合题意，舍去），
∴
故答案为：3
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．
15．或
【分析】设经过t秒后，是以为一腰的等腰三角形，则，，四边形是矩形，，则，，，得到，若，由勾股定理得，则，解得或，其中不合题意，舍去，此时点；若，则是等腰三角形，过点P作于点H，则，，证明四边形是矩形，则，，得到，解得，得到点．
【详解】解：设经过t秒后，是以为一腰的等腰三角形，则，，
∵四边形是矩形，，
∴，，，
则，
若，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
∴或，
∵，
∴不合题意，舍去，
∴，
∴点；
若，则是等腰三角形，
如图，过点P作于点H，则，，

∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
解得，
∴点；
综上所述：点P的坐标是或，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、解一元二次方程等知识，分类讨论和数形结合是解题的关键．
16．8，6，10
【分析】设竿的长为x尺，则门高为尺，门宽为尺，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设竿的长为x尺，则门高为尺，门宽为尺，
根据题意可得：，
解得：或（舍去），
∴（尺），（尺），
即门高、宽和对角线的长分别是8，6，10尺，
故答案为：8，6，10．
【点睛】本题考查勾股定理的应用和解一元二次方程，正确设未知数找到等量关系是解题的关键．
17．，4
【分析】根据整式的混合运算化简后代入x的值计算即可.
【详解】解：原式
；
∵x的值是方程的根，
解得，
又∵，
∴，
∴，
原式．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，实数的运算，分式的化简和求值，解一元一次不等式，正确地进行运算是解题的关键.
18．(1)，方程的另一个根是2
(2)见解析
【分析】（1）设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得到，，然后先求出，再求出的值；
（2）计算判别式的值得到，从而得到，然后根据判别式的意义得到结论．
【详解】（1）解：设方程的另一个根为，
则，，
解得，
所以方程的另一个根是2；
（2）证明：∵，
∴对于任意的实数，方程总有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式的意义．
19．(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)存在，
【分析】（1）根据当点Q运动到点C时，两点停止运动，即可得出t的取值范围；
（2）根据题意得出，，根据勾股定理可得：，列出方程，计算其判别式，即可判断；
（3）根据长方形的面积减去的面积等于五边形的面积，列出方程，然后求解即可得到结果．
【详解】（1）解：点Q运动到点C所需时间为：
∵当点Q运动到点C时，两点停止运动，
∴；
故答案为：
（2）解：根据题意可得： ，
∵
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
整理得：，
∵，
∴该方程无实数根，
∴不存在t的值，使得的长度等于；
（3）解：存在．理由如下：
∵长方形的面积是：，
五边形的面积等于，
∴的面积为，
即有：，
解得，．
当时，，不合题意，舍去，
即当时，使得五边形的面积等于．
【点睛】本题考查四边形综合题，考查了矩形的性质，多边形的面积，勾股定理，一元二次方程根的判别式，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出各条线段长度，列出方程求解．
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