第4章等可能条件下的概率 单元精选精练卷（含解析）

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第4章等可能条件下的概率 单元精选精练卷 2023-2024学年苏科版（2012）九年级数学上册
一、单选题
1．如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“○”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为和，则下列关系可能出现的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果手头没有硬币，下列方法可以模拟掷硬币实验的是（ )
A．掷一个瓶盖，盖面朝上代表正面，盖面朝下代表反面
B．掷一枚图钉，钉尖着地代表正面，钉帽着地代表反面
C．用计算器产生1和2两个随机整数，1代表正面，2代表反面
D．转动如图所示的装盘，指针指向“红”代表正面，指针指向“蓝”代表反面
3．下列说法中正确的是（　　）
A．为了了解我国中学生的课外阅读情况，应采取全面调查方式
B．某彩票的中奖机会是，买100张一定会中奖
C．若a是实数，则是必然事件
D．甲、乙两组数据方差分别为和，则甲组数据比乙组数据稳定
4．下列说法正确的是（ ）
A．小明投篮投中的概率是0.6，说明他投10次篮球一定能中6次
B．为了解全国中学生的节水意识，应采用普查的方式
C．为了解某校300名九年级学生的睡眠时间，从中抽取50名九年级学生进行调查，在这个事件中，样本容量是300
D．一个不透明口袋中装有3个红球2个白球，除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性比白球大
5．李明用6个球设计了一个摸球游戏，共有四种方案，肯定不能成功的是（ ）
A．摸到黄球、红球的概率均为
B．摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率均为
C．摸到黄球、红球、白球的概率分别为、、
D．摸到黄球、红球、白球的概率都是
6．合肥市某校九年级（1）、（2）班共有2名女生和3名男生分别被评为“智慧之星”，要从这5位学生中随机抽取一男一女两位学生做获奖感言，女同学杨玲和男同学张军恰好来自同一班级，则他俩同时被抽中的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．四张背面完全相同的卡片上分别写有1、2、3、4四个数字，把卡片背面朝上洗匀后，王明从这四张卡片中随机选两张，则王明选中的卡片中有偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的A，B两点，在格点上任意放置点C，恰好能使得△ABC的面积为1的概率为（　　）.
A． B． C． D．
二、填空题
9．在一个不透明的袋子中装有个红球、个白球和个黑球，这些球除颜色外都相同．从中任意摸出个球，摸到 色的球的可能性最大．(填“红”、“白”或“黑”)
10．下列事件：
①如果、都是实数，那么；
②打开电视，正在播放新闻；
③抛掷一枚硬币，正面向上；
④张相同的小标签分别标有数字，从中任意抽取张，抽到号签．
属于确定事件的是 （填序号）
11．某航班每次约有200名乘客，一次飞行中飞机失事的概率，某保险公司为乘客提供保险，承诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿60万人民币．平均来说，保险公司应该至少向每位乘客收取 元保险费才不亏本．
12．在一个不透明的口袋中，装有3个球，它们分别写有数字1，2，3，这些球除上面数字外，其余都相同．先将这些球摇匀后，随机摸出一球，记下数字后，放回：再摇匀，再摸出一球．则摸出的两球的数字之和是4的概率是 ．
三、解答题
13．求解下列问题：
（1）在1～10这10个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于10，共有多少种取法？
（2）在1～100这100个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于100，共有多少种取法？
（3）你还能提出什么问题？
（4）各边长度都是整数、最大边长为11的三角形有多少个？本题与上述哪个问题有联系？它们的区别是什么？
14．甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是3，4，5，6的4张牌做游戏．游戏规则是：将4张牌的正面全部朝下，洗匀，先从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下，洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数字作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．
(1)用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
(2)若这个两位数小于50，则甲获胜，否则乙获胜，你认为这个游戏公平吗？为什么？
15．宪法是国家的根本法，是治国安邦的总章程．学法辨是非、知法明荣辱、守法正社风、用法止纷争，弘扬并践行宪法精神是当代青少年的义务与担当．某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分100分）分为4个等级：A等级，B等级，C等级，D等级．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图：
(1)本次抽取的学生共有 ___________人，他们成绩的中位数落在 ___________等级；
(2)补全频数分布直方图，扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为 ___________；
(3)若竞赛成绩为优秀，估计全校1000名学生中成绩达到优秀的人数；
(4)九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法．请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
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参考答案：
1．C
【分析】分析左图可知，1个“ ”的质量等于2个“○”的质量．两个物体等可能的向左或向右落时，共有4种情况，分别计算出左边托盘和右边托盘的质量，即可得出和的关系．
【详解】解：由左图可知2个“○”与1个“ ”的质量等于2个“ ”的质量，
1个“ ”的质量等于2个“○”的质量．
右图中，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，
共有4种情况：
（1）“○”和“ ”都落到左边的托盘时：
左边有3个“○”2个“ ”，相当于7个“○”，右边有2个“ ”，相当于4个“○”，此时；
（2）“○”和“ ”都落到右边的托盘时：
左边有2个“○”1个“ ”，相当于4个“○”，右边有3个“ ” 1个“○”，相当于7个“○”，此时；
（3）“○”落到左边的托盘，“ ” 落到右边的托盘时：
左边有3个“○”1个“ ”，相当于5个“○”，右边有3个“ ”，相当于6个“○”，此时；
（4）“○”落到右边的托盘，“ ” 落到左边的托盘时：
左边有2个“○”2个“ ”，相当于6个“○”，右边有2个“ ” 1个“○”，相当于5个“○”，此时；
观察四个选项可知，只有选项C符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查等可能事件、等式的性质，解题的关键是读懂题意，计算所有等可能情况下和的比值．
2．A
【详解】A选项中，一个瓶盖可用盖面朝上表示硬币的正面，盖面朝下表示硬币的反面，两者出现的概率一样，可作实验替代物，所以本选项正确；
B选项中，图钉尖朝上的概率大于面朝上的概率，不可做实验替代物，所以本选项错误；
C选项中，用计算器产生1和2两个随机整数，1代表正面，2代表反面，两数产生的概率不同，不能代替抛掷硬币的实验，所以本选项错误；
D选项中，转动如图所示的装盘，指针指向“红”代表正面，指针指向“蓝”代表反面，由于还有一个“黄色区域”，本实验中有三种等可能结果，与抛掷硬币实验情况不一样，所以本选项错误；
故选A.
3．D
【分析】直接利用概率的意义以及必然事件、全面调查的意义分别分析得出答案．
【详解】解：A.为了了解我国中学生的课外阅读情况，应采取抽样调查方式，原说法错误，故此选项不合题意；
B.某彩票的中奖机会是，买100张也不一定会中奖，原说法错误，故此选项不合题意；
C.若a是实数，则是随机事件，原说法错误，故此选项不合题意；
D.甲、乙两组数据方差分别为和，则甲组数据比乙组数据稳定，故此选项符合题意，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了概率的意义以及方差，正确掌握概率的意义是解题关键．
4．D
【分析】根据概率的意义、全面调查和抽样调查的概念以及实现的可能性、样本容量的概念逐项判断即可．
【详解】解：A. 小明投篮投中的概率是0.6，说明他投10次篮球不一定能中6次，A错误；
B. 为了解全国中学生的节水意识，应采用抽样调查的方式，B错误；
C. 为了解某校300名九年级学生的睡眠时间，从中抽取50名九年级学生进行调查，在这个事件中，样本容量是50，C错误；
D. 一个不透明口袋中装有3个红球2个白球，除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性比白球大，D正确．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查了根据概率的意义、全面调查和抽样调查的概念以及实现的可能性、样本容量等知识点，灵活理解相关概念成为解答本题的关键．
5．B
【分析】分析各个选项中的概率之和即可选出不成功的选项．
【详解】A.；
B.，不成立；
C.;
D.;
故选：B．
【点睛】本题考查简单事件的概率．一次试验中有n种等可能的结果，每种结果出现的概率之和为1．
6．D
【分析】列出表格，共有12种等可能的结果，其中女同学杨玲和男同学张军恰好来自同一班级，被同时抽中的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意，列出表格如下：
男1 男2 男张军 女1 女杨玲
男1 男1，女1 男1，女杨玲
男2 男2，女1 男2，女杨玲
男张军 男张军，女1 男张军，女杨玲
女1 女1，男1 女1，男2 女1，男张军
女杨玲 女杨玲，男1 女杨玲，男2 女杨玲，男张军
共有12种等可能的结果，其中女同学杨玲和男同学张军恰好来自同一班级，被同时抽中的结果有2种，
女同学杨玲和男同学张军恰好来自同一班级，他俩同时被抽中的概率为：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了列表法求概率，根据题意正确的列出所有可能的结果是解题的关键．
7．A
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：树状图如图所示，
一共有12种等可能性，其中王明选中的卡片中有偶数的可能性有10种可能性，
故王明选中的卡片中有偶数的概率为：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
8．C
【分析】按照题意分别找出点C所在的位置的个数，再找出其中满足的面积为1的C点个数，再根据概率公式求出概率即可．
【详解】解：如图所示，
点C所放在格点上的位置共有16种可能，而能使△ABC的面积为1的点共有如图4种可能，
故恰好使△ABC的面积为1的概率为：.
故本题正确答案为C.
【点睛】熟练掌握三角形的基本概念和求随机事件的概率是解本题的关键.
9．白
【分析】分别计算出摸到红、白、黑球的可能性，比较大小后即可得到答案．
【详解】∵袋子中装有个红球、个白球和个黑球，
∴摸出红球的可能性是：2÷（2+5+3）=，
摸出白球的可能性是：5÷（2+5+3）=，
摸出黑球的可能性是：3÷（2+5+3）=，
∵＞＞，
∴白球出现的可能性大．
故答案为：白
【点睛】本题主要考查了求简单事件发生的可能性，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
10．①④
【分析】根据确定事件的定义（必然事件和不可能事件统称为确定事件），一一判断即可得到答案；
【详解】解：①如果、都是实数，那么，是必然事件；
②打开电视，正在播放新闻，是随机事件；
③抛掷一枚硬币，正面向上，是随机事件；
④张相同的小标签分别标有数字，从中任意抽取张，抽到号签，是不可能事件；
故确定事件有①④，
故答案为：①④；
【点睛】本题主要考查了确定事件的定义，即必然事件和不可能事件统称为相对条件S的确定事件，掌握确定事件的定义是解题的关键；
11．30
【分析】先求出飞机失事时保险公司应赔偿的金额，再根据飞机失事的概率求出赔偿的钱数即可解答．
【详解】解：每次约有200名乘客，如飞机一旦失事，每位乘客赔偿60万人民币，共计12000万元，
一次飞行中飞机失事的概率为，
故赔偿的钱数为元，
故至少应该收取保险费每人元，
故答案为：30．
【点睛】本题考查的是概率在现实生活中的运用，部分数目=总体数目乘以相应概率．
12．
【分析】利用列表表或画树状图求概率即可．
【详解】解：列表如下：
1 2 3
1 1，1 1，2 1，3
2 2，1 2，2 2，3
3 3，1 3，2 3，3
由表知，所有等可能的结果数有9种，其中和为4的结果数有3种，则摸出的两球的数字之和是4的概率是；
故答案为：．
【点睛】本题考查了用列表法或画树状图求较复杂事件的概率，正确列表或画出树状图是关键．
13．（1）；（2）；（3）见解析；（4）36，见解析
【分析】（1）仔细分析题意，可先取出一个数，根据取出的这个数来确定另一个数的可能取值，取第一个数为10，则第二个数可以为1，2,……，9,同理第一个数取9，可以发现若第一个数为10，则可能的取法有9种，若第一个数取9，则可能的取法有7种，若第一个数取8，可能的取法有5种，……，将所有类别的取法相加，即可求得结果；
（2）利用类似于（1）的方法进行分析即可解答；
（3）提一个类似于（1）（2）的问题即可；
（4）结合（1）、（2）的方法，注意要考虑两边相等的情况
【详解】（1）根据题意每次取的两个数之和大于10，可能取法为：
10+1、10+2、10+3、…10+9，共9种
9+2、 9+3、 9+4、 …9+8，共7种
8+3、8+4、8+5、8+6、8+7，共5种
7+4、7+5、7+6，共3种
6+5，共1种
所以可能的取法共有9+7+5+3+1=（种）
（2）同理可得可能的取法的种数为=2500（种）
（3）（答案不唯一）在1到21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有多少种不同的取法？
（4）根据题意得：①每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于11，有10+8+6+4+2=30种不同的取法；
②若另两个数相同，则6+6，7+7，…，11+11，共6种不同的取法；所以各边长都是整数，最大边长为11的三角形有：30+6=36（个）．
它与上述两个问题都类似，区别这个问题要考虑两个数相同时的情况．
【点睛】此题考查分类加法计数原理的运用.分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1+m2+……+mn种不同的方法.注意分类后，寻找规律，避免大量运算，其次注意分类讨论要不重不漏．
14．(1)见解析
(2)这个游戏公平，理由见解析
【分析】（1）列表格表示出所有可能出现的结果即可；
（2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【详解】（1）解：所有可能出现的结果列表如下：
两位数 3 4 5 6
3 33 34 35 36
4 43 44 45 46
5 53 54 55 56
6 63 64 65 66
由表格可知，共有16种等可能出现的结果；
（2）由（1）可知这个两位数小于50的有8种，
，
这个游戏公平．
【点睛】本题考查了概率，解题的关键是掌握判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15．(1)50，B
(2)见解析，36°
(3)320
(4)
【分析】（1）由C等级人数及其所占百分比可得总人数，再求出B等级人数，依据中位数的定义可得答案；
（2）根据（1）中所求结果即可补全图形，用360°乘以D等级人数所占比例即可得出答案；
（3）用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可；
（4）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）本次抽取的学生人数为（人），
则B等级人数为（人），A等级人数为（人），
成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而这两个数据落在B等级，所以他们成绩的中位数落在B等级，
故答案为：50、B；
（2）补全直方图如下：
扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为，
故答案为：；
（3）（人），
答：估计全校1000名学生中成绩达到优秀的人数为320人；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．
【点睛】本题考查了统计图，样本估计总体，中位数，列表法与树状图法求概率：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果是解题的关键，总体结果数为n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
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