2022-2023学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若函数，则( )
A. B. C. D.
2. 已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B.
C. D.
3. 若：实数使得“，”为真命题，：实数使得“，”为真命题，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 某银行拟面向部分科创小微企业开展贷款业务调查数据表明，科创小微企业的贷款实际还款比例关于其年收入单位：万元的函数模型为已知当贷款小微企业的年收入为万元时，其实际还款比例为，若银行期待实际还款比例为，则贷款小微企业的年收入约为参考数据：，( )
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
5. 函数的部分图象大致为( )
A. B. C. D.
6. 已知定义在上的奇函数，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 定义在上的函数满足，是偶函数，若在上单调递增，，，，则( )
A. B. C. D.
8. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知，，则( )
A. B.
C. D.
10. 已知函数，则( )
A. 有极大值
B. 在上单调递增
C. 的图象关于点中心对称
D. 对，，都有
11. 对于函数，若在其定义域内存在使得，则称为函数的一个“不动点”，下列函数存在“不动点”的有( )
A. B.
C. D.
12. 关于曲线和的公切线，下列说法正确的有( )
A. 无论取何值，两曲线都有公切线
B. 若两曲线恰有两条公切线，则
C. 若，则两曲线只有一条公切线
D. 若，则两曲线有三条公切线
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 写出一个同时具有下列性质的函数 ______ ．
；为增函数．
14. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为______ ．
15. 已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______ ．
16. 若是区间上的单调函数，满足，，且为函数的导数，则可用牛顿切线法求在区间上的根的近似值：取初始值，依次求出图象在点处的切线与轴交点的横坐标，当与的误差估计值为的最小值在要求范围内时，可将相应的作为的近似值用上述方法求方程在区间上的根的近似值时，若误差估计值不超过，则满足条件的的最小值为______ ，相应的值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知集合，．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
18. 本小题分
已知函数，的解集为．
求，的值；
若是定义在上的奇函数，且当时，，求不等式的解集．
19. 本小题分
若函数在处取得极小值．
求的图象在点处的切线方程；
若不等式恒成立，求实数的取值范围．
20. 本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
证明：当时，，使得．
21. 本小题分
某物流公司计划扩大公司业务，但总投资不超过万元，市场调查发现，投入资金万元和年增加利润万元近似满足如下关系．
若该公司投入资金不超过万元，能否实现年增加利润万元？
如果你是该公司经营者，你会投入多少资金？请说明理由．
22. 本小题分
已知函数．
求函数的零点个数；
若有两个极值点，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则．
故选：．
根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据韦恩图，阴影部分表达的是集合中不属于集合的元素组成的集合，
又，，
故阴影部分表示的集合为．
故选：．
根据韦恩图表达的集合和之间的关系，求解阴影部分所表达的集合即可．
本题考查利用图解集合运算问题，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：对于：，，
所以，即．
对于：，，
因为函数在上单调递增，
所以当时，，
则，即．
所以是的必要不充分条件．
故选：．
先一元二次方程有解及一元二次不等式恒成立求解出和，进而根据充分条件和必要条件的定义判断即可求解．
本题主要考查充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意可知，
，得，．
令，
得，
得，
取对数得
得．
故选：．
先根据题中数据代入计算函数中参数的值，然后计算时的值即可．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：由，得，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除选项；
当时，函数，
当时，函数，故排除选项．
故选：．
先判断函数的奇偶性，可排除选项；进而取特殊值和排除选项，进而即可求解．
本题主要考查了函数图象与函数性质的应用，体现了数形结合思想的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由于，所以，
由于为奇函数，所以，
，
所以，
，
故选：．
根据函数的奇偶性以及自变量的取值范围，即可代入求解．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为在上的函数满足，
所以的周期为，
则，，
又因为，
，
所以，
又因为在上单调递增，
于是，
所以．
故选：．
利用给定的性质把函数值，化成上某个数对应的函数值，再利用单调性比较作答．
本题考查了抽象函数的周期性、单调性及利用对数函数的性质进行大小比较，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，，且，恒有，
由，得，即或，由，得，
于是函数有个不同零点，当且仅当方程有个不同的解，即直线与图象有个公共点，
在同一坐标系内作出直线与的图象，如图，
观察图象知，当，即时，直线与的图象有个公共点，
所以实数的取值范围为．
故选：．
把函数有个不同零点问题转化成方程有两个不同解，再利用导数结合函数图象求解作答．
本题主要考查了给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合简化基本运算，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，因为，，
所以，故A错误；
对于，因为，即，
，即，
所以，故B正确；
对于，因为，由选项知，，
所以，故C正确；
对于，由选项知，，，
因为，且，，
所以，
即，故D正确．
故选：．
对于，结合对数函数的单调性将，与作大小比较，进而判断即可；对于，化简，，进而根据对数的运算性质计算即可判断；对于，结合对数函数的单调性可得，，进而根据不等式的基本性质判断即可；对于，化简，进而根据基本不等式即可判断．
本题主要考查了对数函数的性质，以及对数的运算性质，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于：的定义域为，
，
令得或，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以当时，，故A正确；
对于：由上可知在上单调递减，故B错误；
对于：，
所以关于点对称，故C正确；
对于：由知，
所以，
当时，，
所以在上向下凸，
所以对，，都有，故D正确，
故选：．
对于：的定义域为，求导分析单调性和极值，即可判断是否正确；
对于：由上可知在上单调递减，即可判断是否正确；
对于：通过计算可得，即可判断是否正确；
对于：分析的符号，进而可得在上向下凸，即可判断是否正确．
本题考查导数的综合应用，解题中需要一定的逻辑推理能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：：定义域为，，则，由于，故方程无实数根，故A错误，
：定义域为，，记，则的图象是连续不断的曲线，，，根据零点存在性定理可知在存在零点，故B正确，
：定义域为，，由于，所以是的一个不动点，故C正确，
：的定义域为，，令，则，
故当时，，单调递减，当时，，单调递增，故当时，取极大值也是最大值，
故F，故在无实数根，故D错误．
故选：．
根据一元二次方程的判别式可判断，根据零点存在性定理可判断，由特殊值可求解，利用导数求解函数的单调性，进而求解函数的最值即可判断．
本题考查了函数与方程的综合应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：不妨设曲线和的公切线分别与两曲线相切于，，
因为，，
所以，，
此时公切线的方程为，
即，
也可以为，
即，
所以，
整理得，
所以，
当时，，
此时上述式子无意义，
则两曲线没有公切线，故选项A错误；
不妨设，
此时，
可得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
当，即时，有两解，
此时方程在时有两解，
当，即时，只有一解，
此时方程在时只有一解，
当，即时，无解，
此时方程在时无解，
不妨设，
此时，
得到，
所以函数在上单调递减，
当时，，，
所以，
当时，，，
所以，
易知函数在上一定存在使得，
即方程在时只有一解，
综上所述，当时，有两条公切线，故选项B正确；
当时，有一条公切线，
又，
所以当时，只有一条公切线，故选项C正确；
当时，有三条公切线，
因为，
所以当时，有三条公切线，故选项D正确．
故选：．
由题意，设曲线和的公切线分别与两曲线相切于，，根据导数的几何意义得到，化简可得，结合对数的定义可判断选项；构造函数和，利用导数分析其单调性，进而分析方程解的情况，进而求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
13.【答案】
【解析】解：取，该函数的定义域为，
对任意的、，，
即满足；
又因为函数为定义域上的增函数，即满足．
故函数满足条件．
故答案为：形如都可以，答案不唯一．
根据对数的运算性质以及对数函数的单调性可得出结果．
本题主要考查了对数函数性质的简单应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
又函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，对称轴为直线，
所以函数在上单调递减，
所以，
所以，
即实数的取值范围为．
故答案为：．
依题意可得在上恒成立，参变分离得到在上恒成立，令，结合二次函数的性质求出的最大值，即可求解．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性，化归转化思想，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：当时，，则，
若，当时，，
因为方程有两个不相等的实数根，如图，
所以，即．
若，当时，，此时方程有个解，如图，
当时，方程有个解需满足，即．
综上所述，实数的取值范围为．
故答案为：．
根据指数函数和对数函数的性质可得时，若，当时，，结合图象可得，进而求解；若，当时，方程有个解，结合图象可得，进而求解即可．
本题主要考查了由函数的零点求解参数范围，体现了转化思想及数形结合思想的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设，
则，，
当，
故可用牛顿切线法求在区间上的根的近似值．
由于在单调递增，
所以，所以的最小值为，即，
图象在点处的切线方程为：
，
化简得，
令，则，
由于，
所以，
，
所以，，
，，
故作为的近似值，
故答案为：；．
根据牛顿切线法，求解切线方程为，进一步得到，代入检验与的误差估计值不超过即可求解．
本题考查导数的综合应用，新定义的应用，利用函数的切线求函数的零点问题，化归转化思想，属中档题．
17.【答案】解：当时，，
而，
所以．
因为，所以，
当时，，即，此时满足；
当时，要使成立，
则需满足，解得．
综上所述，实数的取值范围是或
【解析】分别求解集合，，再根据集合间的交集运算即可求解；
由条件可知，利用子集关系，分和列式求解实数的取值范围．
本题主要考查了集合交集运算及集合并集的性质的应用，还考查了集合包含关系的应用，属于中档题．
18.【答案】解：因为，
所以，
又的解集为，
所以和是方程的两个根，且，
所以，
解得，．
由知，，
由题意，当时，，
则，
所以函数在上单调递增，
又是定义在上的奇函数，，
所以函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增．
由，得，
所以，即，
所以不等式的解集为．
【解析】先求导，结合题意可得和是方程的两个根，且，进而根据韦达定理即可求解；
先求得时，，结合导数分析其单调性，进而结合奇函数的性质可得函数在上的单调性，进而转化为，进而利用单调性求解．
本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：因为，
则，
因为函数在处取得极小值，
则，
解得，
此时，则，
由可得，由可得，
所以函数的减区间为，增区间为，
所以函数在处取得极小值，合乎题意，
则，，
因此的图象在点处的切线方程为，
即．
由可得，
设，则，
因为，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，
故实数的取值范围为．
【解析】分析可得，求出、的值，然后利用函数的极值与导数的关系验证即可，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
由参变量分离法可得，令，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：因为，则，
当时，，函数在上单调递减；
当时，
当时，，单调递减，时，，单调递增；
综上，当时，函数在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：由可知，当时，在处取得最小值，
若，使得，
只需，即恒成立即可，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故当时，，
所以，使得．
【解析】对求导，利用导数与函数单调性的关系，分与两种情况讨论，即可求解；
结合中结论，将问题转化为恒成立，从而构造函数，利用导数求得即可得证．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性，不等式的证明，化归转化思想，属难题．
21.【答案】解：当时，，
则，
令，则，化简得，解得或舍去，
当时，，则在上递增，
当时，，则在上递减，
所以当时，取得最大值，
因为，所以目标不能实现；
由可知，当时，公司年增加最大利润为万元，
当时，，
所以当时，取得最大值，
因为，
所以投资万元时，公司年增加利润最大为万元．
【解析】当时，，对函数求导后求出其单调区间，从而可求出其最大值，再与比较即可；
由可知当时，的最大值为，然后求出时的最大值进行比较判断．
本题考查分段函数在实际问题中的应用，主要是函数的最值求法，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
22.【答案】解：函数的定义域为，，
显然在上单调递增，又，，
所以存在，使得，即，
当时，函数在上单调递减，
当时，函数在上单调递增，
且，
且时且，，
所以在上有唯一的零点．
因为，定义域为，
则，
因为有两个极值点，所以有两个变号零点，
令，，，则，
所以在上单调递增，
要使以有两个变号零点，只需，有两个变号零点，
，
当时在上恒成立，单调递增，不满足题意，
当时，当，，即单调递减，
当，，即单调递增，
所以在处取得极小值即最小值，，
要使有两个变号零点，则，即，解得，
此时，，
所以在和上各有一个变号零点，满足题意，
综上所述，实数的取值范围为．
【解析】求出函数的导函数，根据及取值的特征，可得的单调性，再根据零点存在性定理判断即可；
求出的解析式与导函数，依题意可得有两个变号零点，令，则只需，有两个变号零点，利用导数求出函数的最小值，即可得到不等式，从而求出的取值范围．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与零点及极值问题，属难题．
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