2022-2023学年江苏省徐州市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省徐州市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2. 已知，，，四点在平面内，且任意三点都不共线，点在外，且满足，则( )
A. B. C. D.
3. 名男生和名女生排成一排，其中女生甲不排两端的不同排法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4. 某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击次恰有次击中目标的概率为( )
A. B.
C. D.
5. 若，，则的一个充分条件是( )
A. B. C. D.
6. 已知集合，，：为从到的函数，且有两个不同的实数根，则这样的函数个数为( )
A. B. C. D.
7. 已知，，，则( )
A. B. C. D.
8. 已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 某市两万名高三学生数学期末统考成绩满分分近似服从正态分布，则下列说法正确的是( )
附：若随机变量服从正态分布，则，，
A. 该次成绩高于分的学生约有人
B. 任取该市一名高三学生，其成绩低于分的概率约为
C. 若将该次成绩的前划定为优秀，则优秀分数线约为分
D. 试卷平均得分与试卷总分比值为该试卷难度，则该份试卷难度为
10. 已知，则( )
A.
B.
C.
D.
11. 在平行六面体中，，，，则( )
A. 平面 B.
C. D. 点到平面的距离为
12. 已知随机事件，满足，，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知随机变量的概率分布如下：
则的方差为______ ．
14. 已知“，”为假命题，则实数的取值范围是______ ．
15. 写出一个同时具有下列性质的函数 ______ ．
是偶函数；
；
对，，且，．
16. 已知正方体的棱长为，，，分别在棱，，上，且满足，是的重心，若直线与平面所成角为，则的值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知实数满足．
求的值；
求展开式中有理项的系数之和．
18. 本小题分
已知一组数据的散点图如图：
根据散点图计算，的相关系数，并据此判断是否可用线性回归模型拟合与的关系？若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合
若可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测时的值
附：相关公式及参考数据：，．
回归方程中，，．
19. 本小题分
为了研究学生是否喜欢篮球运动与性别的关系，某校高二年级随机对该年级名学生进行了跟踪调查，其中喜欢篮球运动的学生有人，在余下的学生中，女生占，根据数据制成列联表如下：
男生 女生 合计
喜欢
不喜欢
合计
根据题意，完成上述列联表，并判断是否有的把握认为喜欢篮球运动和性别有关？
在不喜欢篮球运动的人中随机抽取人继续跟踪调查，其中男生人数记为随机变量，求的分布列和数学期望．
附：，其中．
20. 本小题分
甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取个球．
求第一次取出的球是红球的概率；
求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率．
21. 本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别在棱，上．
当为棱中点时，求证：；
当为棱中点时，求平面与平面所成的二面角余弦值的最大值．
22. 本小题分
已知函数有三个零点，，
求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为或，则，
又因为，则，AC错误；
，B错误，D正确．
故选：．
求出集合，利用集合的运算可得出正确的选项．
本题主要考查了集合的交集，并集及补集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，，，四点在平面内，点在外，
由空间向量的共面定理可知，存在实数，，，使得且，
因为，所以，
所以，解得．
故选：．
根据空间向量的共面定理可求的值．
本题主要考查了向量的线性运算即空间向量基本定理，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：依题意首先将女生甲排到除两端外的三个位置中的一个位置，有种排法，
其余名同学全排列，有种排法，
按照分步乘法计数原理可知一共有种排法．
故选：．
首先排好女生甲，再将其余人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，设为射手在次射击中击中目标的次数，则，
故在次射击中，恰有次击中目标的概率为．
故选：．
根据题意，设为射手在次射击中击中目标的次数，则，进而由二项分布的概率公式来解．
本题考查二项分布的概率计算，注意二项分布的定义，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：对，因为，，，所以不妨设，则，故A不正确；
对，因为，，，所以，当且仅当时等号成立，故B正确；
对，因为，，，所以不妨设，则，故C不正确；
对，因为，，，所以不妨设，则，故D不正确．
故选：．
由赋值法可判定，，D错误，由基本不等式可判定B正确．
本题考查充分条件的概念及基本不等式的应用，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意可知先从集合中选两个元素与对应，有种方法，
然后集合中剩下的个元素，每个元素都有种对应形式，则有种方法，
所以由分步乘法原理可知这样的函数有个．
故选：．
由题意可知先从集合中选两个元素与对应，然后集合中剩下的个元素，每个元素都有种对应形式，再利用分步乘法原理可求得结果．
本题主要考查了函数定义的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以，即，
因为
所以，
所以，
故选：．
由于，可得，由，利用二项式定理展开可得，从而可比较出大小．
本题考查比较大小问题，二项式定理的应用，化归转化思想，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意可知，设，显然有，
又是定义在上的增函数，易知在上是增函数．
原不等式可化为，
即，解不等式组可得．
故选：．
利用函数的对称性，构造，原不等式可化为，利用其单调性去函数符号解不等式即可．
本题主要考查了函数的单调性及对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：设两万名高三学生数学期末统考成绩为，则，
所以，，则，
所以，
所以该次成绩高于分的学生约有人，故A正确；
，，，
所以，故B不正确；
因为，，
所以，
，
若将该次成绩的前划定为优秀，则优秀分数线约为分，故C正确；
试卷平均得分即为，试卷总分，
所以，故D不正确．
故选：．
根据正态分布的对称性以及原则，结合选项一一分析即可得出答案．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，
又展开式的通项为且，
所以，，
，，
，，故A正确；
所以，故B错误；
所以，故C正确；
所以，故D正确．
故选：．
由，写出展开式的通项，即可求出展开式的系数，即可得解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：如图所示，连接，，，作于点，作于点，
对于项，由题意可得底面为菱形，
则有，
又，
即，
，、面，故BD平面，即A正确；
对于项，，
，故，即C错误；
对于项，显然，
在平行四边形中，又有，即B正确；
对于项，由项平面，平面，可得，
又，、面，故A面，
面，则，，G、面，
故AB面，面，，即、、均为直角三角形，
，
则，即D正确．
故选：．
对于项，利用图形的几何性质及空间向量的数量积并线面垂直的判定定理即可判断；对于项，根据空间向量加法法则计算即可；对于项，由空间向量的数量积计算即可判定；对于项，利用三余弦定理结合已知条件计算即可；
本题考查点、线、面间的距离公式，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，因为，，，
所以，，
所以，即，选项A正确；
对于，因为，，
又因为，所以，所以，
代入可得：，解得，
又因为，所以，选项B正确；
对于，，选项C错误；
对于，，选项D错误．
故选：．
利用条件概率公式和相互独立事件的概率公式对选项判断即可．
本题考查了条件概率公式和相互独立事件的概率公式应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：由分布列得：，
所以．
故答案为：．
根据分布列，利用期望和方差的公式求解．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列，考查了方差的计算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由“，”为假命题，
可知“，”为真命题，
设，则有在上恒成立，
则须满足，解得：．
故答案为：．
根据命题与命题的否定的真假性相反，可得“，”为真命题，再利用二次函数的图象特征即可求解．
本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．
15.【答案】答案不唯一，比如，，
【解析】解：由可知，在区间上，为减函数；
由可知符合题意．
故答案为：答案不唯一，比如，，
根据条件写出一个满足题意的函数即可．
本题主要考查函数奇偶性与单调性，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：如图，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为是的重心，
所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
因为，
所以，
令，则，，
所以，
因为直线与平面所成角为，
所以，，，
所以，化简得，
解得或舍去，
故答案为：．
以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可．
本题考查直线与平面的位置关系，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．
17.【答案】解：因为，
所以，
即，．
由可得，二项式，
则它展开式的通项为，且．
所以当，，时，是有理项，系数分别为，，，
故展开式中有理项的系数之和为．
【解析】根据对数的运算法则及指数对数恒等式计算可得结论．
写出展开式的通项，即可得到，，时是有理项，从而得到其系数，即可得解．
本题主要考查对数的运算法则，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于中档题．
18.【答案】解：，，
因为，，，
所以，
所以可用线性回归模型拟合与的关系．
因为，，，
所以，所以关于的线性回归方程为．
将代入线性回归方程可得，．
【解析】根据相关公式计算相关系数判定即可；
根据相关公式计算，可得回归方程，代入即可预测结果．
本题考查线性回归方程相关知识，属于中档题．
19.【答案】解：由题意，列联表如下：
男生 女生 合计
喜欢
不喜欢
合计
提出假设：性别与是否喜欢篮球运动无关，
根据列联表中的数据可以求得，
因为当成立时，的概率约为，
所以有的把握认为喜欢篮球运动和性别有关．
的所有可能取值为，，，
，，，
故随机变量的分布列为：
数学期望．
【解析】根据条件补充表格，并利用卡方公式计算即可判定；
根据离散型随机变量的取值计算其对应概率得出分布列，再由期望公式计算即可．
本题主要考查离散型随机变量期望与分布列的求解，属于中档题．
20.【答案】解：设“取出的是甲袋”为事件，“取出的是乙袋”为事件，“第一次取出的球是红球”为事件，“第二次取出的球是白球”为事件，
则，
由题意易得，，
所以，
即第一次取出的球是红球的概率为；
，，
故，
所以，
故第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率为．
【解析】根据全概率公式计算即可；
根据全概率公式和条件概率公式计算即可．
本题主要考查了全概率公式，属于中档题．
21.【答案】解：证明：因为底面为正方形，
所以，
又因为平面，，平面，
所以，，
以，，所在直线分别为，，轴，建立空间坐标系，
则，，，，，
当为棱中点时，，
设，
所以，，
所以，
所以，
所以．
当为棱中点时，，
设，
所以，，，，
设平面的法向量为，
所以，
取，则，，
所以，
设平面的法向量为，
所以，
取，则，，
所以，
设平面与平面所成角为，
则，，
令，则，
所以当，即时，取最大值，
所以平面与平面所成的二面角余弦值的最大值为．
【解析】以，，所在直线分别为，，轴，建立空间坐标系，设，由，即可证明．
分别求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式结合二次函数的性质，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．
22.【答案】解：当时，，
令，解得，，，
所以有三个零点，符合题意；
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，如图所示，绘制函数草图，
要满足函数有三个零点，则，解得；
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，如图所示，绘制函数草图，
要满足函数有三个零点，则，解得，所以，
综上所述，的取值范围是；
当时，，
当时，，
所以，是函数的两个零点，所以，
因为，所以，
当时，为函数较大零点，
所以，所以；
当时，，所以为较大零点，
所以，所以；
当时，，所以为较小零点，
所以，
将其看成关于的函数，可知其在上单调递减，
所以，所以；
综上所述，实数的取值范围是
【解析】分类讨论去绝对值符号，根据二次函数的图象与性质及零点存在定理计算即可；
结合的结论，分类讨论找出零点所属分段函数的哪一段，计算即可．
本题考查了函数零点与方程的根，函数图象之间的关系，属难题．
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