2022-2023学年甘肃省白银市会宁三中高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年甘肃省白银市会宁三中高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2. 已知函数，则( )
A. B. C. D.
3. 在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小为( )
A.
B.
C.
D.
4. 在中，“”是“为锐角三角形”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 从，，，，中任取两个不同的数，记为，则成立的概率为( )
A. B. C. D.
6. 函数的部分图象大致为( )
A. B. C. D.
7. 年月日，中国北京第届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众，衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？( )
A. B. C. D.
8. 如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则点到平面的距离是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 袋中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从袋中不放回的依次抽取个球．记事件“第一次抽到的是白球”，事件“第二次抽到的是白球”，则( )
A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立
C. D.
10. 设离散型随机变量的分布列为
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有( )
A. B. ，
C. ， D. ，
11. 已知函数，其中表示不大于的最大整数，下列关于的性质，正确的是( )
A. 在上是增函数 B. 是偶函数
C. 的值域为 D. 是奇函数
12. 已知随机变量服从正态分布，密度函数，若，则( )
A. B.
C. 在上是增函数 D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知的展开式中的系数为______．
14. 若点在直线上，则的最小值是______．
15. 已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则______．
16. 若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于，另一个实根大于，则实数的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知集合，，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
18. 本小题分
甲、乙两支篮球队在赛季总决赛中采用场胜制，每场必须分出胜负，每场之间互不影响，只要有一队获胜场就结束比赛已知甲球队每场获胜的概率为．
求甲队以：获胜的概率；
设表示决出冠军时比赛的场数，求的分布列和数学期望．
19. 本小题分
研究机构对某校学生往返校时间的统计资料表明：该校学生居住地到学校的距离单位：千米和学生花费在上学路上的时间单位：分钟有如下的统计资料：
到学校的距离千米
花费的时间分钟
如果统计资料表明与有线性相关关系，试求：
判断与是否有很强的线性相关性？
相关系数的绝对值大于时，认为两个变量有很强的线性相关性，精确到
求线性回归方程精确到．
参考数据：，，，，，．
参考公式：，．
20. 本小题分
已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知．
求证：平面；
求二面角的大小．
21. 本小题分
随着经济的发展，人们的生活水平显著提高，健康意识不断增强，健康管理理念深入人心，人们参加体育锻炼的次数与时间在逐渐增加．某校一个课外学习小组为研究居民参加体育锻炼的时长时长不超过分钟是否与性别有关，对某小区居民进行调查，并随机抽取了名居民的调查结果，其中男性有人，根据调查结果绘制了居民日均锻炼时间的频率分布直方图如下：
求样本中居民日均锻炼时间的中位数；
将日均锻炼时间不低于分钟的居民称为“健生达人”健康生活达人，已知样本中“健生达人”中有名女性，根据已知条件完成下面列联表，并据此资料判断是否有的把握认为“健生达人”与性别有关．
非健生达人 健生达人 合计
男
女
合计
附：，．
22. 本小题分
设，曲线在点处取得极值．
求的值；
求函数的单调区间和极值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，集合，
所以，
所以，
故选：．
先求得，利用交集的运算即可求得答案．
本题主要考查了补集、交集的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
则．
故选：．
由题意利用导数的运算可求，代值计算即可求解．
本题考查了导数的运算，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：不妨设，则，
直线与所成角为
故选：．
把问题转化为向量的夹角，由数量积为可得结论．
本题考查异面直线及其所成的角，其中利用向量法将空间直线夹角转化为向量夹角是解答的关键，属中档题．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角形的性质是解决本题的关键．
根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的性质进行判断即可．
【解答】
解：若为钝角，为锐角，则，，
则满足，但为锐角三角形不成立，
若为锐角三角形，则，，都是锐角，
即，即，，
则，
即，
故“”是“为锐角三角形”的必要不充分条件，
故选：

5.【答案】
【解析】解：从，，，，中任取两个不同的数，记为，共有个基本事件，
分别为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
记“成立”为事件，
若，则且，
所以事件包含个基本事件，
故其概率为．
故选：．
从，，，，中任取两个不同的数，记为，求所有可能的基本事件的个数，记“成立”为事件，求事件包含的基本事件的个数，最后根据古典模型的概率计算公式求得结果．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了对数函数的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：的定义域为，，
可得为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项D；
又的导数为，可得递增，且，
所以的零点只有一个，为，可排除选项A；
当时，，可排除选项C；
故选：．
首先判断的奇偶性，可得图象的特点，讨论的零点和时，的变化趋势，由排除法可得结论．
本题考查函数的图象的判断，注意分析函数的奇偶性和函数值的变化趋势，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查排列组合应用，考查数学运算能力，属于基础题．
把立春和惊蛰捆绑计算六张知识展板的放置方法减去把立春、惊蛰、清明捆绑计算六张知识展板放置方法可得答案．
【解答】
解：根据题意不同的放置方式有
．
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．
点到平面的距离等于点到平面的距离，再由等体积法求解．
【解答】
解：如图，
在棱长为的正方体中，是的中点，
点到平面的距离等于点到平面的距离，
，，则．
设到平面的距离为，由等体积法可得：，
，解得．
故选：．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查条件概率，考查学生的运算能力，属于中档题．
根据互斥事件以及相互独立事件的概念，可判断，；事件“第二次抽到的是白球”，分两种情况，即第一次抽到红球第二次抽到白球和第一次抽到白球第二次也抽到白球，由此判断；根据条件概率的公式计算，可判断．
【解答】
解：对于，由于第一次抽到的是白球和第二次抽到白球，可以同时发生，
故事件与事件不互斥，故A错误；
对于，由于是从袋中不放回的依次抽取个球，
因此第一次抽球的结果对第二次抽到什么颜色的球是有影响的，
因此事件与事件不是相互独立关系，故B错误；
对于，事件“第二次抽到的是白球“，分两种情况，
即第一次抽到红球第二次抽到白球和第一次抽到白球第二次也抽到白球，
故，故C正确；
对于，，故，故D正确．
故选CD．

10.【答案】
【解析】解：由离散型随机变量的分布列的性质得：
，
，
，
离散型随机变量满足，
，
．
故选：．
由离散型随机变量的分布列的性质求出，由此能求出，，再由离散型随机变量满足，能求出和．
本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，
当时，，此时．
当时，，此时．
当时，，此时．
当时，，此时．
当时，，此时．
当时，，此时．
在区间上，，为增函数，A正确；
函数为非奇非偶函数，故B，D错误；
由此可得函数，故C正确；
故选：．
根据题意，分段讨论的解析式，据此分析选项，综合可得答案．
本题考查函数的值域，单调性，奇偶性和周期性，其中正确理解新定义是解题的关键，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：，
根据正态曲线的对称性可得，，故A正确，
，，故B错误，
随机变量服从正态分布，
正态曲线关于直线对称，在上是减函数，故C错误，
，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可依次求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：在的展开式中，通项公式为，
令，可得展开式中的系数为，
故答案为：．
先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于，求得的值，即可求得展开式中的的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了“乘法”和基本不等式，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．
利用“乘法”和基本不等式即可得出．
【解答】
解：若点在直线上，
则，
则
，
当且仅当，即时“”成立，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：求导函数可得，
令，可得或；令，可得；
函数在，上单调增，上单调减，
函数在处取得极大值，在处取得极小值，
函数的图象与轴恰有两个公共点，
极大值等于或极小值等于，
或，
或．
故答案为：．
求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数的图象与轴恰有两个公共点，可得极大值等于或极小值等于，由此可求的值．
本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于或极小值等于．
16.【答案】
【解析】解：设，
由题意可得，即，解得，
故实数的取值范围为．
故答案为：．
由题意可得，即，解得即可求出的范围．
本题考查二次方程的实根的分布，注意结合二次函数的图象，考查运算能力，属于基础题．
17.【答案】解：；
该函数在上单调递增，时，；
，；
是的充分条件；
；
解得，或；
实数的取值范围为．
【解析】先求二次函数在区间上的值域，从而解出集合，在解出集合，根据“”是“”的充分条件即可得到关于的不等式，从而解不等式即得实数的取值范围．
考查二次函数在闭区间上的值域的求法，描述法表示集合，以及充分条件的概念，解一元二次不等式．
18.【答案】解：因为甲队以：获胜，所以事件为甲队三场胜两场以及胜第四场，乙队前三场胜一场，
因为甲球队每场获胜的概率为，所以甲球队每场失败的概率也为，
所以．
由题意知的可能取值为，，，
则，
，
，
则的分布列为：

．
【解析】事件为甲队三场胜两场以及胜第四场，乙队前三场胜一场，进而求解即可；
的可能取值为，，，进而求解即可．
本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
19.【答案】解：，与有很强的线性相关性；
依题意得，
，
所以，
又因为，
故线性回归方程为．
【解析】通过计算线性相关系数可得答案；根据题意写出统计表，用统计表中的数据求出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．
本题考查了相关系数和回归方程的计算，属于中档题．
20.【答案】解：取的中点，因为为的中点
则为中位线，得出，
因为，所以，
又平面，所以，，两两垂直，
以，，为轴建立空间坐标系，
则，，，，，
，，，
由 ，知，又，从而平面 分
由，得设平面的一个法向量为，
因为，，所以，
设，则
再设平面的一个法向量为，因为 ，，所以，
设，则为，
，，
又二面角为锐二面角，所以大小为．
分
【解析】取的中点，则，证出，，为两两垂直后，以为原点，建立空间坐标系，由 ，结合，可以证出平面．
设，由，得，分别求出平面，平面 的一个法向量，利用两法向量夹角求出二面角 的大小．
本题考查空间直线、平面位置关系的判断，二面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．利用向量这一工具，解决空间几何体问题，能够降低思维难度．
21.【答案】解：由频率分布直方图知日均锻炼时间在对应的频率为，
则中位数位于，且中位数为分钟．
由频率颁布直方图可知在抽取的人中，“健生达人”有人，从而列联表如下：
非健生达人 健生达人 合计
男
女
合计
，
没有的把握认为“健生达人”与性别有关．
【解析】根据已知条件，结合中位数公式，即可求解．
由频率颁布直方图可知在抽取的人中，“健生达人”有人，从而可推得列联表，再结合独立性检验公式，即可求解．
本题主要考查了独立性检验公式，以及中位数的求解，属于基础题．
22.【答案】解：，则，
又，
故可得，解得；
经检验符合题意．
由可知，，
，
令，解得，
又函数定义域为，
故可得在区间和单调递减，在区间单调递增．
故的极大值为，的极小值为．
【解析】由，可求得的值；
求导得，利用导数符号与函数单调性的关系，可求得函数的单调区间和极值．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
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