第二章 常用逻辑用语 复习小练习（含解析）

常用逻辑用语复习小练习
一、单项选择题
1. 命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是(　　)
A. 所有能被5整除的整数都不是奇数
B. 所有奇数都不能被5整除
C. 存在一个能被5整除的整数不是奇数
D. 存在一个奇数，不能被5整除　
2.下列命题中，真命题的个数为(　　)
①面积相等的三角形是全等三角形；
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a>b，则a＋c>b＋c；
④矩形的对角线互相垂直．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4　
3.若“＜”是“2x－3A. (－∞，3) B. (－∞，3] C. (3，＋∞) D. [3，＋∞)　
4.《渔樵问对》通过渔樵对话来消解古今兴亡等厚重话题，作者是邵雍，北宋儒家五子之一，下面是节选的一段译文：
樵者问渔者：“你如何钓到鱼？” 答：“我用六种物具钓到鱼. ”
问：“六物具备，就能钓到鱼吗？” 答：“六物具备而钓上鱼，是人力所为．六物具备而钓不上鱼，非人力所为. 一不具，则鱼不可得. ”
由此可知，“六物具备”是“能钓上鱼”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件　
二、多项选择题
5.下列命题中，正确的是(　　)
A. 若集合M，N满足命题“ x1∈M， x2∈N，x1－x2＝0”为真命题，则M N
B. 若集合M，N满足命题“ x1∈M， x2∈N，x－x＝0”为真命题，则M N
C. 若集合M满足命题“ x∈M，x2－x<2”为真命题，则M {x|－1D. 若集合M满足命题“ x∈M，|x－1|≥1”为假命题，则M {x|06.下列结论中，正确的是(　　)
A. “x2>4”是“x<－2”的充分不必要条件
B. 在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
C. 若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
D. “x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件
三、填空题
7.已知A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}, x，y∈Z，则“x，y∈A”是“x＋y∈B”的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)　
8.下列命题中，是全称量词命题的为______，是存在量词命题的为________．(填序号) ①正方形的四条边都相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．　
四、解答题
9. 已知命题p:“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”．(1) 写出命题p的否定；(2) 若命题p是假命题，求实数a的取值范围．
10.已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}．(1) 若a＝3，求()∩Q；(2) 若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
参考答案
一、单项选择题
1. 命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是(　　)
A. 所有能被5整除的整数都不是奇数
B. 所有奇数都不能被5整除
C. 存在一个能被5整除的整数不是奇数
D. 存在一个奇数，不能被5整除　
【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，而选项A，B是全称量词命题，所以A，B错误．因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，所以D错误，C正确．故选C.
2.下列命题中，真命题的个数为(　　)
①面积相等的三角形是全等三角形；
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a>b，则a＋c>b＋c；
④矩形的对角线互相垂直．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4　
【解析】面积相等的三角形不一定全等，故①错误；当x＝0，y≠0时，xy＝0，而|x|＋|y|≠0，故②错误；由不等式的性质得，若a>b，则a＋c>b＋c，故③正确；矩形的对角线相等，但不一定垂直，故④错误．故真命题的个数为1.故选A.
3.若“＜”是“2x－3A. (－∞，3) B. (－∞，3] C. (3，＋∞) D. [3，＋∞)　
【解析】由＜，得04.《渔樵问对》通过渔樵对话来消解古今兴亡等厚重话题，作者是邵雍，北宋儒家五子之一，下面是节选的一段译文：
樵者问渔者：“你如何钓到鱼？” 答：“我用六种物具钓到鱼. ”
问：“六物具备，就能钓到鱼吗？” 答：“六物具备而钓上鱼，是人力所为．六物具备而钓不上鱼，非人力所为. 一不具，则鱼不可得. ”
由此可知，“六物具备”是“能钓上鱼”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件　
【解析】六物具备不一定能钓上鱼，而钓上鱼肯定要六物具备，所以“六物具备”是“能钓上鱼”的必要不充分条件．故选B.
二、多项选择题
5.下列命题中，正确的是(　　)
A. 若集合M，N满足命题“ x1∈M， x2∈N，x1－x2＝0”为真命题，则M N
B. 若集合M，N满足命题“ x1∈M， x2∈N，x－x＝0”为真命题，则M N
C. 若集合M满足命题“ x∈M，x2－x<2”为真命题，则M {x|－1D. 若集合M满足命题“ x∈M，|x－1|≥1”为假命题，则M {x|0【解析】对于A, “ x1∈M， x2∈N，x1－x2＝0”为真命题，即x2＝x1，则M N，故A正确；对于B，“ x1∈M， x2∈N，x－x＝(x1＋x2)(x1－x2)＝0”为真命题，即x2＝x1或x2＝－x1，所以M，N不一定有包含关系，故B错误；对于C，“ x∈M，x2－x<2”为真命题，x2－x－2＝(x－2)(x＋1)<0，即－16.下列结论中，正确的是(　　)
A. “x2>4”是“x<－2”的充分不必要条件
B. 在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
C. 若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
D. “x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件
【解析】对于A，若x2>4，则x>2或x<－2，所以“x2>4”是“x<－2”的必要不充分条件，故A错误；对于B，在△ABC中，若AB2＋AC2＝BC2，则△ABC为直角三角形，反之，若△ABC为直角三角形，直角为∠B，∠C时，AB2＋AC2＝BC2不成立，所以“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件，故B错误；对于C，若a2＋b2≠0，则a，b不全为0，若a，b不全为0，则a2＋b2≠0，所以“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件，故C正确；对于D，若x为无理数，如x＝，则x2＝2为有理数，若x2为无理数，则x为无理数，所以“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件，故D正确．故选CD.
三、填空题
7.已知A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}, x，y∈Z，则“x，y∈A”是“x＋y∈B”的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)　
【解析】设x＝2n1，y＝2n2，n1，n2∈Z，则x＋y＝2(n1＋n2)，当n1＋n2为奇数时，x＋y∈B，当n1＋n2为偶数时，x＋y∈B，故充分性不成立；设x＝1，y＝3，则x＋y∈B，但x，y∈A，故必要性不成立，故“x，y∈A”是“x＋y∈B”的既不充分又不必要条件．故答案为：既不充分又不必要.
8.下列命题中，是全称量词命题的为______，是存在量词命题的为________．(填序号) ①正方形的四条边都相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．　
【解析】①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”，是全称量词命题；②可表述为“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”，是全称量词命题；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”，是全称量词命题；④是存在量词命题．
故答案为：①②③　④.
四、解答题
9. 已知命题p:“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”．(1) 写出命题p的否定；(2) 若命题p是假命题，求实数a的取值范围．
【解析】(1) x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0.
(2) 因为 x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0为假命题，所以 x∈R，
x2＋(a－1)x＋1≥0为真命题，即Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3，
所以实数a的取值范围是[－1，3]．
10.已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}．(1) 若a＝3，求()∩Q；(2) 若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解析】(1) 因为a＝3，所以P＝{x|4≤x≤7}，所以＝{x|x<4或x>7}．
又Q＝{x|－2≤x≤5}，所以()∩Q＝{x|－2≤x<4}．
(2)由“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，得PQ，
当P＝ 时，有a＋1>2a＋1，解得a<0，满足题意；当P≠ 时，则有或解得0≤a<2或0≤a≤2，即0≤a≤2，
综上，实数a的取值范围是{a|a≤2}．