重庆市2023-2024学年高二上学期入学考试数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年上期高二入学考试模拟题（重庆适用）
数学
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
3.在中，，，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
5.已知函数在上的最小值为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6.某圆台的侧面展开式一个半圆环（如图所示），且其中内、外半圆弧所在圆的半径分别为 和，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.如图,在四棱锥中,平面,正方形的边长为，, 为侧棱的中点,则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
8.在中,,,为所在平面内的动点,且,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.已知复数满足，则（ ）
A. B.是纯虚数
C. D.复数在平面内对应的点在第四象限
10.已知正方形的边长为，向量满足，，则（ ）
A. B.
C.在上的投影向量的模为 D.
11.在中，角所对的边分别为，已知，且，，则（ ）
A. B.
C. D.外接圆的半径为
12.如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上,为圆的直径,为圆柱的两条母线,且,,,则（ ）
A.平面
B.直线与平面所成的角的正切值为
C.直线与直线所成的角的余弦值为
D.点到平面的距离为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，已知,则 .
14.设复数在复平面内对应的点为，若，，则的最大值为 .
15.在中，点满足，若线段上的一点满足，则的取值范围是 .
16.汾阳文峰塔建于明末清初,位于山西省汾阳市城区以东公里的建昌村,该塔共十三层,雄伟挺拔,高度位于中国砖结构古塔之首.如图,某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度,选取了与塔底在同一水平面内的三个测量基点,现测得,,,,,在点测得塔顶的仰角为,则塔高 (结果精确到).参考数据：取.
四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知复数，.
（1）若是纯虚数，求；
（2）若，求.
18.已知点为中边上一点，.
（1）设，求的值.
（2）设，求的值.
19.如图所示,在多面体中,四边形是正方形,是等边三角形,,且,分别是的中点.
(Ⅰ)证明：平面平面；
(Ⅱ)若平面平面,求四棱锥的体积.
20.已知的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，证明：是直角三角形.
21.函数的部分图象如图所示.已知，.
(1)求和的解析式；
(2)将的图象向右平移个单位长度,再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的
,纵必标不变,得到函数的图象,求在上的值域.
22.中国剪纸是一种民间艺术．具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，现有一张矩形卡片，对角线长为(为常数)，从中裁出一个内接正方形纸片
，使得点分别上，设，矩形纸片的面积为，正方形纸片的面积为.
(1)当时，求正方形纸片的边长（结果用表示)；
(2)当变化时，求的最大值及对应的值.
答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.答案：
B
解析：
，虚部为.
故选：B.
2.答案：
B
解析：
，则在上的投影向量为.
故选：B.
3.答案：
C
解析：
由题可知，则，故.
故选：C.
4.答案：
D
解析：
对于A选项直线相交，异面，平行都有可能；对于B选项还少了条件才能得到相应的结论；对于C选项，，与相交但不垂直都有可能.
故选：D.
5.答案：
C
解析：
因为，所以.由题可知，解得.
故选：C.
6.答案：
B
解析：
设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，，所以，且圆台的母线长为，圆台的高为.所以圆台的体积为.
故选：B.
7.答案：
D
解析：
连接,设,则是的中点,连接,由于是的中点,所以,则为异面直线与所成的角.，
由于平面,所以平面,则.
故选：D.
8.答案：
C
解析：
∵,∴,可得,，，
若,则,,,可得,即,即是等边三角形.如图所示,以为坐标原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,
∵,∴,.由题意设,
则,
∴
∵，∴，
，可得.
.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.答案：
A、B、D
解析：
设，则，由，可得，
所以解得，因此，其在复平面内对应的点为，在第四象限，D正确.
故选：ABD.
10.答案：
B、D
解析：
对于A，由已知可得，在正方形中可得，故A错误；对于B，，故B正确；
对于C，在上的投影向量的模为，故C错误；
对于D，，又与均不是零向量，所以，故D正确.
故选：BD.
11.答案：
A、B
解析：
设外接圆的半径为，由，可得，则，即.,由余弦定理得，则，.
故选：AB.
12.答案：
A、C、D
解析：
对于A,由已知得平面,平面,所以,又因为是底面圆的直径,在圆周上,所以,又,所以平面,故A正确；
对于B,因为平面,所以直线与平面所成的角为,计算易得,所以,故,故直线与平面所成的角的正切值为,故B错误；对于C,连接,由己知得，所以直线与直线所成的角为,在中,，
，
所以,故C正确；
对于D,设点到平面的距离为,则,
即,又,
所以,故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.答案：
解析：
由斜二测画法得，在中，，，所以.
14.答案：
解析：
设在复平面内对应的点分别为，由，可知点到点的为.所以的最大值为.
15.答案：
解析：
如图，∵，∵三点共线，
∴，∵，∴，∴，
∴.
16.答案：
解析：
由余弦定理得，
则
在中，由正弦定理得，
则.
在中，，所以.
四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.答案：
见解析
解析：
（1）由题意得，
因为是纯虚数，所以得.
（2）因为，所以得.
故.
18.（1）因为，所以.
所以.
所以.所以.
（2）.
.
.
19.答案：
见解析
解析：
(Ⅰ)因为,,是的中点，
所以,且,所以四边形是平行四边形,从而.
因为平面,平面,所以平面.
同理平面,
又,所以平面平面.
(Ⅱ)设的中点为,连接,则.
因为平面平面,平面平面,平面,
所以平面,因为,平面,所以平面,
所以到平面的距离为,
所以.
20.答案：
见解析
解析：
（1）由整理可得，
由余弦定理可得，
又，∴.
（2）由及正弦定理，可得，
∴
.
∵，∴，
∴，即是直角三角形.
21.答案：
见解析
解析：
（1）设的最小正周期为，因为，，
所以，则，，
所以，
又,所以,解得，
将点的坐标代入,可得,解得，
因为,所以,所以.
(2)将的图象向右平移个单位长度后,可得的图象.再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到的图象.
由,可得，
所以.所以在上的值域为.
22.答案：
见解析
解析：
（1）设正方形的边长为，则，
则，即，
整理得到，
当时，
（2），
因为，则，
则，
在上单调递减，故，
故的最大值为，此时，，故.