数学人教A版（2019）必修第一册4.2.1指数函数的概念（共21张ppt）

(共21张PPT)
4.2指数函数
4.2.1 指数函数的概念
上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法:
下面继续研究其他类型的基本初等函数．
抽象
抽象归纳
问题１随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，Ａ，Ｂ两地景区自2011年起采取了不同的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格，而Ｂ地则取消了景区门票．
下表给出了Ａ，Ｂ两地景区2011年至2015年的游客人次以及逐年增加量．
A地景区大约每年增长10万次
比较一下两地景区旅游人次的变化情况，你发现了怎样的规律？
用什么方法更易发现规律？
为了有利于观察规律，根据表，分别画出Ａ，Ｂ两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图，根据图像并结合年增长量，发现了什么规律？
Ａ地：游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为１０万次）
Ｂ地：游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律．
我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过对Ｂ地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试．
从2002年起，将Ｂ地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到
　　
结果表明，Ｂ 地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1＝0.11，是一个常数．
做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率．增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量．
像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长.
１年后，游客人次是２００１年的____________倍；
２年后，游客人次是２００１年的____________倍；
３年后，游客人次是２００１年的____________倍；
……
x年后，游客人次是２００１年的_____________倍．
因此，Ｂ地景区的游客人次近似于指数增长．显然，从２００１年开始，Ｂ地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：
1.111
1.112
1.113
1.11x
如果设经过x年后的游客人次为２００１年的y倍，那么
y＝________________________
1.11x （x∈[０，＋∞））． ①
这是一个函数，其中指数x是自变量
问题２　当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？
死亡１年后，生物体内碳１４含量为__________；
死亡２年后，生物体内碳１４含量为___________；
死亡３年后，生物体内碳１４含量为___________；
……
死亡５７３０年后，生物体内碳１４含量为___________．
根据已知条件（1-p)5730＝ ,从而 1-p= ,所以 p=1-．
设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳１４含量为y，那么y=（1-p)x ，
即, （x∈[０，＋∞）） ②．
这也是一个函数，指数x是自变量．
死亡生物体内碳１４含量每年都以1-规率衰减．
（1-p)1
（1-p)2
（1-p)3
（1-p)5730
设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个
单位,那么：
像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减。
抽象
抽象归纳
问题：以上两个式子有何共同特征？
(1)均是幂形式；
(2)底是一个常数；
(3)自变量x在指数位置上；
抽象归纳
y=1.11x （x∈[０，＋∞）） ①
, （x∈[０，＋∞））②
定义： 一般地：形如y = ax (a>0且a≠1)的函数叫做指数函数.其中x是自变量,函数的定义域是R
系数为1
底数为正数且不为1
x系数为1
思考：为什么指数函数中明确规定a>0,且 a≠1？


0
1
a
当a=1时，a x 恒等于1，没有研究的必要.
当a<0时，a x有些会没有意义，如
当a=0时，a x有些会没有意义，如
为了便于研究，规定： (a>0且a≠1)
1.下列函数中，是指数函数的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2.函数 是指数函数，则实数a的值为______.
B
3
分析：要求f(0)，f(1)，f(-3)的值，应先求出f(x)＝ax的解析式即先求出a的值；
解：因为 f(x)＝ax ,且 f(3)=π,则 = π，解得 = ,
于是f(x)＝
所以f(0)==1，f(1)==，f(-3)==
D
例２（1）在问题１中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，Ａ地景区的门票价格为150元，比较这15年间Ａ，Ｂ两地旅游收入变化情况．
解：（１）设经过x年，游客给Ａ，Ｂ两地带来的收入分别为f（x）
和g（x），
利用计算工具可得，
当x=0时，f（０）－g（０）＝412000．
当x≈10.22时，f（10.22）≈g（10.22）．
结合图可知：
当x＜10.22时，f（x）＞g（x），
当x＞10.22时，f（x）＜g（x）．
当x＝14时，f（14）－g（14）≈347303．
则f（x）＝1150×（10x+600），g（x）=1000×278×1.11x．
这说明，在2001年，游客给Ａ地带来的收入比Ｂ地多412000万元；随后10年，虽然f（x）＞g（x），但g（x）的增长速度大于f（x）；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有f（x）＝g（x），
这时游客给Ａ地带来的收入和Ｂ地差不多；此后，f（x）＜g（x），游客给Ｂ地带来的收入超过了Ａ地；由于g（x）增长得越来越快，在2015年，Ｂ地的收入已经比Ａ地多347303万元了．
（2）在问题2中，生物体死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？
解：设生物体死亡x年后，它体内碳14的含量为h(x)
如果把刚死亡的生物体内碳14的含量看成1个单位，那么
h(x), （x∈[０，＋∞））．
当生物体死亡10000年后，利用计算工具求得h(10000)=
所以，生物体死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的30%
指数增长模型
一般地，设原有量为N，每次的增长率为P,经过x次增长，该量增长到y
函数模型。
1、我们是如何引出指数函数概念的？
2、什么样的函数是指数函数，其解析式有什么特征？
(a>0且a≠1)
抽象
抽象归纳
3、
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