四川省遂宁市2022-2023学年高二下学期期末数学理科试题
1．（2023高二下·遂宁期末）设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二下·遂宁期末）命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2023高二下·遂宁期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023高二下·遂宁期末）设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023高二下·遂宁期末）已知抛物线的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ）
A．10 B．16 C．11 D．26
6．（2023高二下·遂宁期末）“燃脂单车”运动是一种在音乐的烘托下，运动者根据训练者的指引有节奏的踩踏单车，进而达到燃脂目的的运动，由于其操作简单，燃脂性强，受到广大健身爱好者的喜爱.已知某一单车爱好者的骑行速度v（单位：km/h）随时间t（单位：h）变换的函数关系为，，则该单车爱好者骑行速度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二下·遂宁期末）短道速滑队6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内)进行冬奥会选拔，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若是真命题，是假命题，是真命题，则选拔赛的结果为（ ）
A．甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名
B．甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名
C．甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名
D．甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名
8．（2023高二下·遂宁期末）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学排在上午（前4节），体育课排在下午（后2节），不同排法种数是（ ）
A．720 B．192 C．180 D．144
9．（2023高二下·遂宁期末）已知圆，若双曲线的一条渐近线与圆C相切，则（ ）
A． B． C． D．8
10．（2023高二下·遂宁期末）若函数的最小值是，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023高二下·遂宁期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2023高二下·遂宁期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点M是椭圆C上任意一点，且的取值范围为．当点M不在x轴上时，设的内切圆半径为m，外接圆半径为n，则mn的最大值为（ ）．
A． B． C． D．1
13．（2023高二下·遂宁期末）的展开式中的系数为 ．
14．（2023高二下·遂宁期末）已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是 ．
15．（2023高二下·遂宁期末）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为 ．
16．（2023高二下·遂宁期末）已知函数在处的切线斜率为，，若在上恒成立，则能取到的最大正整数为
17．（2023高二下·遂宁期末）分别求适合下列条件的方程：
（1）长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）经过点的抛物线的标准方程.
18．（2023高二下·遂宁期末）已知函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围．
19．（2023高二下·遂宁期末）党的二十大报告提出：“必须坚持科技是第一生产力 人才是第一资源 创新是第一动力，深入实施科教兴国战略 人才强国战略 创新驱动发展战略，开辟发展新领域新赛道，不断塑造发展新动能新优势.”某数字化公司为加快推进企业数字化进程，决定对其核心系统DAP，采取逐年增加研发人员的办法以提升企业整体研发和创新能力.现对2018~2022年的研发人数作了相关统计（年份代码1~5分别对应2018~2022年）如下折线图：
参考数据：当认为两个变量间的相关性较强
参考公式相关系数，
回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.
（1）根据折线统计图中数据，计算该公司研发人数与年份代码的相关系数，并由此判断其相关性的强弱；
（2）试求出关于的线性回归方程，并预测2023年该公司的研发人数（结果取整数）.
20．（2023高二下·遂宁期末）为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%.
附：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关？
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 12
女生 5
合计 30
（2）若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望.
21．（2023高二下·遂宁期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，为椭圆上一点，面积最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆相交于两点，若轴，垂足为.求证：直线的斜率；
（3）为椭圆的右顶点，若过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，为坐标原点.问：轴上是否存在定点，使得恒成立.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
22．（2023高二下·遂宁期末）已知函数（是自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个零点分别为.
①求实数的取值范围；
②求证：.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解： ，则
故答案为：A.
【分析】利用复数的四则运算化简z，再根据共轭复数的定义可得答案.
2．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为全称命题的否定为特称命题，命题“，”为全称命题，
故其否定为： ，
故答案为：C.
【分析】根据全称命题的否定为特称命题，可得答案.
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解： 由 ，可得a>b-3，
由a>b-3不一定能推出a>b；
但由a>b，可推出a>b-3，
故“”是“a>b"的必要不充分条件，
故答案为：B.
【分析】利用不等式的性质结合充分条件、必要条件的定义可得答案.
4．【答案】B
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】当时， 单调递减，则，
当时，先减后增，再减，则 先负后正，再负，
可得ACD错误，B正确.
故答案为：B.
【分析】根据导数符号与原函数单调性之间的关系分析判断.
5．【答案】C
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解： 抛物线C的准线为x=-5，过P作PT垂直于准线于T，
由抛物线的定义知|PF|=|PT|，
当P，Q， T三点共线时， |PF| + |PQ|有最小值，最小值为6+5=11.
故答案为：C.
【分析】 根据抛物线的定义，把 转化为Q到抛物线准线的距离，求解即可得答案.
6．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解： ，，求导得
当时v' (t)> 0，v (t)在上单调递增，
当t∈(1， 2]时v'(t)< 0，v (t)在(1， 2]上单调递减，
故v(t)max = v(1) =.
故答案为：C.
【分析】 求出函数v (t)的导函数，根据导数的符号可得函数的单调区间，进而求出函数的最小值，即可得答案.
7．【答案】D
【知识点】复合命题的真假
【解析】【解答】若是真命题，是假命题，则p和q一真一假；
若是真命题，则q是假命题，r是真命题；
综上可知，p真q假r真，故“甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名”.
故答案为：D.
【分析】 根据题意，由复合命题真假的判断方法可得p是真命题，q是假命题，r是真命题，由此可得答案.
8．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解： 数学课排在上午(前4节)有种，体育课排在下午(后2节)有种，
再排其余4节有种，
根据分步乘法计数原理，共有种方法，
故答案为：B.
【分析】 先求出排数学课的种数，然后求排体育课的种数，最后求出排其余4节的种数，利用分步乘法计数原理，即可求得答案.
9．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解： 圆 变形为(x-3)2+y2=1，
故圆心为(3， 0)，半径为1，
在双曲线中，a=1，b=m，则双曲线的一条渐近线为，
根据题意可得，解得
故答案为：C.
【分析】 先求出圆心和半径，再求出双曲线的一条渐近线，由直线与圆相切的性质列出方程，求解出m的值，可得答案.
10．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】当时，，，
，，单调递减，
，，单调递增，，
因为的最小值为，所以当时，，
当时，.
①若，在上单调递减，
，，得；
②若，在上单调递减，在上单调递增，，舍去.
综上.
故答案为：B.
【分析】利用导数求出函数f (x)在[0，+∞)上的最小值，然后对实数m的取值进行分类讨论，结合
f(x)min =-1可求得实数m的取值范围.
11．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为0
所以令，则，
，
即cc-b=3 (x-y) -3 (Inx-Iny) =3 (x-lnx) -3 (y-lny)，
设f(x) =3 (x-Inx) ，函数定义域为(0， 1)，则x-1<0
，故f(x)单调递减，
由0f(y)，
故c-b=f(x) -f(y)>0，
即c>b，
综上，a>c>b.
故答案为：D.
【分析】 利用赋值法判断a，c的大小，构造函数f(x) =3 (x-Inx) ，对f (x)进行求导，利用导数的符号得到f (x)的单调性， 得到b和c的大小关系，进而即可得答案.
12．【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算；正弦定理
【解析】【解答】解：由图可知
又，
故
则，解得
设∠F1MF2 =， |MF1|=t1，|MF2|=t2，由正弦定理可得，即
故
即
故
又
故，即，
故
当M在短轴的端点时，最大，此时MF1=MF2=F1F2=2，= 60°，∈(0°，60°]
∈(0°，30°]，则
当时，mn取得最大值，最大值为
故答案为：C.
【分析】由 的取值范围为结合椭圆的性质 可求出a，b，c，由正弦定理可得，再由等面积法可得，故，再结合∈(0°，60°]，可得，即可求出mn的最大值 .
13．【答案】40
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解： 二项式 的展开式的通项为
令r=2，可得含 的系数为，
故答案为：40.
【分析】 利用二项展开式的通项公式令r=2，可得 的展开式中的系数 .
14．【答案】且
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解： 由题意得，解得，即且
故答案为：且.
【分析】根据椭圆的定义列出方程组，求解可得实数k的取值范围.
15．【答案】
【知识点】双曲线的定义；余弦定理
【解析】【解答】解：在双曲线中，，，a=2，
则
又
由双曲线的定义可得，
解得|PF2|=2，则|PF1|=6，
故
故 的大小为.
故答案为：.
【分析】 由双曲线方程求得a，c的值，可得|F1F2|的值，再利用 结合双曲线的定义求出|PF2|，|PF1|，再由余弦定理求解可得 的大小 .
16．【答案】3
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义
【解析】【解答】解：因为 ，
则，
由题意可得，解得，
若 ，即，
整理得，
即在上恒成立，
令，，则，
因为，则，
又因为在上均为单调递增函数，
则在上为单调递增函数，且，
所以存在唯一的，使得，即，
当时，，当时，，
即当时，，当时，，
可知在内单调递减，在内单调递增，
所以
因为对勾函数在上单调递减，则，
则，所以m能取到的最大正整数为3.
故答案为：3.
【分析】根据导数的几何意义可得，由在上恒成立，整理可得在上恒成立，构建，求导，利用导数判断原函数的单调性和最小值，结合零点代换可得，根据题意结合恒成立问题分析求解.
17．【答案】（1）解：设椭圆的长轴长为，焦距为
由条件可得.所以.
所以，
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为
（2）解：当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，
此时，所求抛物线的标准方程为；
当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，
此时，所求抛物线的标准方程为.
综上所述，所求抛物线的标准方程为或
【知识点】椭圆的标准方程；抛物线的标准方程
【解析】【分析】（1）由已知条件确定a，c，再根据 求出b，再分焦点在x轴、焦点在y轴时两种情况求出椭圆标准方程；
（2）分焦点在x轴的负半轴时、焦点在y轴的负半轴时两种情况设出抛物线的标准方程，把点 代入进行求解，可得抛物线的标准方程.
18．【答案】（1）解：因为函数的图象过点，所以，
又因为，且点P处的切线恰好与直线垂直，
所以，
由解得，所以
（2）解：由(1)知，
令，即，解得或，
令，即，解得，
所以在单调递增，单调递减，
单调递增，
根据函数在区间上单调递增，
则有或，解得或.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】 (1)将P的坐标代入f (x)的解析式，得到 ，求出 ，进而求出 ， 即可求出a， b的值，可得函数的解析式；
(2) 由(1)知， 分别令 ， 求出函数的单调递增区间和递减区间， 根据函数在区间上单调递增， 可得 或 ，求解可得实数m的取值范围．
19．【答案】（1）解：由题知
因为，所以认为相关变量有较强的相关性.
（2）解：由（1）得
回归方程为
当时，即2023年该公司投入研发人数约540人.
【知识点】频率分布折线图、密度曲线；线性回归方程
【解析】【分析】 (1)将数据代入公式计算结合 判断，即可得结论；
(2)结合(1)和题中的数据求出，代入公式 计算出，即可求解出线性回归方程 .
20．【答案】（1）解：列联表如下：
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 12 4 16
女生 9 5 14
合计 21 9 30
，
所以没有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关；
（2）解：由题意可知X的取值可能为0，1，2，3，
则，
，
，
，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【分析】 (1)由题意先补充完整 列联表，再由K2的参考公式计算其观测值，并与附表中的数据对比，即得结论；
(2)由题可得X的取值，然后利用古典概型概率公式求出对应的概率，进而可得分布列，再利用期望公式即得数学期望.
21．【答案】（1）解：双曲线的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标为，则，
又椭圆中，由于，
所以面积最大值，故，则，
所以椭圆的方程为：
（2）解：设，由于直线过原点，则，.
所以直线的斜率
（3）解：由题设，可设直线l为且，联立椭圆方程，
整理得：，
则，
所以，即且，
所以，，
若存在使恒成立，则，
由椭圆对称性，不妨令在轴上方且，显然，
所以，即，
所以，
即，
综上，，
所以，存在使恒成立.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)根据已知条件先求得c，然后根据 面积最大值求得b，进而求出a，从而求得椭圆C的方程；
(2)设R(x， y)，由已知求得S，E的坐标，进而求得直线的斜率；
(3)设直线I的方程为y= k(x- 3)且k≠0，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得 ，，由∠MTO=∠NTA列方程，化简求得T的坐标.
22．【答案】（1）解：由题意可得，
①当时，在上递增；
②当时，在上递减，在上递增.
（2）解：①等价于有两个零点，
令，则，在时恒成立，所以在时单调递增，
所以有两个零点，等价于有两个零点.
因为 ，所以当时，，单调递增，不可能有两个零点；
当时，令，得，单调递增，令，得，单调递减，所以，
若，得，此时恒成立，没有零点；
若，得，此时有一个零点；
若，得，因为，，，
所以在，上各存在一个零点，符合题意，
综上，a的取值范围为.
②要证即证：，
即证，由（2）中①知，，所以只需证.
因为，，所以，，
所以 ，只需证.
设，令， 则，所以只需证 ， 即证 ，
令，，则 ，，
即当时， 成立.
所以，即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1)对函数f (x)进行求导，分a≤0和a > 0这两种情况讨论，结合导数的几何意义即可得到函数 函数的单调性；
(2)①构造函数 ， 有两个零点，等价于有两个零点，令 ，求导，根据导数符号得到在x > 0上单调性，对g (t)进行求导，分a≤0和a >0这两种情况讨论，结合导数的几何意义得到函数g(t)的单调性和最小值，对最小值的大小进行讨论，即可求解出实数的取值范围；
②要证即证： ，结合①中信息，需证 ，易知 ， 设，令，只需证 ， 即证 ， 令，，对k(m)进行求导，利用导数得到k (m)的单调性和最值，进而即可证得 .
1 / 1四川省遂宁市2022-2023学年高二下学期期末数学理科试题
1．（2023高二下·遂宁期末）设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解： ，则
故答案为：A.
【分析】利用复数的四则运算化简z，再根据共轭复数的定义可得答案.
2．（2023高二下·遂宁期末）命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为全称命题的否定为特称命题，命题“，”为全称命题，
故其否定为： ，
故答案为：C.
【分析】根据全称命题的否定为特称命题，可得答案.
3．（2023高二下·遂宁期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解： 由 ，可得a>b-3，
由a>b-3不一定能推出a>b；
但由a>b，可推出a>b-3，
故“”是“a>b"的必要不充分条件，
故答案为：B.
【分析】利用不等式的性质结合充分条件、必要条件的定义可得答案.
4．（2023高二下·遂宁期末）设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】当时， 单调递减，则，
当时，先减后增，再减，则 先负后正，再负，
可得ACD错误，B正确.
故答案为：B.
【分析】根据导数符号与原函数单调性之间的关系分析判断.
5．（2023高二下·遂宁期末）已知抛物线的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ）
A．10 B．16 C．11 D．26
【答案】C
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解： 抛物线C的准线为x=-5，过P作PT垂直于准线于T，
由抛物线的定义知|PF|=|PT|，
当P，Q， T三点共线时， |PF| + |PQ|有最小值，最小值为6+5=11.
故答案为：C.
【分析】 根据抛物线的定义，把 转化为Q到抛物线准线的距离，求解即可得答案.
6．（2023高二下·遂宁期末）“燃脂单车”运动是一种在音乐的烘托下，运动者根据训练者的指引有节奏的踩踏单车，进而达到燃脂目的的运动，由于其操作简单，燃脂性强，受到广大健身爱好者的喜爱.已知某一单车爱好者的骑行速度v（单位：km/h）随时间t（单位：h）变换的函数关系为，，则该单车爱好者骑行速度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解： ，，求导得
当时v' (t)> 0，v (t)在上单调递增，
当t∈(1， 2]时v'(t)< 0，v (t)在(1， 2]上单调递减，
故v(t)max = v(1) =.
故答案为：C.
【分析】 求出函数v (t)的导函数，根据导数的符号可得函数的单调区间，进而求出函数的最小值，即可得答案.
7．（2023高二下·遂宁期末）短道速滑队6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内)进行冬奥会选拔，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若是真命题，是假命题，是真命题，则选拔赛的结果为（ ）
A．甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名
B．甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名
C．甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名
D．甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名
【答案】D
【知识点】复合命题的真假
【解析】【解答】若是真命题，是假命题，则p和q一真一假；
若是真命题，则q是假命题，r是真命题；
综上可知，p真q假r真，故“甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名”.
故答案为：D.
【分析】 根据题意，由复合命题真假的判断方法可得p是真命题，q是假命题，r是真命题，由此可得答案.
8．（2023高二下·遂宁期末）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学排在上午（前4节），体育课排在下午（后2节），不同排法种数是（ ）
A．720 B．192 C．180 D．144
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解： 数学课排在上午(前4节)有种，体育课排在下午(后2节)有种，
再排其余4节有种，
根据分步乘法计数原理，共有种方法，
故答案为：B.
【分析】 先求出排数学课的种数，然后求排体育课的种数，最后求出排其余4节的种数，利用分步乘法计数原理，即可求得答案.
9．（2023高二下·遂宁期末）已知圆，若双曲线的一条渐近线与圆C相切，则（ ）
A． B． C． D．8
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解： 圆 变形为(x-3)2+y2=1，
故圆心为(3， 0)，半径为1，
在双曲线中，a=1，b=m，则双曲线的一条渐近线为，
根据题意可得，解得
故答案为：C.
【分析】 先求出圆心和半径，再求出双曲线的一条渐近线，由直线与圆相切的性质列出方程，求解出m的值，可得答案.
10．（2023高二下·遂宁期末）若函数的最小值是，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】当时，，，
，，单调递减，
，，单调递增，，
因为的最小值为，所以当时，，
当时，.
①若，在上单调递减，
，，得；
②若，在上单调递减，在上单调递增，，舍去.
综上.
故答案为：B.
【分析】利用导数求出函数f (x)在[0，+∞)上的最小值，然后对实数m的取值进行分类讨论，结合
f(x)min =-1可求得实数m的取值范围.
11．（2023高二下·遂宁期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为0所以令，则，
，
即cc-b=3 (x-y) -3 (Inx-Iny) =3 (x-lnx) -3 (y-lny)，
设f(x) =3 (x-Inx) ，函数定义域为(0， 1)，则x-1<0
，故f(x)单调递减，
由0f(y)，
故c-b=f(x) -f(y)>0，
即c>b，
综上，a>c>b.
故答案为：D.
【分析】 利用赋值法判断a，c的大小，构造函数f(x) =3 (x-Inx) ，对f (x)进行求导，利用导数的符号得到f (x)的单调性， 得到b和c的大小关系，进而即可得答案.
12．（2023高二下·遂宁期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点M是椭圆C上任意一点，且的取值范围为．当点M不在x轴上时，设的内切圆半径为m，外接圆半径为n，则mn的最大值为（ ）．
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算；正弦定理
【解析】【解答】解：由图可知
又，
故
则，解得
设∠F1MF2 =， |MF1|=t1，|MF2|=t2，由正弦定理可得，即
故
即
故
又
故，即，
故
当M在短轴的端点时，最大，此时MF1=MF2=F1F2=2，= 60°，∈(0°，60°]
∈(0°，30°]，则
当时，mn取得最大值，最大值为
故答案为：C.
【分析】由 的取值范围为结合椭圆的性质 可求出a，b，c，由正弦定理可得，再由等面积法可得，故，再结合∈(0°，60°]，可得，即可求出mn的最大值 .
13．（2023高二下·遂宁期末）的展开式中的系数为 ．
【答案】40
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解： 二项式 的展开式的通项为
令r=2，可得含 的系数为，
故答案为：40.
【分析】 利用二项展开式的通项公式令r=2，可得 的展开式中的系数 .
14．（2023高二下·遂宁期末）已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解： 由题意得，解得，即且
故答案为：且.
【分析】根据椭圆的定义列出方程组，求解可得实数k的取值范围.
15．（2023高二下·遂宁期末）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的定义；余弦定理
【解析】【解答】解：在双曲线中，，，a=2，
则
又
由双曲线的定义可得，
解得|PF2|=2，则|PF1|=6，
故
故 的大小为.
故答案为：.
【分析】 由双曲线方程求得a，c的值，可得|F1F2|的值，再利用 结合双曲线的定义求出|PF2|，|PF1|，再由余弦定理求解可得 的大小 .
16．（2023高二下·遂宁期末）已知函数在处的切线斜率为，，若在上恒成立，则能取到的最大正整数为
【答案】3
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义
【解析】【解答】解：因为 ，
则，
由题意可得，解得，
若 ，即，
整理得，
即在上恒成立，
令，，则，
因为，则，
又因为在上均为单调递增函数，
则在上为单调递增函数，且，
所以存在唯一的，使得，即，
当时，，当时，，
即当时，，当时，，
可知在内单调递减，在内单调递增，
所以
因为对勾函数在上单调递减，则，
则，所以m能取到的最大正整数为3.
故答案为：3.
【分析】根据导数的几何意义可得，由在上恒成立，整理可得在上恒成立，构建，求导，利用导数判断原函数的单调性和最小值，结合零点代换可得，根据题意结合恒成立问题分析求解.
17．（2023高二下·遂宁期末）分别求适合下列条件的方程：
（1）长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）经过点的抛物线的标准方程.
【答案】（1）解：设椭圆的长轴长为，焦距为
由条件可得.所以.
所以，
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为
（2）解：当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，
此时，所求抛物线的标准方程为；
当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，
此时，所求抛物线的标准方程为.
综上所述，所求抛物线的标准方程为或
【知识点】椭圆的标准方程；抛物线的标准方程
【解析】【分析】（1）由已知条件确定a，c，再根据 求出b，再分焦点在x轴、焦点在y轴时两种情况求出椭圆标准方程；
（2）分焦点在x轴的负半轴时、焦点在y轴的负半轴时两种情况设出抛物线的标准方程，把点 代入进行求解，可得抛物线的标准方程.
18．（2023高二下·遂宁期末）已知函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：因为函数的图象过点，所以，
又因为，且点P处的切线恰好与直线垂直，
所以，
由解得，所以
（2）解：由(1)知，
令，即，解得或，
令，即，解得，
所以在单调递增，单调递减，
单调递增，
根据函数在区间上单调递增，
则有或，解得或.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】 (1)将P的坐标代入f (x)的解析式，得到 ，求出 ，进而求出 ， 即可求出a， b的值，可得函数的解析式；
(2) 由(1)知， 分别令 ， 求出函数的单调递增区间和递减区间， 根据函数在区间上单调递增， 可得 或 ，求解可得实数m的取值范围．
19．（2023高二下·遂宁期末）党的二十大报告提出：“必须坚持科技是第一生产力 人才是第一资源 创新是第一动力，深入实施科教兴国战略 人才强国战略 创新驱动发展战略，开辟发展新领域新赛道，不断塑造发展新动能新优势.”某数字化公司为加快推进企业数字化进程，决定对其核心系统DAP，采取逐年增加研发人员的办法以提升企业整体研发和创新能力.现对2018~2022年的研发人数作了相关统计（年份代码1~5分别对应2018~2022年）如下折线图：
参考数据：当认为两个变量间的相关性较强
参考公式相关系数，
回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.
（1）根据折线统计图中数据，计算该公司研发人数与年份代码的相关系数，并由此判断其相关性的强弱；
（2）试求出关于的线性回归方程，并预测2023年该公司的研发人数（结果取整数）.
【答案】（1）解：由题知
因为，所以认为相关变量有较强的相关性.
（2）解：由（1）得
回归方程为
当时，即2023年该公司投入研发人数约540人.
【知识点】频率分布折线图、密度曲线；线性回归方程
【解析】【分析】 (1)将数据代入公式计算结合 判断，即可得结论；
(2)结合(1)和题中的数据求出，代入公式 计算出，即可求解出线性回归方程 .
20．（2023高二下·遂宁期末）为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%.
附：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关？
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 12
女生 5
合计 30
（2）若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望.
【答案】（1）解：列联表如下：
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 12 4 16
女生 9 5 14
合计 21 9 30
，
所以没有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关；
（2）解：由题意可知X的取值可能为0，1，2，3，
则，
，
，
，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【分析】 (1)由题意先补充完整 列联表，再由K2的参考公式计算其观测值，并与附表中的数据对比，即得结论；
(2)由题可得X的取值，然后利用古典概型概率公式求出对应的概率，进而可得分布列，再利用期望公式即得数学期望.
21．（2023高二下·遂宁期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，为椭圆上一点，面积最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆相交于两点，若轴，垂足为.求证：直线的斜率；
（3）为椭圆的右顶点，若过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，为坐标原点.问：轴上是否存在定点，使得恒成立.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：双曲线的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标为，则，
又椭圆中，由于，
所以面积最大值，故，则，
所以椭圆的方程为：
（2）解：设，由于直线过原点，则，.
所以直线的斜率
（3）解：由题设，可设直线l为且，联立椭圆方程，
整理得：，
则，
所以，即且，
所以，，
若存在使恒成立，则，
由椭圆对称性，不妨令在轴上方且，显然，
所以，即，
所以，
即，
综上，，
所以，存在使恒成立.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)根据已知条件先求得c，然后根据 面积最大值求得b，进而求出a，从而求得椭圆C的方程；
(2)设R(x， y)，由已知求得S，E的坐标，进而求得直线的斜率；
(3)设直线I的方程为y= k(x- 3)且k≠0，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得 ，，由∠MTO=∠NTA列方程，化简求得T的坐标.
22．（2023高二下·遂宁期末）已知函数（是自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个零点分别为.
①求实数的取值范围；
②求证：.
【答案】（1）解：由题意可得，
①当时，在上递增；
②当时，在上递减，在上递增.
（2）解：①等价于有两个零点，
令，则，在时恒成立，所以在时单调递增，
所以有两个零点，等价于有两个零点.
因为 ，所以当时，，单调递增，不可能有两个零点；
当时，令，得，单调递增，令，得，单调递减，所以，
若，得，此时恒成立，没有零点；
若，得，此时有一个零点；
若，得，因为，，，
所以在，上各存在一个零点，符合题意，
综上，a的取值范围为.
②要证即证：，
即证，由（2）中①知，，所以只需证.
因为，，所以，，
所以 ，只需证.
设，令， 则，所以只需证 ， 即证 ，
令，，则 ，，
即当时， 成立.
所以，即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1)对函数f (x)进行求导，分a≤0和a > 0这两种情况讨论，结合导数的几何意义即可得到函数 函数的单调性；
(2)①构造函数 ， 有两个零点，等价于有两个零点，令 ，求导，根据导数符号得到在x > 0上单调性，对g (t)进行求导，分a≤0和a >0这两种情况讨论，结合导数的几何意义得到函数g(t)的单调性和最小值，对最小值的大小进行讨论，即可求解出实数的取值范围；
②要证即证： ，结合①中信息，需证 ，易知 ， 设，令，只需证 ， 即证 ， 令，，对k(m)进行求导，利用导数得到k (m)的单调性和最值，进而即可证得 .
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