冀教版数学八年级上册 16.3 角的平分线 教案

角的平分线
教学目标
知识与方法:
1.经历探索角的对称性的过程,进一步体验轴对称图形的特征,发展合情推理的能力.
2.理解和掌握角的平分线的性质定理及其逆定理,并能利用它们进行证明或计算.
3.理解和掌握用尺规作已知角的平分线.
过程与方法：
1.了解角平分线的性质定理及其逆定理在生活、生产中的应用.
2.在探索角平分线的性质定理及其逆定理中提高几何直觉.
3.让学生通过自主探索,运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论,并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别.
情感态度价值观：体验克服困难、解决数学问题的过程，树立学好数学的自信心；积极参与数学活动，增进同学之间的配合，养成独立思考、合作交流的学习习惯。
教学重难点：
重点：角平分线的性质的证明及其逆定理的证明及角平线的画法
难点：分清两定理的题设与结论，两定理的直接应用。
学情分析：刚进入初二的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导.
教法与学法：采用引导发现法、主动探究法、讲授教学法，指导学生 “问题引领——合作探究”的教学方法。“自主探索、合作交流、质疑解惑”的学习方法
一.新课导入
导入一:
教师手拿张角的圆规询问学生构成什么图形？引出 角，角平分线的概念进而回顾角平分线的概念文本节课的学习做好铺垫。
师:前面我们学习了角的平分线,你能说出它的定义吗
学生思考回答.
师:你会作角平分线吗
生:会.
师:怎么作呢
生1:用量角器来作.
师:很好,这节课我们继续学分线的有关知识(板书课题).
[设计意图]　通过简单的复习,导出本节课的教学内容,抢答有利于提高学生的学习积极性.
二.新知构建
活动一:角平分线的性质定理及其逆定理
　　[过渡语]　利用分角仪我们可以把已知角平分,下面我们共同探究角平分线的性质和判定方法.
思路一
1.整体感知
师1.不利用工具，请你将一张用纸片做的角∠BAC分成两个相等的角。你有什么办法？
2. 再把纸片展开后铺平，记折痕为AD。
3.你发现∠BAC是轴对称图形吗？
4.如果是，它的对称轴是那一条直线？
生:利用对折的方法 角是轴对称图形,它的平分线是对称轴.
师:出示课件.
【课件1】　按下图所示的过程,将你画出的∠AOB依上述办法对折后,设折痕为直线OC;再折纸,设折痕为直线n,直线n与边OA,OB分别交于点D,E,与折线OC交于点P;将纸展开后,猜想线段PD与线段PE,线段OD与线段OE分别具有怎样的数量关系,并说明理由.
生:由折纸过程可知PD=PE.特别地,当折痕n与OB垂直时,可得出:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
请同学们用逻辑推理的方法来加以证明,将这个命题画出图形,写出已知、求证.
已知:如图所示,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证:PD=PE.
2.师生互动
互动1
师:这是证明线段相等的问题.我们有哪些方法可以证明线段相等
生:全等三角形的对应边相等.
师:归纳得很好.我们就借鉴这个思路,证明哪两个三角形全等呢
生:ΔPDO与ΔPEO.
师:怎样证全等
生:可以通过AAS的判定方法.(证明过程略)
师:于是得到了角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
明确借助于三角形全等来证明线段相等的方法.
互动2
　　[过渡语]　线段垂直平分线的性质定理的逆命题是一个真命题(定理),角平分线的性质定理的逆命题是真命题还是假命题呢
师:反过来,到一个角的两边距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢
师:事实上,角平分线的性质定理的逆命题是一个真命题.这样就有角平分线的判定定理(角平分线性质定理的逆定理):到角的两边距离相等的点在角平分线上.
互动3
刚才我们掌握了角的平分线的性质和判定方法,现在请同学们利用刚才学到的知识解决下面的例题,请看例题:
【课件2】
　(补充例题1 已知:如图,在等腰△ABC中AB=AC,AD是它的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC.
思路二
如图所示,任意作一个角∠AOB,利用折纸的方法作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P分别作OA,OB的垂线,分别记垂足为D,E,测量PD,PE并作比较,你能得到什么结论 在OC上找几个点试试.
生:相等.
师:为什么
学生思考,小组讨论.
师:你能证明这个结论吗
学生思考证明.
教师说明:一般情况下,我们要证明一个几何命题成立,可以按照以下步骤进行,即:
1.明确命题中的已知和求证.
2.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证.
3.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.
师:你能总结这个结论吗
生:角平分线上的点到角的两边的距离相等.
[知识拓展]　利用角的平分线的性质可直接推导出与角的平分线有关的两条线段相等,但在推导过程中不要漏掉垂直关系的书写,同时涉及角平分线上的点与角的两边的垂直关系时,可直接得到垂线段相等,不必再证两个三角形全等而走弯路.
师:谁能说出它的逆命题
生:到角的两边距离相等的点在角平分线上.
四人小组合作学习,动手操作探究,获得问题结论.从实践中可知角平分线上的点到角的两边距离相等,将条件和结论互换:到角的两边距离相等的点在角平分线上.
事实上,角平分线的性质定理的逆命题是一个真命题.即角平分线性质定理的逆定理:到角的两边距离相等的点在角平分线上.
[知识拓展]　(1)角平分线的判定可帮助我们证明角相等,使证明过程简化.
(2)角平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合.
(3)三角形的三条角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等.
[设计意图]　通过师生共同探究和小组的合作,完成对定理和逆定理的学习
例题. 2：如图所示，PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D是AP上一点。
求证： ∠BDP= ∠CDP
三.课堂小结
1.角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.作用:直接证明两线段相等.使用的前提是有角的平分线,关键是图中是否有“垂直”.
2.角的平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.作用:证明角相等.
3.区别与联系:性质说明了角平分线上点的纯粹性,即:只要是角平分线上的点,那么它到此角两边一定等距离,无一例外;判定反映了角平分线的完备性,即只要是到角两边距离相等的点,都一定在角平分线上,绝不会漏掉一个.在实际应用中,前者用来证明线段相等,后者用来证明角相等(角平分线).
四.课堂检测
1.如图所示,AD是ΔABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,SΔABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是 (　　)
A.3 B.4 C.6 D.5
解析:过点D作DF⊥AC于F,∵AD是ΔABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB,∴DE=DF,∵SΔABC=SΔABD+SΔACD,∴4×2+AC×2=7,解得AC=3.故选A.
2.如图所示,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B,连接AB.下列结论中不一定成立的是 (　　)
A.PA=PB B.PO平分∠APB
C.OA=OB D.AB平分OP
解析:∵OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,∴PA=PB,∴ΔOPA≌ΔOPB,∴∠APO=∠BPO,OA=OB,∴A,B,C正确.设PO与AB相交于E.∵OA=OB,∠AOP=∠BOP,OE=OE,∴ΔAOE≌ΔBOE,∴∠AEO=∠BEO=90°,∴OP垂直于AB,而不能得到AB平分OP,故D不一定成立.故选D.
3.如图所示,在ΔABC中,角平分线AD,BE相交于O点,连接CO,则下列结论成立的是 (　　)
A.ΔCEO≌ΔCDO B.OE=OD
C.CO平分∠ACB D.OC=OD
解析:∵角平分线AD,BE相交于O点,∴CO平分∠ACB.故选C.
4.如图所示,ΔABC中,∠C=90°,AM平分∠CAB,BC=16 cm,CM∶MB=3∶5,求点M到AB的距离.
解析:过点M作MD⊥AB于D,先求出CM,再根据角平分线上的点到
∵BC=16 cm,
CM∶MB=3∶5,
∴CM=16=6(cm),
∵∠C=90°,AM平分∠CAB,
∴DM=CM=6 cm,
即点M到AB的距离为6 cm.
五.板书设计
16.3　角的平分线
活动一:角平分线的性质定理及其逆定理
1.性质定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等.
2.逆定理:到角的两边距离相等的点在角平分线上.
六.作业布置
一、教材作业
【必做题】
1.教材第122页练习第1,2题.
2.教材第122~123页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第123页习题B组第1,2,3题.
七、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,若AB∥CD,AP,CP分别平分∠BAC和∠ACD,PE⊥AC于E,则要求AB与CD之间的距离,只需测量出 (　　)
A.PA的长度 B.PC的长度
C.PE的长度 D.AB的长度
2.如图所示,直线l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则供选择的地址有 (　　)
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
3.若ΔABC中的∠B和∠C的平分线交于点O,则关于射线AO,下列说法正确的是 (　　)
A.既平分∠BAC,又平分∠BOC
B.既不平分∠BAC,也不平分∠BOC
C.一定平分∠BAC,但不一定平分∠BOC
D.既不一定平分∠BAC,也不一定平分∠BOC
4.如图所示,ΔABC的三边AB,BC,CA的长分别是20,30,40,其三条角平分线将ΔABC分为三个三角形,则SΔABO∶SΔBCO∶SΔCAO等于 (　　)
A.1∶1∶1 B.1∶2∶3
C.2∶3∶4 D.3∶4∶5
【能力提升】
5.已知∠B=∠E=90°,CE=CB,AB∥CD,求证AD=CD.
【拓展探究】
6.如图所示,已知∠MON的边OM上有两点A,B,边ON上有两点C,D,且AB=CD,P为∠MON的平分线上一点.
(1)ΔABP与ΔPCD是否全等 请说明理由.
(2)ΔABP与ΔPCD的面积是否相等 请说明理由.
【答案与解析】
1.C(解析:过点P作PF⊥AB于F,延长FP交CD于G.∵AB∥CD,∴FG⊥CD,∴线段FG的长度即为AB与CD之间的距离.∵AP,CP分别平分∠BAC和∠ACD,PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,PG⊥CD于G,∴PF=PE=PG,∴FG=2PE.故要求AB与CD之间的距离,只需测量出PE的长度.)
2.D(解析:满足条件的有:(1)三角形两个内角平分线的交点,1处;(2)三个外角两两平分线的交点,共3处.)
3.C(解析:如图所示,设AO交BC于D.∵三角形的三条角平分线相交于一点,∴三角形两条角平分线的交点一定在第三个角的平分线上,∴射线AO一定平分∠BAC,设∠OBA=∠OBC=α,∠OCB=∠OCA=β,∠OAB=∠OAC=γ,∵∠BOD=α+γ,∠COD=β+γ,α与β不一定相等,∴∠BOD与∠COD不一定相等,∴射线AO不一定平分∠BOC.)
4.C(解析:利用等高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知C正确)
5.证明:∵∠B=∠E=90°,∴CE⊥AE,CB⊥AB,∵CE=CB,∴AC平分∠EAB,∴∠DAC=∠BAC,∵AB∥CD,∴∠DCA=∠BAC,∴∠DAC=∠DCA,∴AD=CD.
6.解:(1)ΔABP与ΔPCD不一定全等,∵ΔABP与ΔPCD中只有AB=CD一个条件,其他边、角无法确定相等,∴ΔABP与ΔPCD不一定全等.
(2)ΔABP与ΔPCD的面积相等.理由如下:∵P为∠MON的平分线上一点,∴点P到AB,CD的距离相等,∵AB=CD,∴ΔABP与ΔPCD的面积相等.
教学反思
角平分线的性质是在学习了“全等三角形的性质和判定”后,通过一些实际问题,讨论了角的平分线的性质.在教学中教师采用了体验探究的教学方式,为学生提供了亲自操作的机会,引导学生运用已有经验、知识、方法去探索与发现,使学生直接参与教学活动,学生在动手操作中对抽象的数学定理获取感性的认识,进而通过教师的引导上升为理性认识,从而获得新知,使学生的学习变为一个再创造的过程,同时让学生学到获取知识的思想和方法,体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性,为学生今后获取知识以及探索和发现打下基础.
本节课授课开始,在利用平分角的仪器的讲授中引入尺规作图原理.在学生掌握了尺规作图后,让学生自己动手画角的平分线,在授课过程中,教师对学生的能力有些低估,表现在整个教学过程中始终大包大揽,没有放手让学生自主合作,在教学中总是以我在讲为主,没有培养学生的能力.对课堂所用时间把握不够准确,由于在开始的尺规作图中浪费了一部分时间,以至于后面所准备的习题没有时间去练习,给人感觉这节课不够完整.
B
A
E
D
C
F