苏科版八年级上册第1章全等三角形（常见辅助线之截长补短法和倍长中线法）（无答案）

第1章全等三角形（常见辅助线之截长补短法和倍长中线法）
【学习目标】
1．掌握截长补短、倍长中线的定义；
2．了解在哪些题型可以运用截长补短法，倍长中线法；
3．掌握截长补短、倍长中线的运用．
【典型例题】
类型一、 截长法证明线段的数量关系
1.如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．
举一反三：
【变式1】如图所示，已知AC平分∠BAD，，于点E，判断AB、AD与BE之间有怎样的等量关系，并证明．
【变式2】如图，，，平分，且是中点试问：、和之间有何关系？并说明理由.
【变式3】如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于．
（1）求证：；
（2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
类型二、 补短法证明线段的数量关系
2．已知：如图所示，在中，为中线，交分别于，如果，求证：．
举一反三：
【变式1】如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ．
【变式2】如图，在中，平分交于点D，若，求的度数．
【变式3】如图①，和是等腰三角形，且，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边，于点、，连接．
（1）探究、、之间的关系，并说明理由；
（2）若点、分别在、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，则、、之间存在什么样的关系？并说明理由．
类型三、 倍长中线法证明综合题
3．（1）如图1，已知中，AD是中线，求证：；
（2）如图2，在中，D，E是BC的三等分点，求证：；
（3）如图3，在中，D，E在边BC上，且．求证：．
举一反三：
【变式1】已知，，，．直线过点，交、于点、．
（1）若是中线，求证：；
（2）若，求证：．
【变式2】
【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)AD的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【变式3】
（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．
可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是　 　；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．