辽宁省大连市第二十中学2023-2024学年高三上学期期初考试数学试题（PDF版含答案）

高三期初考试数学试题
考试时间：90分钟
一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．）
1. 命题“ x N,5x x3 1”的否定是（ ）
A. x N,5x x3 1 B. x N,5x x3 1
C. x N,5x x3 1 D. x N,5x x3 1
2. 已知集合 A 1,m ， B 0,m 1,m 1 ， A B，则实数 m的值为（ ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
3．下列结论正确的是（ ）
A 2 2
1 1
．若 a b，则a b B．若 a b，则
a b
C a3 b3 a2 b2．若 ，则 D．若 lg a lgb，则 a b
4 f x x3 ax2．已知函数 x b 在 x 1处取得极值 5，则 a b （ ）
A． 7 B． 3 C．3 D．7
5 a log 0.2．已知 0.3 0.2，b 0.3 ， c log0.91.2，则（ ）
A．b a c B．b c a C． a b c D． a c b
6. 我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”如下：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与
四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得十钱，问人几何？意
思是：将钱分给若干人，第一人给 3钱，第二人给 4钱，第三人给 5钱，以此类推，每人比前一
人多给 1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得 10钱，则分到钱的人数为（ ）
A. 10 B. 15 C. 105 D. 195
7. 已知数列 an 的各项均为正数，且 a1 1，对于任意的 n N ，均有 an 1 2an 1，
bn 2log2 1 an 1．若在数列 bn 中去掉 an 的项，余下的项组成数列 cn ，则
c1 c2 c100 （ ）
1
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A. 11200 B. 11202 C. 12010 D. 12100
8. 已知 f x 是可导函数，且 f x f x 对于 x R恒成立，则（ ）
A. f (1) ef (0)， f (2023) e2023 f (0) B. f (1) ef (0)， f (2023) e2023 f (0)
C. f (1) ef (0)， f (2023) e2023 f (0) D. f (1) ef (0)， f (2023) e2023 f (0)
二、多选题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.）
9．下列求导正确的是（ ）
A y x3 ln x y 3x2．若 ，则 ln x 2x 1 1 x2 B．若 y ，则 y
x 1 x 1 2
C．若 y sin 2x 1 1，则 y cos 2x D．若 y ，则 y
x x2
10．设等差数列 an 的前 n项和为 Sn，公差为 d，若 a1 30， S12 S19 则（ ），
A． d 2 B． a15 0 C． Sn S15 D． S30 0
1 1
11. 在数列 an 中， a1 1，且对任意不小于 2 的正整数 n， a1 a2 an 1 a 恒成2 n 1 n
立，则下列结论正确的是（ ）
A. a10 5 B. an n n N*
2
C. a2 ,a4 ,a8成等比数列 D. a1 a2 a
n n 2
n 4
12. 定义在 R上的函数 f (x)与 g(x)的导函数分别为 f (x)和 g (x) ，若 g(x 1) f (2 x) 2，
f (x) g (x 1)，且 g(x 2)为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A. g(2) 0 B. 函数 f (x)是周期函数
2023
C. g(k) 0 D. 函数 f (x)关于 x 2对称
k 1
2
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三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
13 x y．已知 x y 2，则 2 2 的最小值为______．
14．记 S S为等比数列 a 的前 n项和，已知 S 1， S 5，则 9 S6n n 3 6 ______．S6 S3
15. 已知函数 f x x3 ln x2 1 x 3， x [ 2023,2023]的最大值为M ，最小值为m，
则M m ______.
16．已知点 A在函数 f x e x 2x的图象上，点 B在直线 l : x y 3 0上，则 A，B两点之
间距离的最小值是__________．
四、解答题（本题共 4小题，共 46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分 10分）
3
已知函数 f (x) 2x ln x ．
x
（1）求曲线 y f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程；
（2）求函数 f (x)的极值．
18. （本小题满分 12分）
1
不等式 ax2 bx 2 0的解集是 A x x 2
2
，集合 B x ax 3a 1 mx 3m2 0 ．
2


（1）求实数 a，b的值；
（2）若集合 A是 B的子集，求实数 m的取值范围．
3
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19．（本小题满分 12分）
S
已知数列 an 的前 n项和为 Sn，且 a1 1， n an n 1．n
（1）求 an 的通项公式；
a
（2）设b nn n ，求数列 bn 的前 n项和T3 n．
20. （本小题满分 12分）
f (x) ln x 1已知函数 .
ax
（1）讨论 f x 的单调性；
x
2 ex 2 ex x1 e 2 2（ ）若 1 2 （ 是自然对数的底数），且 x1 0，x2 0，x1 x2 ，证明：x1 x2 2 .
4
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高三期初考试数学答案
1-8 CBDACBBB
9AD 10AC 11ACD 12 ABC
13．4 14．4 15. 6 16． 2 2
2 2x 3 x 1
17.（1）由题知， f (x) 2 1 3 2x x 3 ， x 0, ，
x x2 x2 x2
∴ f (1) 2，而 f (1) 5，
∴曲线 y f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程为 y 5 2(x 1)，即 2x y 7 0．
（2）令 f (x) 0 0 x 3得 ；令 f (x) 0得 x 3 ，
2 2
3
f (x) 0, 3∴ 的单调减区间是 ， f (x)的单调增区间是 ,

．
2 2
x 3∴当 时， f (x)取极小值5 ln 3 ，无极大值．
2 2
1
18.（1）由题意知 a<0，且方程 ax2 bx 2 0的两个根为 , 2，代入得
2
1 1
a b 2 0
4 2 ，解得 a 2,b 5 .
4a 2b 2 0
2 2 2（ ）由（1）知 a 2,b 5，故集合 B x∣ 2x 5mx 3m 0 ，
于是有 2x2 5mx 3m2 0，可得 (2x m)(x 3m) 0，
若m 0,B

x x
m x 3m 1 1或 ，可得3m ，解得0 m ；
2 2 6
若m 0,B x x 3m x
m
m 1 或 ， 可得 ，解得 1 m 0；
2 2 2
若m 0,B x x 0 符合条件.
1
故实数m的取值范围是 1, . 6
S
19．解：（1）因为 n a 2n n 1，所以 Sn nan n n．n
又因为 Sn 1 n 1 an 1 n 1
2 n 1 ， n 2．
所以 n 1 an n 1 an 1 2 n 1 ，n 2，即 an an 1 2， n 2，
1
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所以 an 是公差为 2的等差数列．
因为 a1 1，所以 an 2n 1．
b an 2n 1（2） n n n ．3 3
T 1 3 5 2n 1n 2 3 n ，①3 3 3 3
Tn 1 3 5 2n 1 2 3 4 n 1 ．②3 3 3 3 3
2T 1 2 2 2 2 2n 1
①-②得 n 2 3 3 3 33 34 3 n 3 n 1
2 1
1 32
1
3n 1 2n 1 2 2n 2 n 1 1 n 1 n 1 ，所以Tn 1 ．3 1 3 3 3 3
n
3
20.（1）函数 f x lnx 1 x 0 ，
ax
f x lnx则
ax2
，
令 f x 0，解得 x 1，
若 a 0，
当0 x 1时， f x 0，则 f x 单调递增；
当 x 1时， f x 0，则 f x 单调递减，
所以 f x 在 0,1 上单调递增，在 1, 上单调递减；………3分
若 a 0，
当0 x 1时， f x 0，则 f x 单调递减；
当 x 1时， f x 0，则 f x 单调递增，
所以 f x 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增.………6分
ex x2 2 x1（ ）证明：因为 1 ex2 ，两边取对数，可得 x2ln ex1 x1ln ex2 ，
即 x2 lnx 1 x lnx
lnx 1 lnx
1 ，所以 1 2 11 1 2 ，………7分x1 x2
此时当 a 1时，存在且 x1 0， x2 0， x1 x2 ，满足 f x1 f x2 ；
由（1）可知，当a 1时， f x 在 0,1 上单调递增，在 1, 上单调递减，
2
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不妨设 x1 x2，所以 x1 0,1 ， x2 1, ，
①若 x2 2, 2，则 x1 x2 x22 2 4 2成立；………8分
②若 x2 1,2 ，则 2 x2 0,1 ，
记 g x f x f 2 x ，
2
ln 2 x ln 2 x
g x f x f 2 x lnx lnx
ln x 1 1
则 2 2 2 2

x 2 x x x x2
0，
所以 g x 在 0,1 上单调递增，………9分
则 g x g 1 0，即 f x f 2 x ，
所以 f 2 x2 f x1 f x2 ，
因为 x1 0,1 ，所以 2 x1 1，
又 x2 1， f x 在 1, 上单调递减，
所以 2 x1 x2 ，即 x1 x2 2，………10分
又 x21 1 2 x
2
1 1 2x ， x
2
1 2 1 2 x
2
2 2x2 ，
以上两式左右分别相加，可得 x2 21 1 x2 1 2 x1 x2 ，
即 x2 x21 2 2 x1 x2 2 2，
2 2
综合①②可得， x1 x2 2 .………12分
3
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