1.5.1平面上两点间的距离 讲义（含答案）

编号：007 课题:§1.5.1 平面上两点间的距离
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并掌握两点间的距离公式及应用．
2、理解并掌握坐标法证题的方法．
学科素养目标
本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识．如在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系．数形结合是本章重要的数学思想．这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性．
本节重点难点
重点：两点间的距离公式及应用．
难点：坐标法证题的方法．
教学过程赏析
基础知识积累
1.两点间的距离公式
(1)公式:两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式P1P2= _______________ ,特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离OP= __________ .
(2)本质:用代数方法求平面内两点之间的距离.
【思考】
两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式能否表示为P1P2= 为什么
2.中点坐标公式
对于平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点M(x0,y0),则 ______________.
【课前基础演练】
题1．已知直线l1:2x-y-2=0与直线l2:3x+y-8=0的交点为A,则点A与点B(2,3)间的距离为 ( )
A. B.2 C. D.1
题2.已知线段AB的中点坐标是(-2,3),点A的坐标是(2,-1),则点B的坐标是 ( )
A.(-6,7) B.(6,7)
C.(6,-7) D.(-6,-7)
题3.已知点M(m,-1),N(5,m)且MN=2,则实数m等于 ( )
A.1 B.3 C.1或3 D.-1或3
题4.已知平面上两点A(x,-x),B(,0),则AB的最小值为 ( )
A.3 B. C.2 D.
题5（多选题）．直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是(　　)
A．(－4，5) B．(－3，4)
C．(－1，2) D．(0，1)
题6.已知点A(1,1),B(4,3),点P在x轴上,则PA+PB的最小值为 .
题7.已知A,B两点都在直线y=2x-1上,且A,B两点的横坐标之差的绝对值为,则A,B两点间的距离为 .
题8. 已知点A(-2,-1),B(-4,-3),C(0,-5).
求证:△ABC是等腰三角形.
【当堂巩固训练】
题9．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是
P(2，－1)，则AB等于(　　)
A． B．2 C． D．2
题10．到点A(1，3)，B(－5，1)的距离相等的动点P满足的方程是(　　)
A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0
题11.已知直角坐标平面上连接点(－2，5)和点M的线段的中点是(1，0)，那么点M到原点的距离为(　　)
A．41 B． C． D．39
题12．已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)
A．2 B．4 C．5 D．
题13．光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B走过的路程是(　　)
A．5 B．2 C．5 D．10
题14(多选题)．某同学在研究函数f(x)＝＋的最值时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为f(x)＝＋，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小值为
B．函数f(x)的最小值为
C．函数f(x)没有最大值
D．函数f(x)有最大值
题15（多选题）．若点P(x，y)在直线4x＋3y＝0上，且x，y满足－14≤x－y≤7，则点P到坐标原点的距离的取值可以是(　　)
A．6 B．8.5 C．10 D．12
题16．若动点P的坐标为(x，1－x)，x∈R，则动点P到原点的最小值是________.
题17．已知直线＋＝1分别与x轴、y轴交于A，B两点，则|AB|等于________．
题18．在△ABC中，A(1，3)，B(2，－2)，C(－3，1)，则D是线段AC的中点，则中线BD长为__________．
题19．已知△ABC三顶点坐标为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．
题20．已知△ABC三顶点坐标A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状.
题21. 等腰梯形ABCD中,AB∥DC,对角线为AC和BD.求证:AC=BD.
题22. 在△ABC中,D是BC边上任意一点(D与B,C不重合),且AD2+BD·DC=AB2,求证:△ABC为等腰三角形.
【课堂跟踪拔高】
题23．以点A(-3,0),B(3,-2),C(-1,2)为顶点的三角形是 ( )
A.等边三角形 B.等腰直角三角形
C.等腰三角形 D.直角三角形
题24.点M1(2,-5)与M2(5,y)之间的距离是5,则y= ( )
A.-9 B.-1 C.-9或-1 D.12
题25.数学中,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离,结合上述观点,可得f(x)=+的最小值为 ( )
A.2 B.5 C.4 D.8
题26(多选题).已知两点P(m,1)和Q(1,2m)之间的距离大于,则实数m可以取的值是 ( )
A.2 B.3 C.-1 D.-
题27(多选题).一条平行于x轴的线段长是5个单位,它的一个端点是A(2,1),则它的另一个端点B的坐标可以为 ( )
A.(-3,1) B.(2,-2) C.(5,1) D.(7,1)
题28.点P在直线l:x-y+4=0上,且到点M(-2,-4),N(4,6)的距离相等,则点P的坐标为 ;经过点P且垂直于l的直线方程为 .
题29.已知点A(2,3),B(4,1),△ABC是以AB为底边的等腰三角形,点C在直线l:x-2y+2=0上.
(1)求AB边上的高CE所在直线的方程;
(2)求△ABC的面积.
题30．(1)已知AD是△ABC边BC的中线，用坐标法证明：2＋2＝2.
(2)已知动点C与两个定点A(0，0)，B(3，0)的距离之比为，若△ABC边BC的中点为D，求动点D的轨迹方程．
题31.在平面直角坐标系xOy中,已知甲、乙两个质点的初始位置分别为O(0,0),A(2,4),它们沿x轴的正方向同时作匀速直线运动,设甲的速度为v(v>2)个单位/秒,乙的速度为2个单位/秒.
(1)当出发后1秒时,位于B(0,-5)处的质点丙与甲、乙恰在一条直线上,求v的值;
(2)当出发后t(t∈N*)秒时,甲、乙间的距离是它们初始距离的2倍,求整数v的所有值.
编号：007 课题:§1.5.1 平面上两点间的距离
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并掌握两点间的距离公式及应用．
2、理解并掌握坐标法证题的方法．
学科素养目标
本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识．如在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系．数形结合是本章重要的数学思想．这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性．
本节重点难点
重点：两点间的距离公式及应用．
难点：坐标法证题的方法．
教学过程赏析
基础知识积累
1.两点间的距离公式
(1)公式:两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式P1P2= ,特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离OP= .
(2)本质:用代数方法求平面内两点之间的距离.
【思考】
两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式能否表示为P1P2= 为什么
提示:能,因为
=.
2.中点坐标公式
对于平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点M(x0,y0),则
【课前基础演练】
题1．已知直线l1:2x-y-2=0与直线l2:3x+y-8=0的交点为A,则点A与点B(2,3)间的距离为 ( )
A. B.2 C. D.1
【解析】选D.联立方程,
解得所以A(2,2),
所以|AB|==1.
题2.已知线段AB的中点坐标是(-2,3),点A的坐标是(2,-1),则点B的坐标是 ( )
A.(-6,7) B.(6,7)
C.(6,-7) D.(-6,-7)
【解析】选A.设点B的坐标是(x,y),
则解得
题3.已知点M(m,-1),N(5,m)且MN=2,则实数m等于 ( )
A.1 B.3 C.1或3 D.-1或3
【解析】选C.因为|MN|=
=,所以=2,
即m2-4m+3=0,解得m=1或m=3.
题4.已知平面上两点A(x,-x),B(,0),则AB的最小值为 ( )
A.3 B. C.2 D.
【解析】选D.因为AB==
≥,当且仅当x=时等号成立,所以ABmin=.
题5（多选题）．直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是(　　)
A．(－4，5) B．(－3，4)
C．(－1，2) D．(0，1)
【解析】选BC.设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，且＝，
两式联立解得或
题6.已知点A(1,1),B(4,3),点P在x轴上,则PA+PB的最小值为 .
【解析】如图所示,作点A关于x轴的对称点A'(1,-1),则PA'=PA.
所以PA+PB=PA'+PB≥A'B.
因为A'B==5,
所以PA+PB≥5.故PA+PB的最小值为5.
答案:5
题7.已知A,B两点都在直线y=2x-1上,且A,B两点的横坐标之差的绝对值为,则A,B两点间的距离为 .
【解析】设点A(a,2a-1),点B(b,2b-1),
因为|a-b|=,
所以AB=
=|a-b|=.
答案:
题8. 已知点A(-2,-1),B(-4,-3),C(0,-5).
求证:△ABC是等腰三角形.
【证明】因为AB==2,
AC==2,
BC==2,
所以AC=BC.
又因为点A,B,C不共线,所以△ABC是等腰三角形.
【当堂巩固训练】
题9．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是
P(2，－1)，则AB等于(　　)
A． B．2 C． D．2
【解析】选D.设A(x，0)，B(0，y)，因为AB中点是P(2，－1)，所以＝2，＝－1，所以x＝4，y＝－2，即A(4，0)，B(0，－2)，所以AB＝＝2.
题10．到点A(1，3)，B(－5，1)的距离相等的动点P满足的方程是(　　)
A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0
【解析】选B.设P(x，y)，则＝，即3x＋y＋4＝0.
题11.已知直角坐标平面上连接点(－2，5)和点M的线段的中点是(1，0)，那么点M到原点的距离为(　　)
A．41 B． C． D．39
【解析】选B.设M(x，y)，由题意得
解得所以M(4，－5).则M到原点的距离为＝.
题12．已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)
A．2 B．4 C．5 D．
【解析】选D.根据中点坐标公式，得＝1，且＝y.解得x＝4，y＝1，
所以点P的坐标为(4，1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝＝.
题13．光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B走过的路程是(　　)
A．5 B．2 C．5 D．10
【解析】选C.根据光学原理，光线从A到B的距离，等于点A关于x轴的对称点A′到点B的距离，易求得A′(－3，－5).
所以A′B＝＝5.
题14(多选题)．某同学在研究函数f(x)＝＋的最值时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为f(x)＝＋，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小值为
B．函数f(x)的最小值为
C．函数f(x)没有最大值
D．函数f(x)有最大值
【解析】选BC.设f(x)＝＋，可理解为动点P(x，0)到两个定点A(0，1)，B(1，0)的距离和．如图：
由三角形三边关系可得＋≥＝，当点P和点B重合时，等号成立，即＋最小值为，＋无最大值，所以函数f(x)的最小值为，没有最大值．
题15（多选题）．若点P(x，y)在直线4x＋3y＝0上，且x，y满足－14≤x－y≤7，则点P到坐标原点的距离的取值可以是(　　)
A．6 B．8.5 C．10 D．12
【解析】选ABC.因为点P(x，y)在直线4x＋3y＝0上，且x，y满足－14≤x－y≤7，所以－6≤x≤3.
因为线段4x＋3y＝0(－6≤x≤3)过原点，所以点P到坐标原点的最近距离为0.又点(－6，8)在线段上，所以点P到坐标原点的最远距离为＝10.所以点P到坐标原点的距离的取值范围是[0，10].
题16．若动点P的坐标为(x，1－x)，x∈R，则动点P到原点的最小值是________.
【解析】PO＝＝＝≥.
答案：
题17．已知直线＋＝1分别与x轴、y轴交于A，B两点，则|AB|等于________．
【解析】由已知，令x＝0得y＝4，所以B(0，4)，
令y＝0得x＝3，所以A(3，0)，所以|AB|＝＝5.
答案：5
题18．在△ABC中，A(1，3)，B(2，－2)，C(－3，1)，则D是线段AC的中点，则中线BD长为__________．
【解析】由＝－1，＝2，所以D，
则＝＝＝5.
答案：5
题19．已知△ABC三顶点坐标为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．
【解析】方法一：因为AB＝＝2，
AC＝＝2，
又BC＝＝2，
所以AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC，所以△ABC是等腰直角三角形．
方法二：因为kAC＝＝，kAB＝＝－，
则kAC·kAB＝－1，所以AC⊥AB.
又AC＝＝2，
AB＝＝2，
所以AC＝AB，所以△ABC是等腰直角三角形．
题20．已知△ABC三顶点坐标A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状.
【思路导引】计算三角形的各边长,通过长度获得关系;或者由斜率获得关系.
【解析】方法一:因为AB==2,
AC==2,
又BC==2,
所以AB2+AC2=BC2,且AB=AC,
所以△ABC是等腰直角三角形.
方法二:因为kAC==,kAB==-,
则kAC·kAB=-1,所以AC⊥AB.
又AC==2,
AB==2,
所以AC=AB,所以△ABC是等腰直角三角形.
题21. 等腰梯形ABCD中,AB∥DC,对角线为AC和BD.求证:AC=BD.
【证明】如图所示,建立直角坐标系,设A(0,0),B(a,0),C(b,c),则点D的坐标是(a-b,c).
所以AC==,
BD==.
故AC=BD.
题22. 在△ABC中,D是BC边上任意一点(D与B,C不重合),且AD2+BD·DC=AB2,求证:△ABC为等腰三角形.
【思路导引】在图形中建立坐标系,设点,说明AB=AC.
【证明】如图,作AO⊥BC,垂足为O,以BC所在直线为x轴,以OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系xOy.
设A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0).
因为AD2+BD·DC=AB2,
所以由两点间距离公式,可得d2+a2+(d-b)(c-d)=b2+a2,化简得(c+b)(d-b)=0.
又d-b≠0,所以c+b=0,即-b=c,
所以OB=OC,所以AB=AC,
即△ABC为等腰三角形.
【课堂跟踪拔高】
题23．以点A(-3,0),B(3,-2),C(-1,2)为顶点的三角形是 ( )
A.等边三角形 B.等腰直角三角形
C.等腰三角形 D.直角三角形
【解析】选D.由已知AB==2,
AC==2,BC==4,
所以AB2=AC2+BC2,因此,△ABC为直角三角形.
题24.点M1(2,-5)与M2(5,y)之间的距离是5,则y= ( )
A.-9 B.-1 C.-9或-1 D.12
【解析】选C.由已知=5,即(y+5)2=16,解得y=-1或y=-9.
题25.数学中,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离,结合上述观点,可得f(x)=+的最小值为 ( )
A.2 B.5 C.4 D.8
【解题提示】先将f(x)配方变形,推得f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(-2,4)与B(-1,3)距离之和,再结合对称思想,以及两点之间的距离公式,即可求解.
【解析】选B.f(x)=+,
则f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(-2,4)与B(-1,3)距离之和,
设点A(-2,4)关于x轴的对称点为A',则A'(-2,-4),
f(x)的最小值即为|MA|+|MB|的最小值,
由对称思想可得,|MA|+|MB|≥|A'B|==5,故f(x)的最小值为5.
题26(多选题).已知两点P(m,1)和Q(1,2m)之间的距离大于,则实数m可以取的值是 ( )
A.2 B.3 C.-1 D.-
【解析】选BC.根据两点间的距离公式PQ==>,所以5m2-6m-8>0,所以m<-或m>2.
由选项可知,B,C正确.
题27(多选题).一条平行于x轴的线段长是5个单位,它的一个端点是A(2,1),则它的另一个端点B的坐标可以为 ( )
A.(-3,1) B.(2,-2) C.(5,1) D.(7,1)
【解析】选AD.因为AB∥x轴,所以设B(a,1),又|AB|=5,所以a=-3或7.
题28.点P在直线l:x-y+4=0上,且到点M(-2,-4),N(4,6)的距离相等,则点P的坐标为 ;经过点P且垂直于l的直线方程为 .
【解析】设P点的坐标是(a,a+4),由题意可知PM=PN,
即=,解得a=-,
故P点的坐标是(-,).
所以经过点P且垂直于l的直线方程为y-=-( x+),即x+y-1=0.
答案: (-,) x+y-1=0
题29.已知点A(2,3),B(4,1),△ABC是以AB为底边的等腰三角形,点C在直线l:x-2y+2=0上.
(1)求AB边上的高CE所在直线的方程;
(2)求△ABC的面积.
【解析】(1)由题意可知,E为AB的中点,因为A(2,3),B(4,1),所以
E(3,2),kAB==-1,所以kCE=-=1,
所以CE所在直线方程为y-2=x-3,即x-y-1=0.
(2)由 解得,所以C(4,3),所以AC平行于x轴,CB平行于y轴,即AC⊥BC,所以|AC|=|BC|==2,
所以S△ABC=|AC|·|BC|=2.
题30．(1)已知AD是△ABC边BC的中线，用坐标法证明：2＋2＝2.
(2)已知动点C与两个定点A(0，0)，B(3，0)的距离之比为，若△ABC边BC的中点为D，求动点D的轨迹方程．
【解析】(1)以BC边为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
不妨设B(－b，0)，C(b，0)，其中b>0，A，
所以2＋2＝2＋y2＋2＋y2＝2＝2，得证；
(2)方法一：设BD＝a，由(1)知，9＋2a2＝2(AD2＋a2)，解得AD＝2，则
动点D的轨迹方程为x2＋y2＝，x≠±(或y≠0).
方法二：由＝＝，则点C的轨迹方程为x2＋y2＋6x－9＝0，x≠±3－3(或y≠0).
设D(x，y)，则C(2x－3，2y)，将C(2x－3，2y)代入x2＋y2＋6x－9＝0，可得2＋2＋6(2x－3)－9＝0，
化简得x2＋y2＝，x≠±(或y≠0).
题31.在平面直角坐标系xOy中,已知甲、乙两个质点的初始位置分别为O(0,0),A(2,4),它们沿x轴的正方向同时作匀速直线运动,设甲的速度为v(v>2)个单位/秒,乙的速度为2个单位/秒.
(1)当出发后1秒时,位于B(0,-5)处的质点丙与甲、乙恰在一条直线上,求v的值;
(2)当出发后t(t∈N*)秒时,甲、乙间的距离是它们初始距离的2倍,求整数v的所有值.
【解析】设经过t秒,甲、乙两个质点的位置分别为C(vt,0),D(2+2t,4).
(1)当t=1时,C(v,0),D(4,4),B(0,-5)三点共线,显然v≠4.
所以=,解得v=.
(2)OA==2,CD=,
由CD=2OA得,=4,
变形得,-4(v-2)t-60=0(v>2),
解得(v-2)t=10,或(v-2)t=-6(舍去).
因为t,v∈N*,所以v-2∈N*,所以v-2=1,2,5,10,即v=3,4,7,12,所以整数v的所有值为3,4,7,12.
- 0 -