1.5.2点到直线的距离 讲义（含答案）

编号：008 课题:§1.5.2 点到直线的距离
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并掌握点到直线的距离公式的推导方法．
2、理解并掌握点到直线的距离公式．
3、理解并掌握两条平行线间的距离公式．
4、理解并掌握距离公式的综合运用．
学科素养目标
本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识．如在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系．数形结合是本章重要的数学思想．这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性．
本节重点难点
重点：两条平行线间的距离公式．
难点：距离公式的综合运用．
教学过程赏析
基础知识积累
1. 点到直线的距离
(1)公式:点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d= ___________ .
(2)本质:用代数方法求平面内点到直线的距离.
【思考】
能不能直接用直线的斜截式方程求点到直线的距离
2.两条平行直线间的距离
(1)定义:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的 __________ 的长.
(2)公式:直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0间的距离d= ___________________ .
(3)本质:用代数方法求平面内两条平行直线间的距离.
【思考】
直线l1,l2的方程具备什么特征时,才能直接应用公式求距离
【课前基础演练】
题1．原点到直线x+2y-5=0的距离为 ( )
A.1 B. C.2 D.
题2.两条平行线l1:3x+4y-7=0和l2:3x+4y-12=0的距离为 ( )
A.3 B.2 C.1 D.
题3. 若原点O到直线ax+by+c=0的距离为1,则有 ( )
A.c=1 B.c=
C.c2=a2+b2 D.c=a+b
题4. 已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积等于 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
题5（多选题）．已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是(　　)
A．直线l的倾斜角是
B．点(，0)到直线l的距离是2
C．若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m
D．过(2，2)与直线l平行的直线方程是x－y－4＝0
题6.若第二象限内的点P(m,1)到直线x+y+1=0的距离为,则m的值为 .
题7. 两条平行直线3x-4y-3=0和mx-8y+5=0间的距离是 .
题8. 已知正方形的中心为直线2x-y+2=0,x+y+1=0的交点,正方形一边所在的直线l的方程为x+3y-5=0,求正方形其他三边所在直线的方程.
【当堂巩固训练】
题9．点P(1,-1)到直线l:3y=2的距离是 ( )
A.3 B. C.1 D.
题10.已知点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离为3,则实数m= ( )
A.0 B. C.3 D.0或
题11.已知点P(1+t,1+3t)到直线l:y=2x-1的距离为,则点P的坐标为 ( )
A.(0,-2) B.(2,4)
C.(0,-2)或(2,4) D.(1,1)
题12.点P(x,y)在直线x+y-4=0上,则x2+y2的最小值是 ( )
A.8 B.2 C. D.16
题13. 若点(4,a)到直线4x-3y=0的距离不大于3,则a的取值范围是 ( )
A. B.[3,4]
C.(0,10) D.(-∞,0)∪[10,+∞)
题14.已知点P(a,b)是第二象限的点,那么它到直线x-y=0的距离是 ( )
A.(a-b) B.(b-a)
C.b-a D.
题15（多选题）．若点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为1，则a的值为(　　)
A．0 B． C．5 D．－
题16(多选题)． S＝{直线l|x＋y＝1，m，n为正常数，θ∈[0，2π)}，下列结论中错误的是(　　)
A．当θ＝时，S中直线的斜率为
B．S中所有直线均经过同一个定点
C．当m≥n时，S中的两条平行直线之间的距离的最小值为2n
D．S中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面
题17．两直线3x+y-3=0和6x+my-1=0平行,则它们之间的距离为 .
题18.已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0的距离相等,则l的方程为 .
题19．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则实数k的值是________.
题20．直线l1：2mx＋(m－2)y＋4＝0(m∈R)恒过定点________；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为________.
题21．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程．
题22．如图,已知直线l1:x+y-1=0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若l2,l1和坐标轴围成的梯形的面积为4,求直线l2的方程.
【课堂跟踪拔高】
题23．点P(-1,-1)到直线l:x-y-=0的距离为 ( )
A.0 B.1 C. D.2
题24.已知直线l1:x-y+1=0和直线l2:x-y+3=0,则l1与l2之间的距离是 ( )
A. B. C.2 D.2
题25.已知直线(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0恒经过定点P,则点P到直线l:3x+4y-4=0的距离是 ( )
A.6 B.3 C.4 D.7
题26.点P在直线x+y-4=0上,O是坐标原点,则|OP|的最小值为 ( )
A. B.2 C. D.2
题27.若直线x-y-m=0与直线mx+y-4=0平行,则它们之间的距离为 ( )
A.2 B.
C. D.
题28(多选题).已知直线l过点P(3,4)且与点A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线l的方程为 ( )
A.x+2y+2=0 B.2x-y-2=0
C.2x+3y-18=0 D.3x-2y+18=0
题29(多选题).若两条平行直线l1:x-2y+m=0与l2:2x+ny-6=0之间的距离是2,则m+n的可能值为 ( )
A.3 B.-17 C.-3 D.17
题30.过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点,且到点P(0,4)距离为2的直线方程为 .
题31.已知定点A(4,2),动点M,N分别在直线y=x和y=0上运动,则△AMN的周长取最小值时点N的坐标为 .
题32.已知△ABC的三个顶点是A(-1,4),B(-2,-1),C(2,3).
(1)求BC边的高所在直线方程;
(2)求△ABC的面积S.
题33．已知△ABC中，A(1，1)，B(m，)(1题34.已知直线l的方程为2x-y+1=0.
(1)求过点A(3,2),且与直线l垂直的直线l1的方程;
(2)求与直线l平行,且到点P(3,0)的距离为的直线l2的方程.
编号：008 课题:§1.5.2 点到直线的距离
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并掌握点到直线的距离公式的推导方法．
2、理解并掌握点到直线的距离公式．
3、理解并掌握两条平行线间的距离公式．
4、理解并掌握距离公式的综合运用．
学科素养目标
本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识．如在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系．数形结合是本章重要的数学思想．这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性．
本节重点难点
重点：两条平行线间的距离公式．
难点：距离公式的综合运用．
教学过程赏析
基础知识积累
1. 点到直线的距离
(1)公式:点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d= .
(2)本质:用代数方法求平面内点到直线的距离.
【思考】
能不能直接用直线的斜截式方程求点到直线的距离
提示:不能,必须先化成一般式,再代入公式求距离.
2.两条平行直线间的距离
(1)定义:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的 公垂线段 的长.
(2)公式:直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0间的距离d= .
(3)本质:用代数方法求平面内两条平行直线间的距离.
【思考】
直线l1,l2的方程具备什么特征时,才能直接应用公式求距离
提示:直线l1,l2的方程必须是一般式,且一次项系数A,B相同.
【课前基础演练】
题1．原点到直线x+2y-5=0的距离为 ( )
A.1 B. C.2 D.
【解析】选D.d==.
题2.两条平行线l1:3x+4y-7=0和l2:3x+4y-12=0的距离为 ( )
A.3 B.2 C.1 D.
【解析】选C.d==1.
题3. 若原点O到直线ax+by+c=0的距离为1,则有 ( )
A.c=1 B.c=
C.c2=a2+b2 D.c=a+b
【解析】选C.原点O到直线ax+by+c=0的距离d==1,所以=1,即c2=a2+b2.
题4. 已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积等于 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【思路导引】计算一条边长和这条边上的高,即第三个顶点到这条边的距离.
【解析】选C.设AB边上的高为h,则S△ABC=AB·h,AB==2,AB边上的高h就是点C到直线AB的距离.AB边所在的直线方程为=,即x+y-4=0.点C到直线x+y-4=0的距离为=,因此,S△ABC=×2×=5.
题5（多选题）．已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是(　　)
A．直线l的倾斜角是
B．点(，0)到直线l的距离是2
C．若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m
D．过(2，2)与直线l平行的直线方程是x－y－4＝0
【解析】选BD.直线l：x－y＋1＝0的斜率k＝
tan θ＝，故直线l的倾斜角是，A错误；点(，0)到直线l的距离d＝＝2，B正确；因为直线m：x－y＋1＝0的斜率k′＝，k·k′＝1≠－1，故直线l与直线m不垂直，C错误；过(2，2)与直线l平行的直线方程是y－2＝(x－2)，整理得x－y－4＝0，D正确．
题6.若第二象限内的点P(m,1)到直线x+y+1=0的距离为,则m的值为 .
【解析】由=,得m=-4或m=0,
又因为m<0,所以m=-4.
答案:-4
题7. 两条平行直线3x-4y-3=0和mx-8y+5=0间的距离是 .
【解析】因为两直线3x-4y-3=0和mx-8y+5=0平行,所以3×(-8)=(-4)m,解得m=6,即mx-8y+5=0可化为:3x-4y+=0,所以两平行线间的距离d==.
答案:
题8. 已知正方形的中心为直线2x-y+2=0,x+y+1=0的交点,正方形一边所在的直线l的方程为x+3y-5=0,求正方形其他三边所在直线的方程.
【思路导引】先求出正方形中心坐标,利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边l平行或垂直求解.
【解析】设与直线l:x+3y-5=0平行的边所在的直线方程为l1:x+3y+c=0(c≠-5).
由得正方形的中心坐标为P(-1,0),
由点P到两直线l,l1的距离相等,得=,
解得c=7或c=-5(舍),所以l1:x+3y+7=0.
又正方形另两边所在直线与l垂直,
所以设另两边所在直线的方程分别为3x-y+a=0,3x-y+b=0.
因为正方形中心到四条边的距离相等,
所以=,得a=9或a=-3,
所以另两条边所在的直线方程分别为3x-y+9=0,3x-y-3=0.
所以另三边所在的直线方程分别为3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.
【当堂巩固训练】
题9．点P(1,-1)到直线l:3y=2的距离是 ( )
A.3 B. C.1 D.
【解析】选B.点P(1,-1)到直线l的距离d==.
题10.已知点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离为3,则实数m= ( )
A.0 B. C.3 D.0或
【解析】选D.点M到直线l的距离d==,所以=3,
解得m=0或m=.
题11.已知点P(1+t,1+3t)到直线l:y=2x-1的距离为,则点P的坐标为 ( )
A.(0,-2) B.(2,4)
C.(0,-2)或(2,4) D.(1,1)
【解析】选C.直线l:y=2x-1可化为2x-y-1=0,依题意得=,
整理得|t|=1,所以t=1或-1.
当t=1时,点P的坐标为(2,4);
当t=-1时,点P的坐标为(0,-2).
题12.点P(x,y)在直线x+y-4=0上,则x2+y2的最小值是 ( )
A.8 B.2 C. D.16
【解析】选A.x2+y2=()2,它表示原点到(x,y)距离的平方,x2+y2的最小值即为原点到直线x+y-4=0的距离的平方,=8.
题13. 若点(4,a)到直线4x-3y=0的距离不大于3,则a的取值范围是 ( )
A. B.[3,4]
C.(0,10) D.(-∞,0)∪[10,+∞)
【解析】选A.由≤3,
即|3a-16|≤15,所以≤a≤.
题14.已知点P(a,b)是第二象限的点,那么它到直线x-y=0的距离是 ( )
A.(a-b) B.(b-a)
C.b-a D.
【解析】选B.因为P(a,b)是第二象限的点,
所以a<0,b>0.所以a-b<0.
所以点P到直线x-y=0的距离d=
=(b-a).
题15（多选题）．若点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为1，则a的值为(　　)
A．0 B． C．5 D．－
【解析】选AB.点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为＝1，故＝1，解得a＝0或a＝.
题16(多选题)． S＝{直线l|x＋y＝1，m，n为正常数，θ∈[0，2π)}，下列结论中错误的是(　　)
A．当θ＝时，S中直线的斜率为
B．S中所有直线均经过同一个定点
C．当m≥n时，S中的两条平行直线之间的距离的最小值为2n
D．S中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面
【解析】选ABD.当θ＝时，sin θ＝cos θ，S中直线的斜率为－，故A不正确；根据x＋y＝1，可知S中所有直线不可能经过一个定点，B不正确；当m≥n时，S中的两条平行直线间的距离为d＝≥2n，即最小值为2n，C正确；(0，0)不满足方程，所以S中的所有直线不可覆盖整个平面，D不正确．
题17．两直线3x+y-3=0和6x+my-1=0平行,则它们之间的距离为 .
【思路导引】首先利用对应系数的比值相等求m,再计算距离;
【解析】由题意,得=,所以m=2,
将直线3x+y-3=0化为6x+2y-6=0,
由两平行线间距离公式,得==.
题18.已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0的距离相等,则l的方程为 .
【思路导引】设出直线l的方程,利用两条平行线间距离公式求解.
【解析】设直线l的方程为2x-y+C=0,
由题意,得=,
解得C=1,所以直线l的方程为2x-y+1=0.
答案:(1) (2)2x-y+1=0
题19．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则实数k的值是________.
【解析】因为＝4，
所以|16－12k|＝52，所以k＝－3或k＝.
答案：－3或
题20．直线l1：2mx＋(m－2)y＋4＝0(m∈R)恒过定点________；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为________.
【解析】由2mx＋(m－2)y＋4＝0得(2x＋y)m＋(4－2y)＝0，由得，所以l1恒过定点(－1，2).
设直线l2的方程为：2mx＋(m－2)y＋C＝0，
因为l2过原点，所以C＝0，所以l2：2mx＋(m－2)y＝0，则l1，l2之间距离
d＝＝.
当m＝时，(5m2－4m＋4)min＝，所以dmax＝.所以l2的方程为：y＝x.
答案：(－1，2)　y＝x
题21．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程．
【解析】设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，
则A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b).所以AD＝，BC＝b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，故h＝＝＝(b>1)，
由梯形的面积公式得×＝4，所以b2＝9，b＝±3.
又b>1，所以b＝3. 从而得直线l2的方程是x＋y－3＝0.
题22．如图,已知直线l1:x+y-1=0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若l2,l1和坐标轴围成的梯形的面积为4,求直线l2的方程.
【解析】设l2的方程为y=-x+b(b>1),
则A(1,0),D(0,1),B(b,0),C(0,b).
所以AD=,BC=b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离,
故h===(b>1),
由梯形的面积公式得×=4,
所以b2=9,b=±3.
又b>1,所以b=3.
从而得直线l2的方程是x+y-3=0.
【课堂跟踪拔高】
题23．点P(-1,-1)到直线l:x-y-=0的距离为 ( )
A.0 B.1 C. D.2
【解析】选B.由点到直线的距离公式得,d==1.
题24.已知直线l1:x-y+1=0和直线l2:x-y+3=0,则l1与l2之间的距离是 ( )
A. B. C.2 D.2
【解析】选A.由平行线间的距离公式得d==.
题25.已知直线(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0恒经过定点P,则点P到直线l:3x+4y-4=0的距离是 ( )
A.6 B.3 C.4 D.7
【解析】选B.直线(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0变形为m(x-2y-3)+(2x+y+4)=0,由,解得,所以直线
(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0恒经过定点P(-1,-2),故点P到直线l:3x+4y-4=0的距离是d==3.
题26.点P在直线x+y-4=0上,O是坐标原点,则|OP|的最小值为 ( )
A. B.2 C. D.2
【解析】选B.点O到x+y-4=0的距离为:d==2,所以OP的最小值为2.
题27.若直线x-y-m=0与直线mx+y-4=0平行,则它们之间的距离为 ( )
A.2 B.
C. D.
【解析】选C.因为直线x-y-m=0与直线mx+y-4=0平行,则m≠0,且=≠,得m=-1,两直线即为直线x-y+1=0与直线x-y+4=0,它们之间的距离为=.
题28(多选题).已知直线l过点P(3,4)且与点A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线l的方程为 ( )
A.x+2y+2=0 B.2x-y-2=0
C.2x+3y-18=0 D.3x-2y+18=0
【解析】选BC.设所求直线的方程为y-4=k(x-3),即kx-y-3k+4=0,由点到直线的距离公式得=,解得k=-或k=2,即所求直线方程为2x-y-2=0或2x+3y-18=0.
题29(多选题).若两条平行直线l1:x-2y+m=0与l2:2x+ny-6=0之间的距离是2,则m+n的可能值为 ( )
A.3 B.-17 C.-3 D.17
【解析】选AB.由题意,n≠0,-=,
所以n=-4,所以l2:2x-4y-6=0,即x-2y-3=0,
由两平行直线间的距离公式得=2,
解得m=7或m=-13,
所以m+n=3或m+n=-17.
题30.过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点,且到点P(0,4)距离为2的直线方程为 .
【解析】由得所以直线l1与l2的交点为(1,2).
当所求直线的斜率不存在时,所求直线的方程为x=1,点P到该直线的距离为1,不合题意;
当所求直线的斜率存在时,设所求直线的方程为y-2=k(x-1),
即kx-y-k+2=0,由于点P(0,4)到所求直线的距离为2,
可得2=,整理得3k2-4k=0,解得k=0或k=.
综上,所求直线的方程为y=2或4x-3y+2=0.
答案:y=2或4x-3y+2=0
题31.已知定点A(4,2),动点M,N分别在直线y=x和y=0上运动,则△AMN的周长取最小值时点N的坐标为 .
【解析】如图所示:
定点A(4,2)关于直线y=x的对称点B(2,4),关于x 轴的对称点C(4,-2),
当BC与直线y=x和y=0的交点分别为M,N时,△AMN的周长取最小值,且最小值为|BC|==2 .
此时点N(x,0)的坐标满足=,
解得x=,即点N(,0).
答案: (,0)
题32.已知△ABC的三个顶点是A(-1,4),B(-2,-1),C(2,3).
(1)求BC边的高所在直线方程;
(2)求△ABC的面积S.
【解析】(1)设BC边的高所在直线为l,由已知
kBC==1,则kl==-1,
又点A(-1,4)在直线l上,
所以直线l的方程为y-4=-1×(x+1),即x+y-3=0.
(2)BC所在直线方程为y+1=1×(x+2),即x-y+1=0,
点A(-1,4)到BC的距离d==2,
又|BC|==4,
所以S△ABC=·|BC|·d=×4×2=8.
题33．已知△ABC中，A(1，1)，B(m，)(1【解析】因为A(1，1)，C(4，2)，所以AC＝＝.
又AC边所在直线的方程为x－3y＋2＝0，
根据点到直线的距离公式，可得点B(m，)到直线AC的距离d＝.
所以S＝AC·d＝|m－3＋2|＝|－|.
因为1所以0≤<，所以S＝.
所以当－＝0，即m＝时，S最大．故当m＝时，△ABC的面积最大．
题34.已知直线l的方程为2x-y+1=0.
(1)求过点A(3,2),且与直线l垂直的直线l1的方程;
(2)求与直线l平行,且到点P(3,0)的距离为的直线l2的方程.
【解析】(1)因为直线l的斜率为2,所以所求直线斜率为-,又因为过点A(3,2),所以所求直线方程为y-2=-(x-3),即x+2y-7=0.
(2)依题意设所求直线方程为2x-y+c=0,
因为点P (3,0)到该直线的距离为,
所以=,解得c=-1或c=-11,
所以所求直线l2的方程为2x-y-1=0或2x-y-11=0.
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