(共27张PPT)
11.2.2三角形的外角
人教版八年级上册
教材分析
本节课内容是在学生学习三角形的内角和的相关知识后进行学习的。三角形的内角和外角互为邻补角，本节课研究三角形的外角概念、性质和性质的应用，是对三角形认识的扩展和深化。
教学目标
1.理解并掌握三角形的外角的概念,并能够在复杂图形中找出外角.
2.掌握三角形的外角的性质和三角形外角和．
3.会利用三角形的外角性质解决有关问题.
新知导入
B
D
C
A
O
●
40 °
70 °
？
●
●
●
发现懒羊羊独自在O处游玩后,灰太狼打算用迂回的方式,先从A前进到C处,然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路,红太狼则直接在A处拦截懒羊羊,已知∠BAC=40 ,∠ABC=70 灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？
新知讲解诶
B
D
C
A
O
●
40 °
70 °
？
●
●
●
利用“三角形的内角和为180 ”来求∠BCD,你会吗
由三角形内角和得∠BCA=180-∠A-∠CBA=70 ，
∴∠BCD=180 -∠BCA=110 .
【思考】像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.
这节课让我们一起来探讨吧.
新知讲解
D
定义
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
新知讲解
画一个△ABC，你能画出它的所有外角来吗？请动手试一试. 同时想一想外角与相邻内角有什么特殊关系？
1
2
3
4
5
6
1.每个外角是相邻内角的邻补角；
2.每一个顶点相对应的外角都有２个；
3.每一个三角形都有６个外角.
新知讲解
①顶点在三角形的一个顶点上；
②一条边是三角形的一条边；
③另外一条边是三角形某条边的延长线.
B
C
A
D
三角形的外角具备什么特征？
新知讲解
如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°.∠ACD是△ABC的一个外角.能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？
解：在△ABC中，
∵∠A=70°，∠B=60°.
∴∠ACB=180°-70°-60°=50°
∴∠ACD=180°-50°=130°
∠ACD=∠A+∠B
新知讲解
任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？
已知：如图，△ABC，
求证：∠ACD=∠A+∠B.
由三角形的内角和可知
∠A+∠B+∠ACB=180°
由邻补角的定义可知
∠ACD +∠ACB=180°
∴∠ACD =∠A+∠B .
归纳总结
三角形内角和定理的推论
A
B
C
D
(
(
(
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，
∴∠ACD =∠A +∠B.
新知讲解
如图 ,试比较∠2、∠1的大小；
如图 ,试比较∠3、∠2、∠1的大小.
图
图
解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
解：∵∠2=∠1+∠B,∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
三角形的外角大于与它不相邻的内角.
归纳总结
三角形内角和定理的推论1
A
B
C
D
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
∵∠ACD是△ABC的一个外角
推导格式：
∴∠ACD=∠A+∠B.
三角形内角和定理的推论2
三角形的外角大于与它不相邻的内角.
∵∠ACD是△ABC的一个外角
推导格式：
∴∠ACD＞∠A,∠ACD＞∠B.
典例精析
例4.如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个
内角的和，得
∠BAE=∠2+∠3，
∠CBF=∠1+∠3，
∠ACD=∠1+∠2
所以 ∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3) ,
由∠1+∠2+∠3=180°，得∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°.
你还有其他解法吗？
归纳总结
推论：三角形的三个外角和等于360°.
数学语言表示：
∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°.
三角形的每一个顶点处各有两个外角，三角形的外角和不是指六个外角的总和，而是说在三角形的每一个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角和叫做三角形的外角和.
A
B
F
C
D
E
1
2
3
结论
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图,AB∥CD,∠A＝37 ,∠C＝63 ，那么∠F等于( )
A.26 B.63 C.37 D.60
2.如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于F，∠A=70°，∠ACD=20°，∠ABE=28°，则∠CFE的度数为( )
A.62° B.68° C.37° D.60°
A
A
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，CE⊥AF于E，若∠F=40°，∠C=50°，则∠DBC=_____.
4.如图，AB//CD，∠A=38°，∠C=80°，则∠M=_____.
80°
42°
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.如图所示，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，求证：∠BAC=∠B+2∠E.
证明：∵∠ECD是△EBC的外角，
∴∠ECD=∠B+∠E.
∵∠BAC是△ACE的外角，
∴∠BAC=∠E+∠ACE.
∵CE是∠ACD的平分线，
∴∠ACE=∠ECD=∠B+∠E.
∴∠BAC=∠E+∠ACE=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E.
B
A
C
D
E
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.如图，在五角星的图中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
解:∵∠1是△BDF的一个外角,
∴∠1=∠B+∠D,
∵∠2是△EHC的一个外角,
∴∠2=∠C+∠E,
∵∠A+∠1+∠2=180°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A 的度数．
E
解：延长 BP 交 AC 于点 E，
则∠BPC，∠PEC 分别为△PCE，△ABE 的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A.
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
课堂总结
三角形的外角
角的一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形的另一边的延长线
定义
性质
三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360°
板书设计
三角形的外角
一、三角形内角定义
二、三角形内角的性质
三、三角形外角和
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.三角形的三个内角之比分别是1:2:3，则此三角形的最大外角为______度.
2.等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角为_____________.
3.(1)如图，∠BDC 是________的外角，也是 的外角；
(2)若∠B = 45°， ∠BAE = 36°， ∠BCE = 20°，则∠AEC 的度数为 .
△ADE
△ADC
101°
150
30°或75°
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
解:(1)∵∠ADC是△ABD的外角.
4.如图,D是△ABC的BC边上,∠B=∠BAD,∠ADC=80 ,∠BAC=70 ,
求：(1)∠B 的度数；(2)∠C的度数.
(2)在△ABC中，
∠B+∠BAC+∠C=180 ，
∠C=180 -40 -70 =70 .
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80 .
又∵∠B=∠BAD，
A
B
C
D
∴∠B=80°×
作业布置
【综合拓展类作业】
5.如图，BD是∠ABC的角平分线，CD是△ABC的外角平分线,BD、CD交于D，试探索∠A与∠D的关系.
解:∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠A+∠ABC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE， ∴∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，
∴∠DCE= ∠A+∠DBC，
∵∠DCE是△DBC的外角，∴∠DCE=∠D+∠DBC，
∴∠D+∠DBC=∠A+∠DBC，
即∠D=∠A.
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第五课时《11.2.2三角形外角》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课内容是在学生学习三角形的内角和的相关知识后进行学习的。三角形的内角和外角互为邻补角，本节课研究三角形的外角概念、性质和性质的应用，是对三角形认识的扩展和深化。
学习者分析 八年级学生已经学习了三角形及边、角概念，三角形有关线段，三角形内角和等知识，初步掌握了简单的逻辑推理，能在教师的启发下独立解决一些简单问题。
教学目标 1.理解并掌握三角形的外角的概念,并能够在复杂图形中找出外角. 2.掌握三角形的外角的性质和三角形外角和． 3.会利用三角形的外角性质解决有关问题
教学重点 证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
教学难点 运用外角的性质解决简单问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 发现懒羊羊独自在O处游玩后,灰太狼打算用迂回的方式,先从A前进到C处,然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路,红太狼则直接在A处拦截懒羊羊,已知∠BAC=40 ,∠ABC=70 灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？ 利用“三角形的内角和为180 ”来求∠BCD,你会吗 【思考】像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质. 这节课让我们一起来探讨吧.学生活动1： 学生思考，回答问题 由三角形内角和得∠BCA=180-∠A-∠CBA=70 ， ∴∠BCD=180 -∠BCA=110 . 活动意图说明：通过创设足球射门情境，来激发学生学习热情，为新知学习做好铺垫。环节二：新知探究教师活动2： 定义 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 画一个△ABC，你能画出它的所有外角来吗？请动手试一试. 同时想一想外角与相邻内角有什么特殊关系？ 1.每个外角是相邻内角的邻补角； 2.每一个顶点相对应的外角都有２个； 3.每一个三角形都有６个外角. 三角形的外角具备什么特征？ ①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一条边； ③另外一条边是三角形某条边的延长线. 学生活动2： 学生动手操作、同桌合作，由于学生剪拼角的位置不同，可能会出现多种剪拼方法，但通过分析，都可以归纳为剪下的两个角拼在第三个角的同侧或异侧。 学生动手操作，试着回答问题 学生思考并回答 活动意图说明：通过辨析外角的定义，从而引导学生发现外角的个数。通过设置问题链的方式，由浅入深。环节三：新知讲解教师活动3： 如图，△ABC中，∠ACD与∠ABC有怎样的位置关系？∠ACD与∠ABC有怎样的数量关系？ 如图，在△ABC 中，∠A =75°，∠B =40°，∠ACD等于多少度呢？你能猜想出∠ACD 与∠A，∠B 有怎样的关系吗？请于你的同伴进行谈论。 任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？ 已知：如图，△ABC， 求证：∠ACD=∠A+∠B. 归纳总结： 三角形内角和定理的推论 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵∠ACD 是△ABC 的一个外角， ∴∠ACD =∠A +∠B. 如图①,试比较∠2、∠1的大小； 如图②,试比较∠3、∠2、∠1的大小. 你能得出什么结论？ 三角形的外角大于与它不相邻的内角.学生活动3： 教师引导学生弄清位置关系与数量关系的区别。学生回答：位置关系：相邻；数量关系：互补。 学生独立解答，计算出∠ACD=115° 学生猜想并与小组为单位进行谈论，完成请小组代表来黑板进行展示 ∠ACD=∠A+∠B。 学生证明此题，注意书写规范 由三角形的内角和可知 ∠A+∠B+∠ACB=180° 由邻补角的定义可知 ∠BCD +∠ACB=180° ∴∠BCD =∠A+∠B . 学生观察图，试着比较大小 (1)解：∵∠2=∠1+∠B, ∴∠2＞∠1. (2) 解：∵∠2=∠1+∠B,∠3=∠2+∠D, ∴∠3＞∠2＞∠1. 学生总结活动意图说明：通过小组合作的方式培养学生的团队合作意识；通过具体实例引导学生猜想出三角形外角与内角之间的关系，并要求学生证明，培养学生做事有理有据的习惯；要求学生多种方式解决问题，培养学生的发散思维。环节四：典例精析教师活动4： 例1.如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 归纳：三角形的外角和是360°学生活动4： 有思路的同学独立解答，没有思路的同学小组讨论。并请一位同学汇报结果。 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角和，得 ∠BAE=∠2+∠3， ∠CBF=∠1+∠3， ∠ACD=∠1+∠2 所以 ∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3) , 由∠1+∠2+∠3=180°，得∠BAE+∠CBF+∠ACD= 2×180°=360°. 活动意图说明：类比于旧知的学习过程，让学生知道新知应该从哪些方面就行研究，培养学生的逻辑思维能力。通过规范学生的书写过程，使学生意识到学习数学需要有严谨的态度。更进一步培养学生做事有理有据的习惯。
板书设计 一、三角形内角定义 二、三角形内角的性质 三、三角形外角和
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图,AB∥CD,∠A＝37 ,∠C＝63 ，那么∠F等于( ) A.26 B.63 C.37 D.60 2.如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于F，∠A=70°，∠ACD=20°，∠ABE=28°，则∠CFE的度数为( ) A.62° B.68° C.37° D.60° 3.如图，CE⊥AF于E，若∠F=40°，∠C=50°，则∠DBC=_____. 4.如图，AB//CD，∠A=38°，∠C=80°，则∠M=_____. 选做题： 5.如图所示，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，求证：∠BAC=∠B+2∠E. 6.如图，在五角星的图中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 【综合拓展类作业】 7.如图，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A 的度数．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.三角形的三个内角之比分别是1:2:3，则此三角形的最大外角为______度. 2.等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角为_________. 3.(1)如图，∠BDC 是_______的外角，也是 的外角； (2)若∠B = 45°， ∠BAE = 36°， ∠BCE = 20°，则∠AEC 的度数为 . 选做题： 4.如图,D是△ABC的BC边上,∠B=∠BAD,∠ADC=80 ,∠BAC=70 , 求：(1)∠B 的度数；(2)∠C的度数. 【综合拓展类作业】 5.如图，BD是∠ABC的角平分线，CD是△ABC的外角平分线,BD、CD交于D，试探索∠A与∠D的关系.
教学反思 本节的知识内容很突出，要让学生了解三角形的外角及其性质，所以在教学过程中，应让学生自主探索，利用多种方法进行研究. 同时要关注学生的合作交流，开阔学生的思路，让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力. 在教学设计上，关注学生自主学习、合作交流的过程，让学生体会数学知识应用的灵活性，感受数学基础的重要性，在获得数学活动经验的同时，提高学生的探究、发现和创新能力.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第十一章
课标要求 1.理解三角形的高、中线与角平分线的概念；了解三角形的稳定性.2.探索并证明“三角形任意两边之和大于第三边”，了解三角形重心的概念.3.探索并证明三角形内角和定理，掌握它的推论.4.三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和.5.了解多边形、凹、凸多边形、正多边形、多边形的内角、外角、对角线等基本概念.6.经历探索多边形内角和与外角和公式的过程,体会数学与现实生活的联系.7.掌握多边形内角和公式的推导，并能运用公式解决些实际问题.8.难点掌握多边形内角和公式,并能运用多边形内角和公式和外角和结论解决问题.
内容分析 首先结合引言中的实际例子抽象得出三角形的概念.进而通过由表及里的寻找特征，研究三角形的分类.对于三角形的边，证明了三角形两边的和大于第三边，接下来，给出了三角形的高、中线与角平分线的概念，结合三角形的中线介绍了三角形的重心的概念，最后结合实际例子介绍三角形的稳定性.对于三角形的内角，通过动手操作、观察实验推理论证得出三角形内角和定理.然后由这个定理推出直角三角形的性质；直角三角形的两个锐角互余，最后给出三角形的外角的概念，并由三角形内角和定理推出，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.以三角形的有关概念和性质为基础，类比得出多边形的有关概念与多边形的内角和，外角和公式，三角形是多边形的一种，因而可以借助三角形介绍多边形的有关概念，如多边形的边、内角、外角、内角和都可由三角形的有关概念推广而来.三角形是最简单的多边形.因而常常将多边形分为几个三角形，利用三角形的性质研究多边形，多边形的内角和公式就是利用上述方法得到的，将多边形的有关内容与三角形的有关内容紧接安排.可以加强它们之间的联系，便于学生学习.
学情分析 "三角形”是《课程标准》”几何与图形”的重要内容.在第四章《几何图形初步》、第五章《相交线与平行线》中,学生已经学习了直线、线段、射线、角等基本的平面图形,研究了两条直线的位置关系:平行与相交.本章知识是在此基础上,全面研究三角形的有关线段、有关的角,以及多角形的有关线段、有关的角.既是已学知识的深入,同时也是今后学习“全等三角形”、"特殊三角形” 、"四边形” 等内容的重要基础。
单元目标 （一）教学目标1.知道三角形的有关概念以及三角形的分类, 初步体会分类思想；掌握三角形的任意两边之和大于第三边”的性质2.通过画图了解三角形的三条中线、三条角平分线、三条高(所在直线)的交点情况.3.通过对三角形的内角和的探究,经历操作、归纳、猜测和说理证实的过程,感知数学探索和科学发现的方法；掌握三角形内角和的性质，了解直观经验与理性思考的联系和区别.4.理解三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和.5.在参与知识形成和运用所学知识解决问题的活动中,增强推理意识,丰富几何语言,体会几何演绎思想和逻辑推理方法，了解逻辑推理的叙述方式和表达要求.（二）教学重点、难点教学重点：三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式.教学难点：三角形内角和等于180°的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及与简单的平面镶嵌设计.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数11.1与三角形有关的线段311.2与三角形有关的角211.3多边形及其内角和2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务11.1.1三角形的边1.认识三角形并会用几何语言表示三角形，了解三角形分类.2.掌握三角形的三边关系. 3.运用三角形三边关系解决有关的问题.学生能够认识三角形并了解三角形的分类能掌握三角形三边关系并运用三边关系解决问题任务1.引言得出三角形有关概念任务2.探究三角形三边关系任务3.出示例题任务4.归纳总结11.1.2三角形的高，中线与角平分线1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念. 2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.学生会画三角形的高，中线，角平分线；并且能根据概念解决问题任务1：由实际问题引出三角形的高任务2：探究三角形中线的概念以及中线的相关知识任务3：三角形角平分线的概念以及画法与运用 11.1.3三角形稳定性1.了解三角形的稳定性. 2.了解三角形的稳定性和四边形不稳定性在实际生活中的应用.了解三角形的稳定性任务1：由实例引出三角形的稳定性任务2：举例任务3：例题11.2.1三角形内角和1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.2.会运用三角形内角和定理进行计算. 学生会证明三角形的内角和定理，会运用内角和进行计算任务1：思考三角形内角和任务2：探究三角形内角和定理任务3：通过例题掌握三角形内角和定理。11.2.2三角形外角1.理解并掌握三角形的外角的概念,并能够在复杂图形中找出外角.2.掌握三角形的外角的性质和三角形外角和． 3.会利用三角形的外角性质解决有关问题.学生掌握三角形外角的概念，以及掌握三角形外角的性质，利用三角形外角性质和外角和解决实际问题任务1：引出三角形外角的概念任务2：探究三角形外角的性质任务3：由实例得出三角形外角和任务4：例题 11.3.1多边形1.掌握多边形的定义及有关概念，能区分凹凸多边形。2.掌握正多边形的概念。3.会求多边形的对角线的条数。学生掌握多边形的概念以及正多边形的概念；会求多边形对角线的条数任务1.多边形的概念任务2.探究多边形对角线任务3.认识正多边形11.3.2多边形内角和1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式. 2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.学生能够熟练掌握多边形内角和公式的探究，并能利用多边形内角和和外角和解决问题任务1：探究多边形的内角和公式任务2：例题解析任务3：认识多边形外角和
《第十一章 三角形》单元教学设计
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
