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第22章 二次函数（单元测试）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C．y＝x2+2x﹣1 D．y＝x﹣2
【答案】D
【解析】A．函数的右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．函数是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．函数是二次函数，故本选项符合题意；
D．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选D．
2．已知二次函数，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．±3 C．3 D．
【答案】A
【解析】由题意得：m2﹣7＝2，
故m2＝9，
解得：m＝±3，
∵m﹣3≠0，
∴m≠3，
∴m＝﹣3，
故选A．
3．下列函数，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ）
A．y＝﹣2x B． C．y＝2（x+1）2 D．y＝﹣x2+1
【答案】C
【解析】A．y＝ 2x，y随x增大而减小，不符合题意；
B．，当x＞0时，y随x增大而减小，不符合题意；
C．y＝2（x＋1）2，当x＞ 1时，y随x增大而增大，所以当x＞0时，y随x增大而增大，符合题意；
D．y＝ x2＋1，当x＞0时，y随x增大而减小，不符合题意．
故选C．
4．若a＞0，则二次函数y＝ax2+2x﹣1的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵对称轴直线x0，
∴对称轴在y轴的左侧，
由y＝ax2+2x﹣1可知，抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），
故选D．
5．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2．则这条抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2
C．y＝﹣x2+x+2 D．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2
【答案】D
【解析】设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x+1），
∵OC＝2，
∴C点坐标为（0，2）或（0，﹣2），
把C（0，2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a （﹣2） 1＝2，解得a＝﹣1，此时抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）（x+1），即y＝﹣x2+x+2；
把C（0，﹣2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a （﹣2） 1＝﹣2，解得a＝1，此时抛物线解析式为y＝（x﹣2）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2．
即抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．
故选D．
6．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而增大
D．图象与x轴有唯一交点
【答案】C
【解析】∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，
解方程﹣x2+2x+4＝0，解得x1＝1，x2＝1，
∴抛物线与x轴有两个交点．
故选C．
7．已知二次函数的图象经过点，且，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵二次函数，
∴它的图象开口向上，对称轴为直线．
∵图象经过点，且，
∴或，
解得．
故选B．
8．竖直向上的小球离地面的高度h（米）与时间t（秒）的关系函数关系式为h＝﹣2t2+mt，若小球经过秒落地，则小球在上抛过程中，第（ ）秒离地面最高．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵h＝﹣2t2+mt，小球经过秒落地，
∴t时，h＝0，
∴0＝﹣2m，
解得：m，
当t时，h最大，
故选A．
9．抛物线经过点和，顶点坐标为，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】抛物线顶点坐标为，
抛物线对称轴为，
抛物线经过点和，，
，
，
故选．
10．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①b＝2a；
②c﹣a＝n；
③抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间；
④当x＜0时，ax2+（b+2）x＜0；
⑤一元二次方程ax2+（b）x+c＝0有两个不相等的实数根
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】①因为抛物线的对称轴为x＝1，即1，所以b＝﹣2a，所以①错误；
②当x＝1时，y＝n，a+b+c＝n，因为b＝﹣2a，所以﹣a+c＝n，所以②正确；
③因为抛物线的顶点坐标为（1，n），即对称轴为x＝1，
且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，
所以抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间；所以③正确；
④因为ax2+（b+2）x＜0，即ax2+bx＜﹣2x
根据图象可知：把抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象向下平移c个单位后图象过原点，
即可得抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的图象，
所以当x＜0时，ax2+bx＜﹣2x，即ax2+（b+2）x＜0．所以④正确；
⑤一元二次方程ax2+（b）x+c＝0
△＝（b）2﹣4ac
因为根据图象可知：a＜0，c＞0，所以﹣4ac＞0，所以△＝（b）2﹣4ac＞0
所以一元二次方程ax2+（b）x+c＝0有两个不相等的实数根．所以⑤正确．
故选D．
二、填空题：共8小题，每小题3分，共24分.
11．已知二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝ ，一次项系数b＝ ，常数项c＝ ．
【答案】3，﹣5，1
【解析】二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1，
故答案为：3，﹣5，1．
12．将二次函数y＝x2﹣6x+8化成y＝a（x+m）2+k的形式是 ．
【答案】y＝（x﹣3）2﹣1
【解析】y＝x2﹣6x+8
＝x2﹣6x+9﹣1
＝（x﹣3）2﹣1．
故答案为：y＝（x﹣3）2﹣1．
13．已知二次函数图象的顶点坐标是（2，﹣1），形状与抛物线y＝2x2相同且开口方向向下，则这个二次函数的解析式是 ．
【答案】y＝﹣2（x﹣2）2﹣1
【解析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，且该抛物线的形状形状与抛物线y＝2x2相同且开口方向向下，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣2）2﹣1，
故答案为：y＝﹣2（x﹣2）2﹣1．
14．若抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
【答案】k且k≠1
【解析】∵抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，
∴△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k，
又∵k﹣1≠0，
∴k≠1，
∴k的取值范围是k且k≠1；
故答案为：k且k≠1．
15．把二次函数y＝2x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式是 ．
【答案】y＝2（x+3）2﹣1
【解析】把二次函数y＝2x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后的函数关系式是：y＝2（x+3）2﹣1．
故答案为y＝2（x+3）2﹣1．
16．已知点A(-3，)，B(-5，)，C(2，)在函数y=- -2x+b的图象上，则、、的大小关系为_______．
【答案】＜＜
【解析】∵y=-x2-2x+b，
∴函数y=- -2x+b=的对称轴为直线x=-1，开口向下，
当x＜-1时，y随x的增大而增大，当x＞-1时，y随x的增大而减小，
∵C(2，)关于直线x=-1的对称点为(-4，)，A(-3，)，B(-5，)，
而-5<-4<-3<-1，
∴＜＜，
故答案为：＜＜．
17．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为26m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为
m．
【答案】14
【解析】设平行于墙的材料长为x米，
则垂直于墙的材料长为（28﹣x），
总面积Sx（28﹣x）
（x2﹣28x）
（x﹣14）2，
∴当x＝14时，建成的饲养室面积最大．
故答案为：14．
18．已知自变量为x的二次函数y＝（ax+m）（x）经过（t，3）、（t﹣4，3）两点，若方程（ax+m）（x）＝0的一个根为x＝1，则其另一个根为 ．
【答案】3或﹣5
【解析】∵二次函数y＝（ax+m）（x），
∴当x＝0时，y＝3，
∴二次函数y＝（ax+m）（x）必经过定点（0，3），
∴二次函数y＝（ax+m）（x）经过（0，3）、（4，3）两点或经过（﹣4，3）（0，3）两点，
∴对称轴为：x（0+4）＝2或x（﹣4+0）＝﹣2，
∵方程y＝（ax+m）（x）＝0的一个根为x＝1，
∴另一个根为3或﹣5，
∴故答案为3或﹣5．
三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
【解析】（1）∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数，
∴m2+2m＝0，m≠0，
解得：m＝﹣2；
（2））∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数，
∴m2+2m≠0，
解得：m≠﹣2且m≠0．
20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为（1，4），且过点（﹣1，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求将抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位后抛物线的函数表达式．
【解析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
把（﹣1，0）代入得a（﹣1﹣1）2+4＝0，
解得a＝﹣1．
所以抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3；
（2）平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1+2）2+4+5，即y＝﹣x2﹣2x+8．
21．当x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c取得最小值为﹣3，且函数图象与y轴交于点C（0，1）
（1）求此函数解析式；
（2）若A（m，y1），B（m+2，y2）两点都在函数图象上，且y1＜y2，直接写出m的取值范围 m＞0 ．
【解析】（1）∵x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c取得最小值为﹣3，
∴抛物线开口向上，顶点为（1，﹣3），
设函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，代入点C（0，1）得，1＝a﹣3，
解得a＝4，
∴此函数解析式为y＝4（x﹣1）2﹣3；
（2）∵A（m，y1），B（m+2，y2）两点都在函数y＝4（x﹣1）2﹣3的图象上，
∴y1＝4（m﹣1）2﹣3；，y2＝4（m+1）2﹣3，
∵y1＜y2，
∴y2﹣y1＝[4（m+1）2﹣3]﹣[4（m﹣1）2﹣3]＝16m＞0，
∴m＞0，
∴m＞0时，y1＜y2，
故答案为m＞0．
22．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，1），点B（0，4）．
（1）求该二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）点C（m，n）在该二次函数图象上．
①当m＝﹣1时，求n的值；
②当m≤x≤3时，n最大值为5，最小值为1，请根据图象直接写出m的取值范围．
【解析】（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，1），点B（0，4）．
∴，解得，
∴该二次函数为y＝﹣x2+2x+4，
∵y＝﹣（x﹣1）2+5，
∴顶点为（1，5）；
（2）∵点C（m，n）在该二次函数图象上，
①当m＝﹣1时，则C（﹣1，n），
把C（﹣1，n）代入y＝﹣x2+2x+4得，n＝1；
②当m≤x≤3时，n最大值为5，最小值为1，
∵抛物线的顶点为（1，5），
把y＝1代入y＝﹣x2+2x+4得1＝﹣x2+2x+4，解得x1＝3，x2＝﹣1，
∴m的取值范围是﹣1≤m≤1．
23．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x（元/件） 12 13 14 15 16
y（件） 1200 1100 1000 900 800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件．①当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润；②若线下月利润与线上月利润的差不低于800元，直接写出x的取值范围．
【解析】（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
，
解得，
即y与x的函数关系式是y＝﹣100x+2400；
（2）①设总利润为w元，
w＝（x﹣10）（﹣100x+2400）+（x﹣2﹣10）×400＝﹣100（x﹣19）2+7300，
∵12≤x＜24，
∴当x＝19时，w取得最大值，此时w＝7300，
答：当x为19时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润是7300元；
②线下月利润与线上月利润的差为W元，
W＝（x﹣10）（﹣100x+2400）﹣（x﹣2﹣10）×400＝﹣100（x﹣15）2+3300，
令W＝800，则800＝﹣100（x﹣15）2+3300，
解得x1＝10，x2＝20，
∴当10≤x≤20时，W的值不小于800，
又∵12≤x＜24，
∴线下月利润与线上月利润的差不低于800元时，x的取值范围是12≤x≤20．
24．已知二次函数．
(1)二次函数图象的对称轴是______；
(2)当时，的最大值与最小值的差为，求该二次函数的表达式；
(3)对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，请结合函数图象，直接写出的取值范围．
【解析】（1）∵x1，
∴二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1；
（2）y＝ax2+2ax﹣2＝a（x+1）2﹣a﹣2，
∵a＞0，
∴当x＝﹣1时，二次函数有最小值为﹣a﹣2，
当﹣2≤x≤1时，x＝1时函数有最大值3a﹣2，
∵当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差为3，
∴3a﹣2﹣（﹣a﹣2）＝3，
∴a．
∴该二次函数的表达式为yx﹣2；
（3）当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥2时，均满足y1≤y2，t的取值范围是：﹣3≤t≤1．理由：
∵二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，
∴当x＝2与x＝﹣4时的函数值相等，
∵a＞0，
∴抛物线的开口方向向上，
∵当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥2时，均满足y1≤y2，
∴，
解得：﹣3≤t≤1．
25．如图，抛物线yx2+2与x轴交于A、B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上.
（1）试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标；
（2）问在抛物线上是否存在一点M，使△MAC≌△OAC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）抛物线yx2+2的对称轴为x＝0，顶点C的坐标为（0，2）；
（2）对于抛物线yx2+2，当y＝0时，x＝±2，
∴A（2，0），B（﹣2，0），
∴OA＝2；
如图3所示：
则线段AC的垂直平分线的解析式为y＝x，
令xx2+2，
解得：x＝﹣1±，
∴M1（﹣1，﹣1），M2（﹣1，﹣1），
此时∠AMC≠90°，
∴舍去；
综上所述：在抛物线上不存在一点M，使△MAC≌△OAC．
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第22章 二次函数（单元测试）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C．y＝x2+2x﹣1 D．y＝x﹣2
2．已知二次函数，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．±3 C．3 D．
3．下列函数，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ）
A．y＝﹣2x B． C．y＝2（x+1）2 D．y＝﹣x2+1
4．若a＞0，则二次函数y＝ax2+2x﹣1的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2．则这条抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2
C．y＝﹣x2+x+2 D．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2
6．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而增大
D．图象与x轴有唯一交点
7．已知二次函数的图象经过点，且，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．竖直向上的小球离地面的高度h（米）与时间t（秒）的关系函数关系式为h＝﹣2t2+mt，若小球经过秒落地，则小球在上抛过程中，第（ ）秒离地面最高．
A． B． C． D．
9．抛物线经过点和，顶点坐标为，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①b＝2a；
②c﹣a＝n；
③抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间；
④当x＜0时，ax2+（b+2）x＜0；
⑤一元二次方程ax2+（b）x+c＝0有两个不相等的实数根
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：共8小题，每小题3分，共24分.
11．已知二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝ ，一次项系数b＝ ，常数项c＝ ．
12．将二次函数y＝x2﹣6x+8化成y＝a（x+m）2+k的形式是 ．
13．已知二次函数图象的顶点坐标是（2，﹣1），形状与抛物线y＝2x2相同且开口方向向下，则这个二次函数的解析式是 ．
14．若抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
15．把二次函数y＝2x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式是 ．
16．已知点A(-3，)，B(-5，)，C(2，)在函数y=- -2x+b的图象上，则、、的大小关系为_______．
17．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为26m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为
m．
18．已知自变量为x的二次函数y＝（ax+m）（x）经过（t，3）、（t﹣4，3）两点，若方程（ax+m）（x）＝0的一个根为x＝1，则其另一个根为 ．
三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为（1，4），且过点（﹣1，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求将抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位后抛物线的函数表达式．
21．当x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c取得最小值为﹣3，且函数图象与y轴交于点C（0，1）
（1）求此函数解析式；
（2）若A（m，y1），B（m+2，y2）两点都在函数图象上，且y1＜y2，直接写出m的取值范围 m＞0 ．
22．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，1），点B（0，4）．
（1）求该二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）点C（m，n）在该二次函数图象上．
①当m＝﹣1时，求n的值；
②当m≤x≤3时，n最大值为5，最小值为1，请根据图象直接写出m的取值范围．
23．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x（元/件） 12 13 14 15 16
y（件） 1200 1100 1000 900 800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件．①当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润；②若线下月利润与线上月利润的差不低于800元，直接写出x的取值范围．
24．已知二次函数．
(1)二次函数图象的对称轴是______；
(2)当时，的最大值与最小值的差为，求该二次函数的表达式；
(3)对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，请结合函数图象，直接写出的取值范围．
25．如图，抛物线yx2+2与x轴交于A、B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上.
（1）试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标；
（2）问在抛物线上是否存在一点M，使△MAC≌△OAC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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