2022-2023学年山东省烟台市海阳市九年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省烟台市海阳市九年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在实数，，，，中，属于无理数的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2. 下列表示医疗或救援的标识中既是轴对称图形也是中心对称图形的是( )
A. 医疗卫生服务机构 B. 中国红十字会
C. 医疗废物 D. 国际急救
3. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数是( )
A.
B.
C.
D.
4. 体育课上，体育老师随机抽取了某班名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后制成如下统计表，则下列说法正确的是( )
成绩次
人数名
A. 这组数据的众数是 B. 这组数据的中位数是
C. 这组数据的平均数是 D. 这组数据的极差是
5. 如图，湖边建有，，，共座凉亭，某同学计划将这座凉亭全部参观一遍，从入口处进，先经过凉亭，接下来参观凉亭或凉亭已经参观过的凉亭，再次经过时不作停留，则最后一次参观的凉亭为凉亭的概率为( )
A. B. C. D.
6. 计算器求值时，文文将按键为的显示结果记为，在计算器显示状态下，将按键的显示结果记为，则与的大小关系为( )
A. B. C. D. 不能比较
7. 已知一次函数的图象过第一、二、四象限，且与轴交于点，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8. 如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆与边相切于点，与，分别交于点和点，点是优弧上一点，，则的度数是( )
A. B. C. D.
9. 如图， 的顶点，的坐标分别是，，顶点，均在函数的图象上，交轴于点，若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
10. 已知二次函数，其函数与自变量之间的部分对应值如表所示下列结论：；当时，；；关于的一元二次方程的解是，其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 在函数中，自变量的取值范围是______ ．
12. 某平台发布短视频“山东海阳，春日暖暖扭秧歌”后，显示总播放量达次，将数据用科学记数法表示为______ ．
13. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则代数式的值为______ ．
14. 如图，在中，，，斜边，是的中点，以为圆心，线段的长为半径画圆心角为的扇形，弧经过点，则图中阴影部分的面积为______ 平方单位．
15. 如图，在正方形中，，、、分别是边、、上的动点，且，，则的最小值是______．
16. 如图，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，与的函数图象如图所示．当恰好平分时的值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．
18. 本小题分
如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为点，若平分，，，求的长．
19. 本小题分
为扎实推进“多彩校园”活动，我市某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
社团活动 舞蹈 篮球 围棋 足球
人数
参加四个社团活动人数扇形统计图
请根据以上信息，回答下列问题：
抽取的学生共有______ 人，其中参加篮球社团的有______ 人；
若该校有人，请估算该校参加舞蹈社团的学生人数；
该校某班有男女共名学生参加足球社，现从中随机抽取名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法求恰好抽到一男一女的概率．
20. 本小题分
海阳市小孩儿口湿地公园是国家级城市湿地公园之一，也是市民喜爱的休闲游乐、康体健身的公园，在公园绿化改造项目中，要将一棵枯萎的树砍伐掉，在操作过程中，张师傅想直接从根部把树放倒，王师傅不同意，他担心这样会损坏这棵树周处的花园，通过测量发现，，，请通过计算说明王师傅的担心是否有必要结果精确到．
参考数据：，，，，，，
21. 本小题分
喜饼是海阳地方特产，具有独特风味，寓意喜庆团园，甲，乙两人去市场采购相同价格的同种礼盒装喜饼，甲用元购买的数量比乙用元购买的数量少盒．
利用分式方程，求甲购买该种礼盒装喜饼的数量；
甲，乙两人再去采购该种礼盒装喜饼时，恰逢店庆促销，单价比上次少了元盒甲购买喜饼的总价与上次相同，乙购买喜饼的数量与上次相同，则甲两次购买这种喜饼的平均单价是______ 元盒，乙两次购买这种喜饼的平均单价是______ 元盒直接写出答案．
22. 本小题分
如图，是的直径，弦交于点，点为延长线上一点，且．
根据题干信息，请用尺规作图作出点保留作图痕迹，不写作法；
求证：是的切线；
若的半径为，，且，求的长．
23. 本小题分
如图，在等腰直角三角形中，以为边在右侧作正方形．
问题提出：图中线段与线段的数量关系为______ 直接写出答案；
深入探究：如图，将正方形绕点在平面内旋转，连接，，判断线段与线段的数量关系并说明理由；
拓展延伸：若，正方形绕点在平面内旋转的过程中，当点，，在同一条直线上时，请直接写出线段的长．
24. 本小题分
若直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过点，交轴于，两点，且抛物线的对称轴为直线．
求二次函数的表达式；
过点作直线交轴于点，点是直线上一动点，点是第一象限抛物线上一动点，求四边形面积的最大值与此时点的坐标；
在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
在实数，，，，中，属于无理数的有，，，共个．
故选：．
直接根据无理数的概念解答即可．
本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
3.【答案】
【解析】解：如图，
由题意得：，，
，
．
故选：．
由平行线的性质可得，再由补角的定义即可求解．
本题主要考查平行线的性质，补角的定义，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
4.【答案】
【解析】解：、引体向上成绩出现最多的是次和次，这组数据没有众数，选项错误，不符合题意；
B、将这组数据有小到大排列为：、、、、、、、、、，这组数据的中位数是，选项错误，不符合题意；
C、这组数据的平均数是，选项正确，符合题意；
D、这组数据的极差是，选项错误，不符合题意；
故选：．
根据方差、众数、平均数和中位数的定义进行计算．
本题考查了方差、众数、平均数和中位数的计算，掌握方差、众数、平均数和中位数的定义是关键．
5.【答案】
【解析】解：根据题意画图如下：
共有种等可能的情况数，其中最后一次参观的凉亭为凉亭的有种，
则最后一次参观的凉亭为凉亭的概率为；
故选：．
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
6.【答案】
【解析】解：由计算器计算得，
，．
又，即．
故选：．
使用计算器，按题目所给的按键顺序求出和，再比较大小即可．
本题考查计算器的使用，正确按题目所给按键顺序求出和是解题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据一次函数的性质得出、的正负，并正确地解不等式是解此题的关键．
根据一次函数的图象过第一、二、四象限，得到，，把代入解析式求出，解，得，代入即可求出答案．
【解答】
解：一次函数的图象过第一、二、四象限，
，，
把代入解析式得：，
解得：，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：连接，
与相切于点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据切线的性质得到，根据垂直的定义得到，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论。
本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键。
9.【答案】
【解析】解：如图，过、两点作轴的垂线，垂足为、，交于点，过点作，垂足为，连接，
是平行四边形，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
点的横坐标为，的横坐标为，
设，则，
顶点、均在函数的图象上，
，
解得，
．
故选：．
分别过、作轴的垂线，垂足为、，过点作，垂足为，连接，根据，可证≌，则，，由题意，推出，由，可知点的横坐标为，易知的横坐标为，设，则，列出方程即可解决问题．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，解答此题的关键是通过作辅助线，将图形分割，寻找全等三角形，利用边的关系设双曲线上点的坐标，根据面积关系，列方程求解．
10.【答案】
【解析】解：由于二次函数有最大值，，开口向下，对称轴为直线，，图象经过点，，，故说法正确；
对称轴为直线，点关于直线的对称点为，，开口向下，当时，，故说法正确；
当时，，，故说法错误；
点关于直线的对称点是，关于的一元二次方程的解是，，故说法正确．
故选：．
观察图表可知，开口向下，，二次函数在与时，值相等，得出对称轴为直线，即可得出，在根据图象经过点，得出由此判断；根据二次函数的对称性求得抛物线与轴的交点，即可判断；根据，即可判断；根据抛物线的对称性求得点关于直线的对称点是，即可判断．
本题考查了二次函数的性质，难度适中．通过观察图表得出对称轴为直线是解题的关键．
11.【答案】且
【解析】解：根据题意得：且，
解得：且．
故答案为且．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于，分母不等于，可以求出的范围．
本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，可以用整数位数减去来确定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．
13.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，，
，，
，
．
故答案为：．
根据根与系数的关系求出、的值，代入代数式进行计算即可．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键
14.【答案】
【解析】解：连接，作，．
，，点为的中点，
，四边形是正方形，，
则扇形的面积是：，
，，点为的中点，
平分，
又，，
，
，
，
则在和中，
，
≌，
．
则阴影部分的面积是：，
故答案为：．
连接，作，，证明≌，则，求得扇形的面积，则阴影部分的面积即可求得．
本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明≌，得到是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：延长到，使，
，
当，，三点共线时，的值最小，
根据题意，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧上，
圆外一点到圆上一点距离的最小值，
，
，
，
的最小值是，
故答案为：．
延长到，使，，当，，三点共线时，的值最小，根据题意，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧上，圆外一点到圆上一点距离的最小值，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了轴对称最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的找到点的位置是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，连接，
由图可得，
，，
，
平分，
，
，，
，
，，
∽，
，
，
，负值舍去，
，
故答案为：．
由图象可得，通过证明∽，可求的长，即可求解．
本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
17.【答案】解：，
由得：，
由得：，
所以这个不等式组的解集为．

【解析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．
此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确计算出两个不等式组的解集．
18.【答案】解：，
，
，，
，
平分，，，
，
由得：四边形是平行四边形，
．
【解析】先由锐角三角函数定义求出，然后由角平分线的性质得，最后由平行四边形的性质求解即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义、角平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握锐角三角函数定义，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：调查总人数：人，
参加“篮球”社团的人数为：人，
故答案为：，；
人，
答：该校名学生中，参加舞蹈社团的学生大约有人；
从男女共名学生中随机抽取名，所有等可能出现的结果如下：
第人第人 男 男 男 女 女
男 男男 男男 女男 女男
男 男男 男男 女男 女男
男 男男 男男 女男 女男
女 男女 男女 男女 女女
女 男女 男女 男女 女女
共有种等可能出现的结果，其中男女的共有种，
所以从男女中任意抽取名同学，其中是男女的概率为．
从统计表和扇形统计图可知，样本中选择“足球”社团的有人，占调查人数的，根据频率即可求出调查总人数，进而求出参加篮球社团的人数；
求出样本中“舞蹈”社团的学生人数占调查人数的百分比，即可估计总体中“舞蹈”社团的学生人数占调查人数的百分比，根据频率进行计算即可；
用列表法表示所有等可能出现的结果，再由概率的定义进行计算即可．
本题考查统计表、扇形统计图，列表法或树状图法，掌握频率以及用列表法表示所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
20.【答案】解：米，，，
米；
，
，
米，
，
张师傅的担心没有有必要的．
【解析】根据特殊角的三角函数值求出长，再利用的正切值可得树高，与进行比较，即可得出答案．
本题考查解直角三角形在实际生活中的应用，题目新颖，得到两个直角三角形的公共边的长度是解决本题的关键．
21.【答案】
【解析】解：设甲购买盒该种礼盒装喜饼，则乙购买盒该种礼盒装喜饼，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：甲购买盒该种礼盒装喜饼；
促销前该种礼盒装喜饼的单价为元盒，
促销时该种礼盒装喜饼的单价为元盒，
促销时甲购买该种礼盒装喜饼的数量为盒，
促销时乙购买该种礼盒装喜饼的数量为盒，
甲两次购买这种喜饼的平均单价是元盒，
乙两次购买这种喜饼的平均单价是元盒．
故答案为：，．
设甲购买盒该种礼盒装喜饼，则乙购买盒该种礼盒装喜饼，利用单价总价数量，结合该种礼盒装喜饼的单价不变，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
利用单价总价数量，可求出促销前该种礼盒装喜饼的单价，结合促销时单价比上次少了元盒，可求出促销时该种礼盒装喜饼的单价，利用数量总价单价，可求出促销时甲、乙购买该种礼盒装喜饼的数量，再利用平均单价总价之和两次购买数量之和，即可求出结论．
本题考查了分式方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，求出甲、乙两次购买这种喜饼的平均单价．
22.【答案】解：如图，点即为所求；
证明：都是直径，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
解：过点作于点．
，，，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】作交的延长线于点．
证明即可；
利用勾股定理求出，再利用面积法求出，利用勾股定理求出即可．
本题考查作图复杂作图，切线的判定，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】
【解析】解：是等腰直角三角形，
，
四边形是正方形，
，
，
故答案为：；
，理由如下：
如图，连接，，

在中，，
，
在正方形中，，
，
，
，
即，
∽，
，
即；
线段的长为或 ，
如图，当点在线段上时，
由知，，
在中，，，
，
，
由知，，
，
当线段的延长线时，如图，
由知，，
在中，，，
，
，
由知，，
，
当正方形旋转到、、三点共线时，的长为或．
根据是等腰直角三角形，得，再由正方形的性质即可得出结论；
连接，，根据和都是等腰直角三角形，可证明∽，然后根据线段比例得出结论即可；
分当点在线段上或点在线段的延长线两种情形，分别画出图形，利用勾股定理求得，再由得出的长度即可．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质等知识是解题的关键．
24.【答案】解：由直线与轴交于点，得，
又抛物线经过点且对称轴为直线，
则，由，得，
二次函数的解析式为．
如图，作于点，轴交直线于点．
设点，则；
当时，由得，，，
，；
由，得，
，
．
，
，
，
由，可得，
，
当时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为，此时
存在．
如图，由，得，又，
设直线的解析式为，则，解得，
，，
是等腰直角三角形．
若点在直线下方，当时，则，
，此时，
若点在直线上方，作点关于直线的对称点，连接，则是等腰直角三角形，
轴．
，
设直线的解析式为，则，
解得，
，当时，，
此时，．
综上所述，点的坐标为或．

【解析】先由直线求出点的坐标，再由点在抛物线上和抛物线的对称轴为直线列方程组求出、的值；
根据直线求出点的坐标，根据中求得的抛物线的解析式求出点的坐标，的面积等于的面积且为定值，设点的横坐标为，过点分别作轴、轴的垂线，用含的代数表示的面积，再根据二次函数的性质求出当的面积最大时的值，进而求出四边形面积的最大值及此时点的坐标；
通过计算，得出，可见当点在直线下方，则只要作出，则可通过求的解析式的方法求得点的坐标，再求的长，从而得到点的坐标；当点在直线的上方，作点关于直线的对称点，求直线的解析式，再求出另一点的坐标．
本题是二次函数综合题，考察了二次函数的图象与性质，还涉及利用函数的关系式表示点的坐标和线段长度的方法以及转化思想等，是一道好题．
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