黑龙江省齐齐哈尔市重点中学校2022-2023学年高二上学期期中数学试题（含答案）

2022-2023学年度上学期期中考试
高二数学
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知直线在轴与轴上的截距相等，则实数的值是（ ）
A. 1 B. C. 或1 D. 2或1
3. 若椭圆的一个焦点为，则的值为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4. 已知中心在原点，焦点在轴的双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5已知抛物线经过点，若点到准线的距离为3，则该抛物线的方程为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
6. 光线从点射到轴上，经反射以后经过点，则光线从到经过的路程为（ ）
A. B. C. D.
7. 直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A. 或 B. 或
C. D.
8. 设是双曲线的左焦点. 过点作轴的垂线交双曲线于、两点，点为双曲线的右顶点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则不可能使的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 点在圆上，点在圆上，则（ ）
A. 的最小值为3
B. 的最大值为7
C. 两个圆心所在的直线斜率为
D. 两个圆相交弦所在直线的方程为
11. 已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一点,的延长线交轴于点. 若为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 抛物线的准线方程为 B. 点的坐标为
C. D. 的面积为（为坐标原点）
12. 设分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的焦距是
C. 的离心率为 D. 的面积为
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 在长方体中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为__________.
14. 若直线与直线平行，则直线与之间的距离为__________.
15. 已知点，椭圆的右焦点为，若线段的中点恰好在椭圆上，则椭圆的长轴长为__________.
16. 已知是椭圆的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是__________.
四、解答题：
17. （本题10分）已知直线过点.
（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；
（2）若直线在两坐标轴的截距互为相反数，求直线的方程.
18. （本题12分）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，是的中点.
（1）求圆的方程；
（2）当时，求直线的方程.
19. （本题12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，分别为的中点.
（1）证明：平面
（2）若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.
20. （本题12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线交椭圆于两点，且为线段的中点，求直线的方程.
21. （本题12分）已知抛物线的焦点为，准线为，若点在上，过点作垂直于，交于，是边长为8的正三角形.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于两点，若，求直线的方程.
22. （本题12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围.
2022-2023学年度上学期期中考试
高二数学答案
出题人：关中标 审题人：孙丹丹
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D A C D C A D
二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 ABC ABC ACD ACD
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 14. 15. 4 16.
四、解答题：
17. （本题10分）
解：（1）因为直线与直线垂直所以，设直线的方程为，
因为直线过点，
所以，解得，
所以直线的方程为.
（2）当直线过原点时，斜率为，
由点斜式求得直线的方程是，即.
当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，
所以直线的方程是.
综上，所求直线的方程为或.
18. （本题12分）
解：（1）圆与直线相切，
所以到直线的距离，
故圆的方程为：.
（2）①当直线与轴垂直时，易知直线的方程为：，
此时，圆心到直线的距离为1，从而弦长，满足题意；
②当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为，即，
连接，则，
，所以，
从而，得，
故直线的方程：.
综上所述，直线的方程为：或.
19. （本题12分）.
解：（1）证明：取的中点，连接，
因为分别为的中点，所以，，
又底面为菱形，所以，，
所以，
所以四边形为平行四边形，所以.
又平面平面，所以平面.
（2）解：连接，因为平面，平面，
所以，
因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，
因为为的中点，所以，
因为，所以，所以两两垂直，
所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，
则.
设平面的法向量，则
，令，得.
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20. （本题12分）
解：（1）∵，又，
所以，
∴椭圆的标准方程为；
（2）设，则，
两式相减可得，
为线段的中点，则，
，
∴直线的方程为，整理得：.
21. （本题12分）
解：（1）由于，所以轴，
由于三角形是边长为8的等边三角形，
所以，所以，
所以抛物线的方程为.
（2）设直线，代入并化简得；
设，则.
因为，所以，
设，则，，解得.
所以直线方程为，
即或.
22. （本题12分）
解：（1），
又，即，解得：，
∴椭圆的标准方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，，
不妨设，则
当直线的斜率存在时，设，
由得，
恒成立，
故，
综上：，故的取值范围为.