课件26张PPT。1.1 命题及其关系
1.1.1 命题 第一章 常用逻辑用语引入1 “数学是思维的科学”
逻辑是研究思维形式和规律的科学.
逻辑用语是我们必不可少的工具.
通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻辑用语的用法,纠正出现的逻辑错误,体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性.引入2 初中已学过命题的知识，那么请大家
判断一下，下列句子是不是命题？
（1）任意数都可以被1整除.
（2）今天天气真好!
（3）两个正三角形相似.
下面让我们进入今天的学习分析 由上面的语句，我们可以知道，句子（1）（3）是陈述句，且能判断句子的对错（句子（1）的说法是错的，句子（3）的说法是正确的)，而句子（2）是感叹句.所以要想判断它们是否是命题，首先应知道命题有什么特点.1.理解命题的概念和命题的构成.（重点） 2.能判断给定陈述句是否为命题. 3.能判断命题的真假.（难点）4.能把命题改写成“若p,则q”的形式.（难点）探究点1 命题的概念
下列语句的表述形式有什么特点?你能判断它们的真假吗?
(1)若直线a∥b,则直线a和直线b无公共点;
(2)2+4=7;
(3)垂直于同一平面的两条不同直线平行;
(4)若x2=1,则x=1;
(5)2是质数;
(6)若m>0,则x2+x-m=0有实根.
以上均为陈述句,(1)(3)(5)(6)为真,(2)(4)为假.命题的概念
一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式
子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.
其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假
的语句叫做假命题. 例1 判断下列语句中哪些是命题？是真
命题还是假命题？
(1)空集是任何集合的子集;
(2)若整数a是素数，则a是奇数;
(3)指数函数是增函数吗？
(4)若空间中两条直线不相交，则这两条直
线平行;
(5) ;
(6)x>15.真命题真命题假命题假命题解:上面6个语句中，（3）不是陈述句，所以它
不是命题；（6）虽然是陈述句，但因为无法判断真假，所以它也不是命题；其余4个是命题，其中（1）（5）是真命题，（2）（4）是假命题.【变式练习】
下面的语句是什么语句，是命题吗？（1）7是23的约数吗?
（2）立正！
（3）画线段AB=CD;
（4）x>5. 无法确定真假的语句叫开语句.一般地，疑问句、祈使句、感叹句、开语句都不是命题，尤其是开语句，如例1第（6）题中含有变量的语句．【提升总结】 判断一个语句是不是命题，看它是否符合以下
两个条件： ①是陈述句 ②可以判断真假注意：例1中(2)若整数a是素数，则a是奇数;
(4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行
具有“若p,则q”的形式.本章中我们只讨论这种
形式.
其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.探究点2 命题的形式“若p, 则q” 的形式也可写成 “如果p,那么q” 的形式也可写成 “只要p,就有q” 的形式记作:例2 指出下列命题中的条件p和结论q;
(1)若整数a能被2整除,则a是偶数;
(2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分.探究点3 改写命题的形式
有一些命题表面上不是“若p,则q”的形式,
但可以改写成“若p,则q”的形式,例如:
平行于同一条直线的两条直线平行.
若两条直线平行于同一条直线,则这两条直线平行.例3 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假
（1）垂直于同一条直线的两个平面平行；
若两个平面垂直于同一直线，则这两个平面平行.
（2）两个全等三角形的面积相等；
若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等.
（3）3能被2整除
若一个数是3，则这个数能被2整除.真假真举一反三
将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假
（1）负数的立方是负数
若一个数是负数，则这个数的立方是负数.
（2）相似三角形全等
若两个三角形相似，则这两个三角形全等.
（3）能被2整除的整数是偶数
若一个整数能被2整除，则这个整数是偶数.真假真1.下列语句为真命题的是（ ）
A.a>b
B.四条边都相等的四边形为矩形
C.1+2=3
D.今天星期天C2.命题“对顶角相等”中的条件p,结论q分别
是（ ）
A. 条件p：两个角是相等的角
结论q：它们是对顶角
B. 条件p：两个角
结论q：对顶角相等
C. 条件p：若有两个角
结论q：它们相等
D. 条件p： 两个角是对顶角
结论q： 它们相等DC 4.判断命题“今天天气很好.”是否为命题，如果不是请说明理由.
解：不是.因为成为命题要满足两个条件：
a.是陈述句 b.可以判断真假.此命题虽然为陈述句，但无法判断真假，所以它不是命题.5.将命题“四条边都相等的四边形为菱形”化成“若p，则q”的形式.
解：若四边形的四条边都相等，则这个四边形为菱形.6.将命题“两条对角线不相等的平行
四边形不是矩形”转化成 “若p，则q”的
形式.
解：若一个平行四边形的两条对角线不
相等，则它不是矩形.7.判断下列命题的真假:
(1)能被6整除的整数一定能被3整除;
(2)在平面内，若一个四边形的四条边相等,则这个
四边形是菱形;
(3)二次函数的图象是一条抛物线;
(4)两个内角等于45°的三角形是等腰直角三
角形.真真真真8.把下列命题改写成“若p, 则q” 的形式,并判断
它们的真假:
(1)等腰三角形的两腰上的中线相等;
若三角形是等腰三角形，则这个三角形两腰上的中线
相等.这是真命题.
(2)偶函数的图象关于y轴对称;
若函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称.
这是真命题.
(3)垂直于同一个平面的两个平面平行.
若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行.
这是假命题. 这节课我们学习了:
(1)命题的概念;
(2)判断命题的真假;
(3)把有些命题改写成“若p,则q”的形式. 追赶时间的人，生活就会宠爱他；放弃时间的人，生活就会冷落他.课件22张PPT。1.1.2 四种命题 引入 请将命题“正弦函数是周期函数”
改写成“ ”的形式.命题：思考：上面四个命题中，命题（1）与命题（2）（3）（4）的条件和结论之间分别有什么关系？1.了解四种命题的概念．
2.认识四种命题的结构，会写某命题的逆命题、
否命题和逆否命题．
3.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的
关系．（重点）
4.会利用命题的等价性解决问题.（难点）探究 下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.（1）若f(x)是正弦函数， 则f(x)是周期函数；
（2）若f(x)是周期函数， 则f(x)是正弦函数；互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题.
原 命 题：其中一个命题叫做原命题.
逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题.即 原命题:若p,则q逆命题:若q,则p例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”.探究点1 观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间分别有什么关系？(1)若f(x)是正弦函数， 则f(x)是周期函数；
(3)若f(x)不是正弦函数， 则f(x)不是周期函数. 原命题:若p,则q 为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “┐p” “┐q”否命题:若┐p,则┐q互否命题 原命题 (原命题的)否命题例如，命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是“同位角不相等，两直线不平行”.探究点2 观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间分别有什么关系？(1)若f(x)是正弦函数， 则f(x)是周期函数；
(4)若f(x)不是周期函数， 则f(x)不是正弦函数. 原命题: 若p, 则q逆否命题: 若┐q, 则┐p 互为逆否命题 原命题 (原命题的)逆否命题例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是“两直线不平行，同位角不相等”.探究点3 观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分别有什么关系？三个概念
1.互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
2.互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题.3.互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的
条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的
否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做
原命题的逆否命题. 判断下面两个命题的真假:
(1)若原命题是“对顶角相等”,
它的否命题是“对顶角不相等”.
(2)若原命题是“对顶角相等”,
它的否命题是“不成对顶关系的
两个角不相等”.判一判：假命题真命题比一比：否命题与命题的否定否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题.
命题的否定是,只否定结论不否定条件.
对于原命题: 若 p , 则 q
否命题: 若┐p , 则┐q .
命题的否定: 若 p ，则┐q .例 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否
命题.
(1)若k>0,则方程x2+2x-k=0有实根;
逆命题:若方程x2+2x-k=0有实根,则k>0.
否命题:若k≤ 0,则方程x2+2x-k=0没有实根.
逆否命题:若方程x2+2x-k=0没有实根,则k≤0.(2)四条边都相等的四边形是正方形.
原命题改写为:若四边形的四条边都相等,则它是正方形.
逆命题:若四边形是正方形,则它的四条边都相等.
否命题:若四边形的四条边不都相等,则它不是正方形.
逆否命题:若四边形不是正方形,则它的四条边不全相等.原命题:
若p,则q【提升总结】
如何写出原命题的逆命题、否命题及逆否命题？
1.找出原命题的条件p和结论q;
2.将原命题改写成“若p,则q”的形式；练一练：写出下列四组命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断四种命题的真假.真真真真真真假假真真假假假假假假准确地作出反设(即否定)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式. ?不是不都是不大于大于或等于一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个存在某x，
不成立存在某x，
成立1.判断下列说法是否正确：
(1)一个命题的逆命题为真，它的逆否命题
不一定为真.
(2)一个命题的否命题为真，它的逆命题
一定为真.正确正确2.如果一个命题的逆命题为假命题，则它的否命
题（ ）
A. 一定是假命题 B. 不一定是假命题
C. 一定是真命题 D. 有可能是真命题
3.判断命题“若x- 不是有理数，则x不是无理数”
的真假.
逆否命题：若x是无理数，则x- 是有理数.
“假命题”A通过这节课的学习，你学到了哪些知识呢？
四种命题的概念及其形式：
原命题： 若p,则q.
逆命题：若q,则p.
否命题：若?p,则?q.
逆否命题：若?q,则?p. 看书和学习是思想的经常营养，是思想的无穷发展.课件26张PPT。1.1.3 四种命题间的相互关系 路边苦李小故事
古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动.他说：“李子是苦的,我不吃.”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃.小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的啊?”王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,李子早就没了！李子现在还那么多,所以啊,肯定李子是苦的，不好吃!”下面让我们进入今天的学习1.明确四种命题的相互关系.（重点）
2.能够判断四种命题的真假.（难点）
3.利用互为逆否命题同真假完成间接证明命题的成立.四种命题形式:
原命题:
逆命题:
否命题:
逆否命题:若 p , 则 q
若 q , 则 p
若┐p , 则┐q
若┐q , 则┐p符号“￢”叫做否定符号．“￢p”读作“非p”，表示p的否定，即不是p探究点1 四种命题之间的关系四种命题形式: 原命题,逆命题,否命题,逆否命题观察与思考？你能说出其中任意两个命题之间的关系吗?
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.四种命题之间的关系原命题
若p,则q逆命题
若q,则p否命题
若﹁p,则﹁q逆否命题
若﹁q,则﹁p互逆互否互否互逆互为 逆否互为 逆否(真)探究点2 四种命题的真假
看下面的例子：（判断真假）
（1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0.
逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3.
否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0.
逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3.(真)(真)(真)（2）原命题：若a > b, 则 ac2>bc2.
逆命题：若ac2>bc2,则a>b.
否命题：若a≤b,则ac2≤bc2.
逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b.（假）（真）（真）（假） 一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况:比一比【提升总结】
（1）原命题为真，则其逆否命题一定为真.
但其逆命题、否命题不一定为真.
（2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真.
但原命题、其逆否命题不一定为真.
由以上三例及总结我们能发现什么？
解：原命题与其逆否命题同真假.
原命题的逆命题与否命题同真假.
(两个命题为互逆命题或互否命题,
它们的真假性没有关系).判一判1.判断下列说法是否正确.（1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定
为真；（对）（2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.（对）（3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假.（错）（4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假.（错） 例1 设原命题是：当c>0时，若a>b,则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题.并分别判断它们的真假.
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该
保留.
原命题的条件是“a>b”，结论是“ac>bc”.
解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b.
否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc.
逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.（真）（真）（真）例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0.写出其逆命题、
否命题、逆否命题，并分别指出其真假.
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的否定为“或” “且”.
解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0.
否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0.
逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
（真）（真）（假）小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假.因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命题真假等价.【提升总结】因为原命题和它的逆否命题有相同的 真假性，所以当直接证明某一命题为真命题有困难 时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来 间接证明原命题为真命题.例3 证明：若x2+y2=0，则x=y=0.证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则x2＞0，所以x2+y2 ＞0， 也就是说x2+y2 ≠0. 因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题. 在数学的证明中，我们会常常用到一种
方法——反证法. 反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾
来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种
数学证明方法.此处是命题的否定，要区别于否命题.反证法的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立 , 即假设结论的反面成立;
（2）从这个假设出发 , 经过推理论证, 得出矛盾;
（3）由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定
命题的结论正确.
反设1.设原命题：若a+b≥2，则a,b中至少有一
个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况
是（ ）
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题A2.命题“若a＞b,则ac＞bc”(这里a,b,c
都是实数)与它的逆命题，否命题、逆否命题
中，真命题的个数为（ ）
A．4 B．3
C．2 D．0D3.命题“ 若△ABC不是等腰三角形，则它的任
何两个内角都不相等”的逆否命题是
________________________________________.
它是 命题（“真”或“假”）.真若△ABC的两个内角相等，则它是等腰三角形4. 命题“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的
逆否命题是__ _______________ _ .
逆命题是_____________________ __ ，
它是 命题（“ 真 ”或“ 假 ” ）.若x2+2x+q =0 无实根，则q>1若x2+2x+q=0有实根，则q≤1真5.命题“已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0．”写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假． 解：逆命题“已知a，b为实数，若a2－4b≥0，
则x2＋ax＋b≤0有非空解集”.
否命题“已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0
没有非空解集，则a2－4b＜0”.
逆否命题“已知a，b为实数，若a2－4b＜0，
则x2＋ax＋b≤0没有非空解集”.
原命题，逆命题，否命题，逆否命题均为
真命题．6.求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等. 证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形的两条腰，也就是说两条边相等.
这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题是真命题，所以原命题也是真命题.
（1）四种命题的关系；
（2）四种命题的真假及其关系；
（3）一种方法——反证法.青年最主要的任务是学习.
朱德
