课件20张PPT。2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程第二章 圆锥曲线与方程 下图为卫星绕月球飞行示意图，据图回答下面问题：假若卫星在某一时间内飞行轨迹上任意一点到月球球心和月球表面上一定点的距离之和近似等于定值2a，视月球为球体，半径为R，你能写出一个轨迹的方程吗？1.理解曲线与方程的概念、意义.（重点、难点）
2.了解数与形结合的基本思想.（难点）探究点1 曲线的方程与方程的曲线
问题1：在直角坐标系中，平分第一、三象限的直线和方程x-y=0有什么关系？(1)在直线上任找一点 则
是方程x-y=0的解；
(2)如果 的解，那么图象上的点M与此方程 ，有什么关系？（1）圆上任一点 的解.按某种规律运动几何对象点曲线C坐标（x,y）方程f(x,y)=0 通过探究可知，在直角坐标系建立以后，平面内的点与数对（x,y）建立了一一对应关系.点的运动形成曲线C，与之对应的实数对的变化就形成了方程f(x,y)=0.曲线的方程与方程的曲线
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 由曲线的方程的定义可知，如果曲线C的方程为
f(x,y)=0,那么点 在曲线C上的充分必要
条件是问题3:曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解，
能否说f(x,y)=0是曲线C的方程？ 解：不能，还要验证以方程f(x,y)=0的解为坐标的点是不是都在曲线上,如,以原点为圆心，以2为半径的圆上半部分和方程【提升总结】问题4：曲线的方程与方程的曲线有什么区别？ 曲线的方程与方程的曲线是两个不同的概念，“曲线的方程”强调的是图形所满足的数量关系；而“方程的曲线”强调的是数量关系所表示的图形.两者通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系，使方程成为曲线（几何图形）的代数表示，从而将研究曲线的性质转化到讨论相应方程的问题上. 例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k .证明：（1）设 是轨迹上的任意一点.
因为点M与x轴的距离为 ，与y轴的距离为 ，
所以即 而 正是点M1到纵轴、横轴的距离，因
此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是
曲线上的点.
由(1)(2)可知, 是与两条坐标轴的距离的
积为常数k(k>0)的点的轨迹方程.
C例2 方程x2＋y2＝1(xy<0)的曲线形状是 ( )解析：选C.方程x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，而约束条件xy<0则表明单位圆上点的横、
纵坐标异号，即单位圆位于第二或第四象限的部分．
故选C.
解析：选C.由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，
即x＝0或x＋y－1＝0.
由此知方程x2＋xy＝x表示两条直线．
故选C.【变式练习】
方程x2＋xy＝x表示的曲线是( )
A．一个点 B．一条直线
C．两条直线 D．一个点和一条直线C1.若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0
的解”是正确的，则下列命题为真命题的是( )
A．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)＝0
B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点均在曲线C上
C．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线
D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲线C上的点[思路探索] 从定义入手，考查定义中的两个条件．D2.下面四组方程表示同一条曲线的一组是( )
A．y2＝x 与 y＝
B．y＝lg x2 与 y＝2lg x
C. ＝1 与 lg (y＋1)＝lg (x－2)
D．x2＋y2＝1 与 |y|＝解析：选D.主要考虑x与y的范围.D3.方程y＝ 所表示的曲线是______．答案：以(1，0)为端点的两条射线4.已知曲线C的方程为x＝ ，说明曲线C是什
么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．解：由x＝ ，得x2＋y2＝4，又x≥0，
所以方程x＝ 表示的曲线是以原点为圆心，
2为半径的右半圆,
从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，
其面积S＝ π·4＝2π.
所以所求图形的面积为2π. 在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程，当说某方程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时就意味着具备上述两个条件，只有具备上述两个方面的要求，才能将曲线的研究化为方程的研究,几何问题化为代数问题，以数助形正是解析几何的思想，本节课正是这一思想的基础. 所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道；所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道.课件25张PPT。2.1.2 求曲线的方程 “天宫一号”运行要经过两次轨道控制，从入轨时的椭圆轨道进入近圆轨道. 在这里我们必须要知道“天宫一号”运行的轨道（轨迹），那么科学家们是如何进行计算的呢？接下来我们就来探究一下轨迹方程的求法.1.理解坐标法的作用及意义.
2.掌握求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件，选择适当坐标系.（重点、难点）探究 求曲线的方程的步骤 上一节，我们已经学习了曲线的方程与方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x, y）所满足的方程f(x, y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质. 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.问题1：解析几何与坐标法.问题2：平面解析几何研究的两个基本问题.（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质.【例1】设A,B两点的坐标分别是(－1,－1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程.解析：设点M(x,y)是线段AB的垂直平分
线上的任意一点，也就是点M属于集合由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为上式两边平方，并整理得
x+2y－7=0. ①我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解；
（2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即
x1+2y1－7=0,
x1=7－2y1.
点M1到A，B的距离分别是即点M在线段AB的垂直平分线上.
由(1)、(2)可知,方程①是线段AB的垂直平分线的方程. 由上述例子可以看出，求曲线的方程，一般有下面几个步骤：
(1)建系设动点：建立适当的坐标系,用有序实数对（x,y）表示所求曲线上任意一点M的坐标；（求谁设谁）
(2)列几何条件:写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)};
(3)坐标代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明. 另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程.(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；
(5)证明:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.【例2】已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.分析：在建立坐标系时，一般应当充分
利用已知条件中的定点、定直线等，
这样可以使问题中的几何特征得到更好的表示，从而使曲线方程的形式简单一些.解：如图，取直线l为x轴,过点F且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy. 设点M(x,y)是曲线上任意一点，作MB⊥x轴，垂足为B，那么点M属于集合 由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为① 将①式移项后两边平方，得化简得 因为曲线在x轴的上方，所以y>0.虽然原点O的坐标（0,0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是 通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的点应适合的条件列出等式，是求曲线方程的重要环节，严格按步骤解题是基本能力.【提升总结】【变式练习】【提升总结】建立适当坐标系的基本原则:（1）定点、定线段常选在坐标轴上;(2）原点有时选在定点;（3）充分利用对称性，坐标轴可选为对称轴.另外注意：坐标系不同虽曲线形状一样其方程却不同；要注意选择几何图形与坐标系的适当相对位置，以简化方程形式.1.圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A(-2,0)，B(-4,0),则圆C的方程为_______.
答案：(x+3)2+(y-2)2=52.在△ABC中，B，C 坐标分别为（-3，0），
（3，0），且三角形周长为16，则点A的轨迹方
程是_______________________________.3.在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关
于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之
积等于－ .求动点P的轨迹方程.解析：因为点B与点A(－1,1)关于原点对称，得B点坐标为(1，－1)．1.本节学习了一种方法--直接法求曲线方程;2.直接法求曲线方程五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为含动点坐标的代数方程的过程.(因此求曲线方程时要注意挖掘题中形成曲线的等量关系);3.求曲线方程时,五个步骤不一定要全部实施.如第二步、第五步；4.注意:(1)建系要适当；
(2)化简变形要考查等价与否(即考察曲线的完备性和纯粹性). 时间是最公开合理的，它从不多给谁一份，勤劳者能叫时间留给串串的果实，懒惰者时间给予他们一头白发，两手空空.
