课件23张PPT。2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程 悲伤的双曲线
如果我是双曲线，你就是那渐近线
如果我是反比例函数，你就是那坐标轴
虽然我们有缘，能够生在同一个平面
然而我们又无缘，漫漫长路无交点
为何看不见，等式成立要条件
难道正如书上说的，无限接近不能达到
为何看不见，明月也有阴晴圆缺
此事古难全，但愿千里共婵娟生活中的双曲线法拉利主题公园巴西利亚大教堂麦克唐奈天文馆1.记住双曲线的定义，会推导双曲线的标准
方程.（重点）
2.会用待定系数法确定双曲线的方程.（难点）探究点1 双曲线的定义问题1：椭圆的定义？ 平面内与两个定点F1，F2的距
离的和等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.问题2：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？
即“平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于非零常数的点的轨迹 ”是什么？①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|②如图(B)，|MF2|-|MF1|=2a，由①②可得： ||MF1|-|MF2||=2a（非零常数）. 上面两条曲线合起来叫做
双曲线,每一条叫做双曲线
的一支.看图分析动点M满足的条件：=2a.即|MF1|-|MF2|=-2a.图图① 两个定点F1，F2——双曲线的焦点;②|F1F2|=2c——双曲线的焦距.（1）2a<2c；oF2F1M 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.（2）2a>0.双曲线定义||MF1|-|MF2||=2a ( 0<2a<2c) 注意1.定义中为什么要强调差的绝对值？【举一反三】若不加绝对值，则曲线为双曲线的一支.2.定义中的常数2a可否为0，2a=2c,2a>2c？不能.若为0，曲线就是F1F2的垂直平分线了；若为2a=2c,曲线应为两条射线；若为2a>2c,这样的曲线不存在.探究点2 双曲线的标准方程1. 建系. 如图建立直角坐标系xOy，使x轴经过两焦点F1，F2，y轴为线段F1F2的垂直平分线. 设M(x , y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距为2c(c>0),则F1(-c,0),F2(c,0)，又设点M与F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a.2. 设点.3.列式由定义可知，双曲线就是集合： P= {M |||MF1 | - | MF2|| = 2a }, 4.化简代数式化简得：由双曲线的定义知，2c>2a>0,即c>a,故c2-a2>0,令c2-a2=b2,其中b>0,代入上式，得： 上面方程是双曲线的方程,我们把它叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在x轴上，焦点分别是F1(-c,0),F2(c,0)的双曲线，这里c2=a2+b2.想一想：焦点在y轴上的双曲线的标准方程应该是什么？我们应该如何求解？F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2||MF1|－|MF2||=2a,0<2a<|F1F2| |MF1|+|MF2|=2a，2a>|F1F2| F（0，±c）F（0，±c）【提升总结】解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为因为2a=6,2c=10,所以a=3,c=5,所以因此，双曲线的标准方程为例2 已知A,B两地相距800 m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s,且声速为340 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.分析:首先根据题意,判断轨迹的形状.由声速及A，B两处听到爆炸声的时间差,可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值. 这样，爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上.解: 如图所示，建立直角坐标系xOy,使A，B两点在x轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合.PBA设爆炸点P的坐标为(x,y)，则即 2a=680，a=340.又所以 2c=800,c=400,因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为【举一反三】1.若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么?
解: 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.2.根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢?
解:再增设一个观测点C，利用B，C（或A，C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.1．已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足
|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹
为( )
A．双曲线和一直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线
D．双曲线的一支和一条直线2.若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在y轴上的
双曲线，则k? .(-1, 1)， ， ， ， 1.双曲线定义及标准方程；4.双曲线与椭圆之间的区别与联系.2.双曲线焦点位置的确定方法；3.求双曲线标准方程的关键（定位，定量）； 如果我们投一辈子石块，即使闭着眼睛，也肯定有一次击中成功.课件20张PPT。2.3.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质 我们知道，电能是现代生活不可缺少的能源，
目前我国主要靠火力发电，而火力发电主要是在
火力发电厂中进行，火力发电厂简称“火电厂”，
其形状就像照片中“粗烟囱”.那么这些“粗烟囱”
是怎样建成的呢？冷却通风塔如果你是设计师你将如何设计？1.会熟练画出一些简单双曲线的图象，并认真观察
其图象有何几何特征.(重点)
2.会类比椭圆几何性质的研究方法，自己尝试获取
双曲线的简单几何性质，并能初步应用.（难点）探究点1 双曲线的简单几何性质回忆一下双曲线的标准方程： 如果我们也按照椭圆的几何性质的研究方法来研究双曲线，那么双曲线将会具有什么样的几何性质呢？1.范围(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)2.对称性 以-x代x方程不变，故图象关于 轴对称；以-y代y方程不变，故图象关于 轴对称；以-x代x且以-y代y方程不变，故图象关于 对称yx原点3.顶点（1）令y=0，得x=±a,则双曲线与x轴的两个交点为
A1(-a,0),A2(a,0)，我们把这两个点叫双曲线的顶点;
令x=0,得y2=-b2,这个方程没有实数根，说明双曲线与y轴没有交点，但我们也把B1(0,-b),B2(0,b)画在y轴上.（2）如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a
叫做双曲线的半实轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的半虚轴长.F2F1ab4.渐近线 下面我们证明双曲线上的点在沿曲线向远处运动时，与直线逐渐靠拢.方案2：考查同横坐标的两点间的距离 .方案1：考查点到直线的距离 .yB2A1A2 B1 xOb aM NQ 由双曲线的对称性知，我们只需证明第一象限的部分即可.XMYOQN(x,y)(x,Y)注：渐近线是双曲线特有的几何性质，它决定着双曲线张口的开阔与否.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.5.离心率：思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？ 因此，e越大，渐近线斜率越大，倾斜角越大，张角越大，张口越开阔，e越小，渐近线斜率越小，倾斜角越小，张角越小，张口越扁狭. 所以双曲线的离心率是反应双曲线开口大小的几何量.或或关于坐标
轴和
原点
都对
称性质双曲线范围对称
性 顶点 渐近
线离心
率图象【提升总结】双曲线的简单几何性质.xyxy【例１】求双曲线9y2-16x2=144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．解：把方程9y2-16x2=144化为标准方程由此可知，半实轴长a=4,半虚轴长b=3;焦点坐标是(0,-5),(0,5);1.(2014·广东高考)若实数k满足0与曲线 的（ ）
A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等【解析】选D.因为0 都表示焦点在x轴上的双曲线，且16≠16-k,
5-k ≠5,但a2+b2=21-k，故两双曲线的焦距相等.2．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是 ( )
A．y＝±3x B．y＝± x
C．y＝± x D．y＝± xC3．与双曲线 有共同的渐近线，且过点
(2，2)的双曲线的标准方程是 ．4．求中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点
P(1，3)，离心率为 的双曲线的标准方程．
解析：因为离心率为 ，
所以e2
即a＝b，
所以双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准 方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
又点P(1，3)在双曲线上，则λ＝1－9＝－8，
所以所求双曲线的标准方程为或或关于坐标
轴和
原点
都对
称性质双曲线范围对称
性 顶点 渐近
线离心
率图象xyxy 人的才华就如海绵的水，没有外力的挤压，它是绝对流不出来的.流出来后，海绵才能吸收新的源泉.课件20张PPT。第2课时 双曲线方程及性质的应用 或或关于坐标
轴和
原点
都对
称性质双曲线范围对称
性 顶点 渐近
线离心
率图象xyxy1.了解双曲线的几何性质，并会应用于实际问
题之中.（重点）
2.会利用双曲线的定义、标准方程、几何性质
及图形四者之间的内在联系，分析和解决实
际问题.（重点、难点）探究点1 由双曲线的性质求双曲线方程已知双曲线的几何性质，求其标准方程的方法步骤：
(1)确定焦点所在的位置，以确定双曲线方程的形式；
(2)确立关于a,b,c的方程(组)，求出参数a,b,c；
(3)写出标准方程．【提升总结】解：【例2】点M（x，y）与定点F（5，0）的距离和它到定
直线 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹.xy..FOM.双曲线中应注意的几个问题：
(1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线；
(2)双曲线的两条渐近线是区别于其他圆锥曲线所特有的；
(3)双曲线只有两个顶点，离心率e>1；
(5)注意双曲线中a，b，c，e的等量关系与椭圆中a，b，c，e的不同．【提升总结】种类: 相离; 相切; 相交(一个交点, 两个交点)探究点2 直线与双曲线的位置关系1.位置关系：相交、相切、相离
2.判别方法(代数法)
联立直线与双曲线的方程，
消元得到一元二次方程（当二次项系数不为0时）
(1)△>0?直线与双曲线相交?有两个公共点；
(2)△=0 ?直线与双曲线相切?有且只有一个
公共点；
(3)△<0 ?直线与双曲线相离?无公共点．通法【提升总结】直线与双曲线的位置关系：解：由双曲线的方程得，两焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0). 因为直线AB的倾斜角是30°，且直线经过右焦点F2，所以，直线AB的方程为【提升总结】这里我们也可以利用弦长公式求解.弦长公式：或算一算，看结果一样吗？【变式练习】解析：因为F1的坐标是(-3,0),所以92．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，点
F1是另一个焦点，若∠PF1Q＝90°，则双曲线的离
心率等于________．C4．求一条渐近线方程是3x＋4y＝0，一个焦点是(4,0)的双曲线标准方程．
解析：因为双曲线的一条渐近线方程为3x＋4y＝0，1.双曲线的简单几何性质，利用性质求方程，解决与性质相关的综合性问题；
2.掌握直线与双曲线的位置关系及弦长公式. 泪水和汗水的化学成分相似，但前者只能为你换来同情，后者却可以为你赢得成功.
