课件34张PPT。第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算 ⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量． 几何表示法：用有向线段表示.字母表示法：用字母a,b等或者用有向线段
的起点与终点字母 表示．相等的向量： 长度相等且方向相同的向量． 引入 复习平面向量⑴向量的加法：平行四边形法则三角形法则(首尾相连)⒉平面向量的加减法运算⑵向量的减法三角形法则 减向量终点指向被减向量终点看下面建筑 这个建筑钢架中有很多向量，但它们有些并不在同一平面内——这就是我们今天要学习的空间向量.1. 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.
2. 了解空间向量的概念.
3. 掌握空间向量的加减运算. （重点） 1. 空间向量
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（space vector ）.
向量的大小叫做向量的长度或模 (modulus).探究点1 概念2. 空间向量的表示 （1）我们规定，长度为0的向量叫做零向量
（zero vector），记为 .当有向线段的起点A与
终点B重合时，AB= .
（2）模为1的向量称为单位向量（unit
vector）.
（3）两个向量不能比较大小，因为决定向量
的两个因素是大小和方向，其中方向不能比较大
小.提升总结 3. 相反向量
与向量 长度相等而方向相反的向量,
称为 的相反向量，记为 – .
4. 相等向量（equal vector）
方向相同且模相等的向量称为相等向量. （1）空间的一个平移就是一个向量.
（2）向量一般用有向线段表示,同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 .
（3）空间的两个向量可用同一平面内的
两条有向线段来表示. 提升总结 结论：空间任意两个向量都是共面向量，
所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示.1. 空间向量的加减运算
由于任意两个空间向量都能平移到同一空间，所以空间向量的加减运算与平面向量的加减运算相同.探究点2 空间向量的加减运算a-ba+baboABC加法: OB=OA+AB=a+b，
减法：CA=OA-OC=a-b.2. 空间向量的加法运算律
（1）加法交换律
a + b = b + a
（2）加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c) 你能证明下列性质吗？证明加法交换律:aa+baboABCb因为 OA = CB = a，
AB = OC = b，
所以 a + b = b + a.证明加法结合律:因为 OC=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c,
OC=OA+AC=OA+(AB+BC)=a+(b+c),
所以 (a + b) + c = a + (b + c). (1)空间向量的运算就是平面向量运算的推广.
(2)两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立.
(3)空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加.3.对空间向量的加减法的说明4.扩展 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由
起始向量的起点指向末尾向量的终点的量．
即： （2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：例 已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量.解:..提升总结
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的体对角线所表示的向量.1.给出以下命题：
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同.
（2）若空间向量 满足 ，则 .
（3）在正方体 中，必有 .
（4）若空间向量 满足 ，
则 .
（5）空间中任意两个单位向量必相等.
其中不正确命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4C②③答案：②③D提升总结
1.两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．
2.熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满足的运算法则及运算律是解决好这类问题的关键．一、回顾本节课你有什么收获？1.空间向量的概念.
在空间，具有大小和方向的量.
2.空间向量的加减运算.
空间向量的加减运算应用三角形法则和平行四边形法则.3.空间向量的加法符合交换律，结合律.
4.平面向量与空间向量.
空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们. 字母表示法 向量的大小平面向量空间向量具有大小和方向的量在空间，具有大小和方向的量 几何表示法几何表示法字母表示法 向量的大小二、空间向量的基本概念平面向量空间向量 长度为零的向量 长度为零的向量模为1的向量模为1的向量长度相等且方向
相反的向量长度相等且方向
相反的向量方向相同且模相等的向量方向相同且模相等的向量加法:三角形法则或
平行四边形法则减法:三角形法则加法交换律加法结合律三、空间向量的加法、减法运算 生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行.课件25张PPT。3.1.2 空间向量的数乘运算 加法交换律加法:三角形法则或
平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律 注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的. 上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运算扩展
到了空间. 我们知道平面向量还有数乘运算.
类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其
运算律是否也与平面向量完全相同呢?1.空间向量的数乘运算.(重点)
2.共线向量及共面向量的应用.(重点、难点)
3.向量的共面、共线与直线的位置关系． 观察下列各个集合,你能说出集合C与集合A,B之间的关系吗?(1) A={1,3,5}, B={2,4,6} ,C={1,2,3,4,5,6}.(2) A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},
C={x|x是实数}.集合C是由所有属于集合A和集合B的元素组成的.例如: 显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或
重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量. 若P为A,B中点, 则①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一决定.
由此可判断空间任意三点是否共线.lABPO探究点2 共面向量共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面，也可能不共面.由平面向量基本定理知，如果 ，
是平面内的两个不共线的向量，那么
对于这一平面内的任意向量 ，有且
只有一对实数 ， 使 那么什么情况下三个向量共面呢？空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y)使C或对空间任一点O,有C③ 式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量惟一确定.③OP与A,B,C共面例1.若对任一点O和不共线的三点A，B，C，有 则x+y+z=1
是四点P，A，B，C共面的 （ ）A.必要不充分条件C.充要条件B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件C OBAHGFECD证明1．下列命题中正确的个数是( )
①若 与 共线， 与 共线，则 与 共线；
②向量 , , 共面即它们所在的直线共面；
③若 ∥ ，则存在惟一的实数λ，使 ＝λ .
A．1 B．2
C．3 D．0DC3.下列说法正确的是（ ） A.在平面内共线的向量在空间不一定共线
B.在空间共线的向量在平面内不一定共线
C.在平面内共线的向量在空间一定不共线
D.在空间共线的向量在平面内一定共线1.空间向量的数乘运算.
2.共线向量的概念.
3.直线l的方向向量.
4.共面向量的概念. 天才是不足恃的，聪明是不可靠的，要想顺手拣来的伟大科学发明是不可想象的.课件21张PPT。3.1.3 空间向量的数量积运算 W= |F| |s| cos? 根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度的问题.1．了解空间向量夹角的概念及表示方法.
2．掌握空间向量数量积的计算方法及应用.（重点）
3．能将立体几何问题转化为向量运算问题．（难点）注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
②规定:零向量与任意向量的数量积都等于零.A1B1BA注：性质①是证明两向量垂直的依据；
性质②是求向量的长度（模）的依据.注：
向量的数量积运算类似于多项式运算,平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立.例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！逆命题成立吗?分析：要证明一条直线与一个平面
垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.mn 取已知平面内的任一条直线g,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系?DD6．如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC夹角的余弦值．
通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：
1.证明两直线垂直.
2.求两点之间的距离或线段长度.
3.证明线面垂直.
4.求两直线所成角的余弦值等.
为了不让生活留下遗憾和后悔，我们应该尽可能抓住一切改变生活的机会.课件20张PPT。3.1.4 空间向量的正交分解
及其坐标表示 共线向量定理:共面向量定理:平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决
一些几何问题.（重点）
2.用基底表示已知向量.(难点)
3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.
4.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系
中写出向量的坐标. ACBC(1,1，－1)(－1,0,1)1.选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求.
2.求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式,就近表示所需向量,再对照目标进行调整,直到符合要求. 每一个成功者都有一个开始.勇于开始，才能找到成功的路.课件22张PPT。3.1.5 空间向量运算的
坐标表示 由平面向量的坐标运算，推广到空间向量运算. 向量 a 在平面上可用有序实数对（x,y）
表示，在空间则用有序实数组{x,y,z}表示. 平面向量运算的坐标表示：空间向量运算的坐标表示又是怎样的呢 ?类比是我们探究规律的重要方法1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单
几何体的顶点坐标.
2．掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个
向量的共线或垂直.（重点）
3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离
公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．
（难点）探究点1 空间向量运算的坐标表示1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度.探究点2 距离与夹角设 =(a1,a2,a3), =(b1,b2,b3).在空间直角坐标系中，已知 、
，则（2）空间两点间的距离公式2.两个向量夹角公式注意：
（1）当 时， 同向.
（2）当 时， 反向.
（3）当 时， .思考：当 及
时，夹角在什么范围内？解：设正方体的棱长为1，如图建
立空间直角坐标系 ，则例2 如图, 在正方体 中，
，求 与 所成的角的余弦值. 347、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
(1)求证：EF⊥CF.
(2)求CE的长．1.基本知识：（1）向量的长度公式与两点间的距离公式.（2）两个向量的夹角公式. 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题
时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐
标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或
证明.平面向量的坐标表示空间向量的坐标表示 拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力.
