课件34张PPT。课程目标设置主题探究导学典型例题精析一、选择题(每题5分，共15分)
1.要证明 ，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )
(A)综合法 (B)分析法
(C)演绎推理 (D)归纳法
【解析】选B.由于不等式的结构特点，用综合法去证思路不好找，因此宜用分析法去寻求解题思路.知能巩固提升2.分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a+b+c=0，求证 ，欲索的因应是( )
(A)a-b>0
(B)a-c>0
(C)(a-b)(a-c)>0
(D)(a-b)(a-c)<0 【解题提示】要想找到“因”，就得从“果”入手，在化简的过程中将b=-a-c代入得a,c关系式，再利用b=-a-c代换b，即可.
【解析】选C.要证
只需证b2-ac<3a2
因为a+b+c=0,
所以只需证(-a-c)2-ac<3a2，
即证2a2-c2-ac>0，
即证(a-c)(2a+c)>0，
即证(a-c)(a-b)>0.3.(2010·宜春高二检测)已知a>b,c>d,则下列不等式中恒成立的是 ( )
(A)a+d＞b+c
(B)ac＞bd
(C)
(D)d-a＜c-b
【解析】选D.由于a、b、c、d符号不确定，因此其积、商的大小无法确定，故B、C不正确，选项A应为a+c＞b+d而不是a+d＞b+c，故A也不正确，选项D中d-a＜c-b即a+c＞b+d，因此D正确.二、填空题(每题5分，共10分)
4.设a= -1,b= - ,c= - ,则a,b,c的大小关系
是______.
【解析】
答案：a>c>b5.若a= ,b= ,c= ,则a,b,c的大小关系为________.
【解析】只需先比较 与 的大小,即比较3ln2与2ln3的大小.
∵ln8
∴3ln2<2ln3,
∴ < ,即a再比较 与 的大小,即比较5ln2与2ln5的大小.
∵5ln2=ln32>ln25=2ln5.
∴ > ,
即a>c,综上,c答案：c
【证明】7.(2010马鞍山高二检测)已知x＞0，y＞0.用分析法证明：(x2+y2) ＞(x3+y3) .
【证明】∵x＞0，y＞0.∴要证(x2+y2) ＞(x3+y3) ,
只要证(x2+y2)3＞(x3+y3)2,
即证3x2+3y2＞2xy(*),
∵3x2+3y2-2xy=2(x2+y2)+(x-y)2＞0,
∴(*)成立.故原不等式成立.1.(5分)已知a,b,μ∈｛正实数｝且 =1,则使得a+b≥μ恒成立的μ的取值范围是( )
(A)(-∞,16］ (B)(-∞,10］
(C)(0,16］ (D)［10,16］
【解析】选C.∵a,b∈｛正实数｝且 =1,
∴a+b=(a+b)( )=10+( )≥10+2 =16.
∴a+b的最小值为16.∴要使a+b≥μ恒成立,需16≥μ.
又μ∈{正实数}，∴0<μ≤16.2.(5分)a>b>c,n∈N+,且 ≥ 恒成立,则n的最大值为__________.
【解题提示】要求出n的最大值，只需求出( )·(a-c)的最小值即可.【解析】
答案:43.(5分)为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统(Private Key Gryptosystem),其加密、解密原理如下图：
现在加密密钥为y=loga(x+2)，如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”.问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文为_____.【解析】要想解密，则只需获其加密原理即密文与明文的对应关系即可，则有3=loga(6+2),故a=2,
因此4=log2(x+2),得x=24-2=14,
即解密后得明文为14.
答案：14【证明】3.4 反证法
学习目标
1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；
2. 了解反证法的思考过程、特点;
3. 会用反证法证明问题.
学习过程
一、课前准备
复习1：直接证明的两种方法: 和 ;
复习2： 是间接证明的一种基本方法.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：反证法
问题 (1)：将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?
问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?
新知：一般地，假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 .这种证明方法叫 .
试试：
证明：不可能成等差数列.
反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立
方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
※ 典型例题
例1 已知,证明的方程有且只有一个根.
变式：证明在中,若是直角,那么一定是锐角.
小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.
例2求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于.
小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.
※ 动手试试
练1. 如果,那么.
练2. 的三边的倒数成等差数列,求证:.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 反证法的步骤：①否定结论；②推理论证；③导出矛盾；④肯定结论.
2. 反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于”时，反设正确的是（ ）.
A．假设三内角都不大于
B．假设三内角都大于
C．假设三内角至多有一个大于
D．假设三内角至多有两个大于
2. 实数不全为0等价于为（ ）.
A．均不为0
B．中至多有一个为0
C．中至少有一个为0
D．中至少有一个不为0
3.设都是正数，则三个数（ ）.
A．都大于2 B.至少有一个大于2
C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2
4. 用反证法证明命题“自然数中恰有一个偶数”的反设为 .
5. “”是“”的 条件.
课后作业
1. 已知,且.试证:中至少有一个小于2.
2. 证明不是有理数.
课件43张PPT。课程目标设置主题探究导学典型例题精析一、选择题(每题5分，共15分)
1.有下列叙述：①“a>b”的反面是“ay或x(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
【解析】选B.①错，应为a≤b,②对，③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形边上；④错,应为三角形的内角中有两个或三个钝角.知能巩固提升2.若一个命题的结论是“直线l在平面α内”，则用反证法证明这个命题时，第一步应作的假设是( )
(A)假设直线l∥平面α
(B)假设直线l∩平面α于点A
(C)假设直线l∥平面α或直线l∩平面α于点A
(D)假设直线l⊥平面α
【解析】选C.“直线l在平面α内”的反面应为“直线l不在平面α内”.即直线l与平面α平行或相交.3.下列命题错误的是( )
(A)三角形中至少有一个内角不小于60°
(B)四面体的三组对棱都是异面直线
(C)闭区间［a,b］上的单调函数f(x)至多有一个零点
(D)设a,b∈Z，若a+b是奇数，则a,b中至少有一个为奇数
【解析】选D.由于a+b是奇数，则a,b必为一奇一偶，而不是a,b中至少有一个为奇数.二、填空题(每题5分，共10分)
4.(2010·济宁高二检测)“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的否定为____________.
【解析】三个数中偶数的个数可能为0,1,2,3,因此“恰有一个”的否定为“没有或至少两个”，因此“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的否定为“自然数a,b,c都是奇数或至少有两个偶数”.
答案：自然数a,b,c都是奇数或至少有两个偶数.5.用反证法证明命题“若正实数a,b,c满足a+b+c=1.则a,b,c
中至少有一个数不小于 ”时应假设_________________.
【解析】此命题的结论也可以表述为“a、b、c中至少有一个
数大于等于 ”因此用反证法证明时应假设“a、b、c中大
于等于 的一个也没有”即“a、b、c都小于 ”.
答案：a、b、c都小于 三、解答题(6题12分，7题13分，共25分)
6.设实数a∈R,f(x)=x2+ax+a,
求证：|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不小于 .
【解题提示】假设结论不成立，则|f(1)|< ,
|f(2)|< 同时成立，利用不等式求a的取值范围，与已知a∈R矛盾.【证明】7.(2010·宜春高二检测)已知x,y∈R+，且x+y＞2，
求证： 与 中至少有一个小于2.
【证明】假设 与 都大于等于2，
即 ≥2且 ≥2
即 1+x≥2y
1+y≥2x? 2+x+y≥2(x+y)
∴x+y≤2与已知条件x+y＞2矛盾
∴假设错误，原结论正确.
即 与 中至少有一个小于2.1111.(5分)设a,b,c∈(-∞,0),则a+ ,b+ ,c+ ( )
(A)都不大于-2
(B)都不小于-2
(C)至少有一个不大于-2
(D)至少有一个不小于-2【解析】2.(5分)已知x1>0,x1≠1,且 (n=1,2,…)，试
证：“数列{xn}对任意的正整数n都满足xn>xn+1”.当此题要用
反证法证明时，假设应为( )
(A)对任意的正整数n,有xn=xn+1
(B)存在正整数n,有xn≤xn+1
(C)存在正整数n,使得xn≥xn+1,xn≥xn-1
(D)存在正整数n,使得(xn-xn+1)(xn-xn-1)≥0
【解析】选B.由于结论是一个全称命题，故结论的否定应该是
一个特称命题“存在正整数n,有xn≤xn+1.”3.(5分)完成反证法证题的全过程.
题目：设a1,a2,…,a7是1，2,…，7的一个全排列，
求证：p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.
证明：假设p为奇数，则_________均为奇数.
因奇数个奇数之和为奇数，故有
奇数=________
=________
=0.
但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数.【解析】在推理过程中我们将(a1-1),(a2-2),…,(a7-7)重新分组，会有a1+a2+…+a7与1+2+…+7，这两个式子相等，从而会得出矛盾.
答案：a1-1,a2-2,…,a7-7;
(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7);
(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7).4.(15分)已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,
求证：a>0.
【解题提示】由于本题的证明结果从正面较难分析全面，故应选用反证法，先假设a≤0,然后证明与已知条件矛盾.【证明】假设a≤0，即a<0或a=0.
(1)若a=0,则abc=0,这与abc>0矛盾；
(2)若a<0，则由abc>0，知bc<0,
又因为bc>-(ac+ab),所以-(ac+ab)<0
∴ac+ab>0,即a(c+b)>0，
而a<0,所以b+c<0
所以a+b+c<0,这与a+b+c>0相矛盾，
综上所述，假设不成立，从而a>0.3.1.1 归纳推理
学习目标
1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；
2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.
学习过程
一、课前准备
在日常生活中我们常常遇到这样的现象：
（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；
（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.
以上例子可以得出推理是 的思维过程.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：归纳推理
问题1:哥德巴赫猜想：观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想： .
问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出 .
新知：归纳推理就是由某些事物的 ,推出该类事物的 的推理，或者由 的推理.简言之，归纳推理是由 的推理.
※ 典型例题
例1 观察下列等式：1+3=4=，
1+3+5=9=，
1+3+5+7=16=，
1+3+5+7+9=25=，
……
你能猜想到一个怎样的结论？
变式：观察下列等式：1=1
1+8=9，
1+8+27=36，
1+8+27+64=100，
……
你能猜想到一个怎样的结论？
例2已知数列的第一项，且，试归纳出这个数列的通项公式.
变式：在数列{}中，（），试猜想这个数列的通项公式.
※ 动手试试
练1. 应用归纳推理猜测的结果.
练2. 在数列{}中，，（）,试猜想这个数列的通项公式.
三、总结提升
※ 学习小结
1．归纳推理的定义.
2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）
※ 知识拓展
1.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对，，，，的观察，发现其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然数，任何形如的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉发现不是素数，推翻费马猜想.
2.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）
A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程
B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程
C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确
D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能
2.若，下列说法中正确的是（ ）.
A.可以为偶数 B. 一定为奇数
C. 一定为质数 D. 必为合数
3.已知 ，猜想的表达式为（ ）.
A. B.
C. D.
4.，经计算得猜测当时，有__________________________.
5. 从中得出的一般性结论是_____________ .
课后作业
1. 对于任意正整数n，猜想与的大小关系.
2. 已知数列{}的前n项和，，满足，计算并猜想的表达式.
3.1归纳与类比
归纳推理
教材依据
“归纳推理”是北京师范大学出版社出版的普通中学课程标准实验教科书数学（选修1－2）第三章第一节的内容。
教学目标：
1.知识与技能目标：理解归纳推理的原理，并能运用解决一些简单的问题。
2.过程与方法目标：通过自主、合作与探究实现“一切以学生为中心”的理念。
3.情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
教学重点：归纳推理的原理
教学难点：归纳推理的具体应用。
教法学法：自主、合作探究教学
教学准备：多媒体电脑、课件、空间多面体模型等
教学过程：
1.创设情景：
1．情景㈠：苹果落地的故事，正是基于这个发现，牛顿大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“万有引力定理”
思考：整个过程对你有什么启发？
教师：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
2．情景㈡：陈景润和他在“歌德巴赫猜想”证明中的伟大成就：任何一个大于4的偶数都可以写成两个奇素数之和。
如：6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5, 12＝5+7，14＝7+7， 16＝5+11,…，1000＝29＋971，1002＝139＋863，……
2.探求研究:
探究1．学生根据自备的多面体进行观察，统计多面体的面数、顶点数和棱数；（学生实验与教师课件演示结合）
探究2．观察、猜想它们之间是否有稳定的数量关系？
探究3．整理所得结论，并尝试证明；若得证，则改写成定理，否则修改猜想，进一步尝试证明。
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
正八面体
8
6
12
五棱柱
7
10
15
截角正方体
7
10
15
尖顶塔
9
9
16
教师指导，合作交流，归纳：，，，F+V-E=2等等，其中“F+V-E=2”为“欧拉公式”。
3.概念讲解
结合情景问题和探究过程所得，教师引导学生完成归纳推理的概念及分析。
定义：根据一类事物的部分事物具有某种属性,推断该类事物的每一个都具有这种属性的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
说明：⑴归纳推理的作用：发现新事实，获得新结论；(2)归纳推理的一般步骤：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明；⑶归纳推理的结论不一定成立。
4.例题解析
例1：在数列中，猜想这个数列的通项公式？
解析：先由学生计算：
归纳：
说明（学生完成）：⑴有整数和分数时,往往将整数化为分数；⑵当分子分母都在变化时,往往统一分子(或分母),再寻找另一部分的变化规律.
例2、（拓展）问：如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小？试猜测结论。
教师：设定任务一：常见多边形面积一定时，计算其周长；
任务二：归纳、猜想一般性结论。
边形
3
4
6
8
最小
周长
4．56
4
3．72
3．64
推广 观察 归纳
计算 猜想
5.分层练习：
1．由“铜、铁、铝、金等金属能导电”，你能归纳出什么结论？
2．观察下列式子，归纳结论：
，，
………………
问：
3．右图中5个图形及相应点的个数
的变化规律,试猜测第n个图形中有
点；
4．已知数列中，，试归纳这个数列的通项公式。
答案：1．金属导电;2．;
3． ; 4．.
6.课时小结（师生共同）
1什么是归纳推理?
2归纳推理的一般步骤：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明。
布置作业：
（补充）：
拓展延伸：
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯；
2.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征：
⑴火星也绕太阳运行，绕轴自转的行星； ⑵有大气层,在一年中也有季节变更；
⑶火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等；
科学家猜想;火星上也可能有生命存在。
说明：以上两练习使用的是类比推理。目的是知识上承上启下，把本节知识延伸，既拓宽了学生视野，也为下一节“类比推理”的教学作了铺垫。
教后反思：
⑴要实现数学新知识的建构学习，教师要创设适当的情境，情境应符合实际.包括生活场景的实际，数学教学内容的实际，学生知识状况的实际，学生思维发展的实际等等。
⑵学生通过“经历”，“体会”，“感受”，最后形成概念的过程学习，充分体现了以学生为本的现代教育观；同时练习和作业的分层设计尽量满足多样化的学习需求做到因材施教，促进全体的参与。
附：板书设计
课件48张PPT。课程目标设置主题探究导学典型例题精析一、选择题(每题5分，共15分)
1.(2010·福建莆田高二检测)数列3，5，9，17，33，…的通项公式an等于( )
(A)2n (B)2n+1
(C)2n-1 (D)2n+1
【解析】选B.由观察得3=21+1,5=22+1,9=23+1,17=24+1,33=25+1,…,
由此归纳可得an=2n+1.知能巩固提升2.n个连续自然数按规律排成下表：
根据规律，从2 005到2 007，箭头的方向依次为( )
(A)↓→ (B)→↑ (C)↑→ (D)→↓
【解析】选B.这些自然数的排列规律具有周期性，上面一行“→”指向的分别为4，8，…，故2 004为上“→”指向数，因此有 ，故选B.3.设f1(x)=cosx, f2(x)=f1′(x), f3(x)=f2′(x),…, fn+1(x)=fn′(x), n∈N+，则f2 007(x)=( )
(A)sinx (B)-sinx
(C)cosx (D)-cosx
【解析】选D.由f1(x)=cosx, f2(x)=f1′(x)=-sinx, f3(x)=f2′(x)=-cosx, f4(x)=f3′(x)=sinx, f5(x)=f4′(x)=cosx, …，所以fn(x)的取值具有周期性，4是最小正周期，∴f2 007(x)=f3(x)=-cosx.二、填空题(每题5分，共10分)
4.(2010·陕西高考)观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…,根据上述规律，第五个等式是_________.
【解题提示】找出等式两边底数的规律是解题的关键.【解析】由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：
1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10，即左边底数的和等于右边的底数.故第五个等式为：13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212.
答案：13+23+33+43+53+63=2125.如图所示，图(a)是棱长为1的小正方体，图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成的，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n层，第n层的小正方体的个数记为Sn，解答下列问题：(1)按照要求填表.
(2)S10=_______.
(3)Sn=________.
【解析】由S1=1,S2=3=1+2,S3=6=1+2+3,…得
Sn=1+2+3+…+n= .
答案：(1)10 (2)55 (3) 三、解答题(6题12分，7题13分，共25分)
6.已知数列 , ,…, ,…，Sn为其前n项的和，计算S1，S2，S3，S4，观察计算结果，并归纳出Sn的计算公式.
【解题提示】通过计算S1,S2,S3,S4的取值，发现它们的共同点有：都是分数，分母为奇数的平方，分子比分母少1，据此可猜想Sn的计算公式.【解析】7.20世纪60年代，日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：一个自然数，如果它是偶数，就用2除它；如果是奇数，则将它乘以3后再加1，反复进行这样两种运算，必然会得到一种结果，试考查几个数并给出这一结果的猜想.
【解析】取自然数6，按角谷的做法有：
6÷2=3,3×3+1=10,10÷2=5,3×5+1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1,其过程简记为
6→3→10→5→16→8→4→2→1,
若取自然数7，则有7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1,若取自然数100，则有100→50→25→76→38→19→58→29→88→44→22→11→34→…→1.
归纳猜想：这样反复运算，必然会得到1.1.(5分)(2010·山东高考)观察(x2)′=2x, (x4)′=4x3, (cosx)′=-sinx,由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(-x)=( )
(A)f(x) (B)-f(x) (C)g(x) (D)-g(x)
【解析】选D.通过观察由g(x)=2x,g(x)=4x3,g(x)=-sinx,都满足g(-x)=-g(x),可知选D. 【解题提示】对于多个等式的归纳，要分左、右两边分别
归纳，特别是注意归纳分子、分母对应的变化情况.
【解析】选A.注意到各等式中左边两分式的分子之和为8，分母
分别为分子减去4，故可得 ,因此选A.3.(5分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，第四个图有37个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数，则f(n)=________.【解析】由题知f(2)-f(1)=6;
f(3)-f(2)=12=2×6;
f(4)-f(3)=18=3×6;
… …
f(n)-f(n-1)=(n-1)×6;
各式相加得f(n)-f(1)=6［1+2+3+…+(n-1)］
=6× =3(n-1)n
故f(n)=3(n-1)n+1=3n2-3n+1
答案：3n2-3n+14.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=- ,且
Sn-1+ +2=0(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式.【解析】3.2数学证明
学习目标
结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。
学习过程：
一、预习：
1、引言：小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中。由于每月的零花钱不够用，便向亲戚要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财。但小明却说我是未成年人而且就抢了50元，这应该不会很严重吧？？？
如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不是犯罪呢？
分析上面的问题：
大前提：刑法规定抢劫罪是以非法占有为目的，使用暴力、胁迫或其他方法，强行劫取公私财物的行为。其刑事责任年龄起点为14周岁，对财物的数额没有要求。
小前提：小明超过14周岁，强行向路人抢取钱财50元。
结论：小明犯了抢劫罪。
2、我们知道合情推理所得结论不一定正确,那么怎样推理所得的结论就一定正确呢?又怎样证明一个结论呢?
3、三段论的基本格式：
4、归纳：三段论是指由两个简单判断作前提和一个简单判断作结论组成的演绎推理。三段论中三个简单判断只包含三个不同的概念，每个概念都重复出现一次。这三个概念都有专门名称：结论中的宾词叫“大词”，结论中的主词叫“小词”，结论不出现的那个概念叫“中词”，在两个前提中，包含大词的叫“大前提”，包含小词的叫“小前提”。
演绎推理的特点:
1．演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴含于前提之中，因此演绎推理是由一般到特殊的推理；
2、在演绎推理中，前提于结论之间存在着必然的联系，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确。因此演绎推理是数学中严格的证明工具。
3、在演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学论证和系统化。
二、课堂训练：
例1、把“函数y=x2+x+1的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论
例2. D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,DE∥BA,求证：ED=AF
例3、已知a,b,m均为正实数，b三、练习：
1、把下列推理恢复成完全的三段论
2、下面说法正确的有（ ）
（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；
（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；
（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；
（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
3、用三段论的形式写出下列演绎推理。
（1）三角形内角和180°，等边三角形内角和是180°。
（2）是有理数
4、在△ABC中，AC>BC,CD是AB边上的高，求证∠ACD＞∠BCD。
四、巩固练习：
1. 下列表述正确的是（ ）.
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤.
2. 演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法（ ）.
A．一般的原理原则； B．特定的命题； C．一般的命题； D．定理、公式.
3．已知ΔABC 中，∠A=30°∠B=60°求证：a证明： ∵ ∠A=30°，∠B=60°∴ ∠A<∠B ∴ aA．大前提 B．小前提 C．结论 D．三段论
4、把下列演绎推理写成“三段论”的形式.
（1）三角函数都是周期函数，y=tanx 是三角函数，所以 y=tanx 是周期函数.
（2）一切奇数都不能被 2 整除，（2 100 +1）是奇数，所以（2 100 +1）不能被 2 整除.
5、用三段论证明：三角形内角和等于 180°.
课件52张PPT。课程目标设置主题探究导学典型例题精析一、选择题(每题5分，共15分)
1.《论语》云：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足.”上述推理用的是( )
(A)合情推理 (B)归纳推理
(C)类比推理 (D)演绎推理
【解析】选D.推理环环相扣，一气呵成，气势磅礴，结论正确，符合演绎推理的定义.知能巩固提升2.“因对数函数y=logax是增函数，(大前提)，
而y=log x是对数函数(小前提)，
所以y=log x是增函数(结论).”
以上推理错误的原因是( )
(A)大前提错导致结论错
(B)小前提错导致结论错
(C)推理形式错导致结论错
(D)大前提和小前提都错导致结论错
【解析】选A.大前提是错误的，因为y=logax(0＜a＜1)是减函
数.3.下列说法正确的是( )
(A)“三段论”可以这样表示：
(B)归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，而演绎推理则是由特殊到一般的推理
(C)证明命题函数f(x)=x2在［1,+∞)上是增函数，所依据的大前提是f(x)=x2在［1,+∞)上满足增函数的定义，小前提是增函数的定义
(D)在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的【解析】选D.选项A中小前提应是“S是M”，选项B中演绎推理是一般到特殊的推理；选项C中大前提与小前提正好反了.二、填空题(每题5分，共10分)
4.(2010·福建师大附中高二检测)已知下列三句话：
①y=sinx(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；
③y=sinx(x∈R)是周期函数.
将这三句话按“三段论”模式可排列为______.(填序号即可)
【解析】由“三段论”模式：大前提、小前提、结论可知，这
三句话应排列为②①③.
答案：②①③5.若记“*”运算为a*b= ，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数a,b,c都能成立的一个等式可以是_______.(写出一个即可)
【解题提示】根据“*”运算，我们应先确定等式左边的形式，然后再探求右边的形式.
【解析】因为a+(b*c)=a+
= (a+b)*(a+c)= =
所以a+(b*c)=(a+b)*(a+c)
答案：a+(b*c)=(a+b)*(a+c)(答案不唯一)三、解答题(第6题12分，第7题13分,共25分)
6.函数y=f(x)的定义域为M，对于任意的x1,x2∈M,若|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|，则称该函数为“平缓函数”，判断函数f(x)= 是否为平缓函数.
【解题提示】要判断一个函数是否为平缓函数应抓住平缓函数的定义，只要x1,x2∈M,|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,则此函数就是平缓函数.【解析】(1)定义域M=R，设任意的x1,x2∈R，则7.求证：梯形的两腰和一底如果相等，它的对角线必平分另一底上的两个角.
【解析】已知：在梯形ABCD中(如图)，AB=DC=AD，AC和BD是它的对角线.
求证：AC平分∠BCD，DB平分∠CBA.证明：(1)等腰三角形两底角相等 (大前提)，
△DAC是等腰三角形，DA、DC是两腰 (小前提)，
∴∠1=∠2. (结论).
(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等, (大前提)，
∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截出的内错角， (小前提)
∴∠1=∠3. (结论)
(3)等于同一个量的两个量相等 (大前提)，
∠2和∠3都等于∠1 (小前提)，
∴∠2=∠3， (结论)，
即AC平分∠BCD.
(4)同理DB平分∠CBA.1111.(5分)在三段论“因为M是P，S是M，所以S是P”中，M、P、S的包含关系可表示为( )【解析】选A.三段论中，M是P的子集，S是M的子集，所以S是P的子集.2.(5分)(2009·广东高考)广州2010年亚运会火炬传递在A、B、C、D、E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离(单位：百公里)见下表.若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是( )
(A)20.6
(B)21
(C)22
(D)23 【解题提示】我们可找出A→E的所有路线，然后进行比较.
【解析】选B.由于A→E的所有路线为：①A→B→C→D→E；
②A→B→D→C→E；③A→C→B→D→E；④A→C→D→B→E；
⑤A→D→B→C→E；⑥A→D→C→B→E，其中路线④的路线距离最短为4+9+6+2=21.3.(5分)由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理写出一个演绎推理，则这个推理是_________________.
【解析】由于“三段论”推理中，大前提为一般的原形，小前提是大前提中的特例，故②充当大前提，③为小前提，①为结论.
答案：②③? ①4.(15分)设f(n)=2n-1(n∈N*)，试问：当n是怎样的自然数时，f(n)是合数？
【解题提示】这类探究性问题需将合情推理与演绎推理两种方法结合起来，由归纳(或类比)获得猜想假定，通过鉴别猜想假定的真伪，获得确定结果后，再给予演绎证明.
其常见过程为：试验→归纳→猜想→证明.【解析】取n=1,2,…,10,所得结果列表如下：
由上表可知，当n为素数2,3,5,7时，f(n)为素数；
当n为合数4,6,8,9，10时，f(n)为合数.
继续试验，当n=11时，f(n)=211-1=2 047=23×89为合数.因此要放弃“n为素数时，f(n)为合数”的猜想.
再继续试验，当n=12,14时，f(n)仍为合数，于是进一步猜想“n为合数时，f(n)为合数”.用演绎法推证：
设n为合数，令n=ml(m、l为大于1的自然数)，
则f(n)=2n-1=2ml-1
=(2m)l-1l
=(2m-1)［(2m)l-1+(2m)l-2+…+2m+1］.
因为2ml-1可被2m-1整除，
又因为m＞1,l＞1,
所以1＜2m-1＜2ml-1.
据此可断定“n为合数时，f(n)是合数”为真.3.1.2 类比推理
学习目标
1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;
2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.
学习过程
一、课前准备
1.已知 ，考察下列式子：；；
. 我们可以归纳出，对也成立的类似不等式为 .
2. 猜想数列的通项公式是 .
二、新课导学
※ 学习探究
鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.
新知：类比推理就是由两类对象具有 和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由 到 的推理.
※ 典型例题
例1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.
类比角度
实数的加法
实数的乘法
运算结果
运算律
逆运算
单位元
变式：找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质.
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆的周长
圆的面积
圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦
与圆心距离相等的弦长相等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长
以点为圆心，r为半径的圆的方程为
例2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.
变式：用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质.
三角形
四面体
三角形的两边之和大于第三边
三角形的中位线平行且等于第三边的一半
三角形的面积为（r为三角形内切圆的半径）
新知： 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.
※ 动手试试
练1. 如图，若射线OM，ON上分别存在点与点，则三角形面积之比.若不在同一平面内的射线OP，OQ上分别存在点，点和点，则类似的结论是什么？
练2. 在中，不等式成立；在四边形ABCD中，不等式成立；在五边形ABCDE中，不等式成立.猜想，在n边形中，有怎样的不等式成立？
三、总结提升
※ 学习小结
1．类比推理是由特殊到特殊的推理.
2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.
3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法.
※ 知识拓展
试一试下列题目：
1. 南京∶江苏 A. 石家庄∶河北 B. 渤海∶中国
C. 泰州∶江苏 D. 秦岭∶淮河
2. 成功∶失败 A. 勤奋∶成功 B. 懒惰∶失败
C. 艰苦∶简陋 D. 简单∶复杂
3.面条∶食物 A.? 苹果∶水果 B.? 手指∶身体
C.? 菜肴∶萝卜 D.? 食品∶巧克力
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1.下列说法中正确的是（ ）.
A.合情推理是正确的推理
B.合情推理就是归纳推理
C.归纳推理是从一般到特殊的推理
D.类比推理是从特殊到特殊的推理
2. 下面使用类比推理正确的是（ ）.
A.“若,则”类推出“若,则”
B.“若”类推出 “”
C.“若” 类推出“ （c≠0）”
D.“” 类推出“
3. 设，
，n∈N，则 （ ）.
A. B.－ C. D.－
4. 一同学在电脑中打出如下若干个圆
若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有 个黑圆.
5. 在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55……中的x的值是 .
课后作业
在等差数列中，若，则有
成立，类比上述性质，在等比数列中，若，则存在怎样的等式？
2. 在各项为正的数列中，数列的前n项和满足（1） 求；（2） 由（1）猜想数列的通项公式；（3） 求
课件59张PPT。课程目标设置主题探究导学典型例题精析一、选择题(每题5分，共15分)
1.(2010·莆田高二检测)下面使用类比推理正确的是( )
(A)“若a·3=b·3，则a=b”,类比推出“若a·0=b·0,则
a=b”
(B)“若(a+b)c=ac+bc”,类比推出“(a·b)c=ac·bc”
(C)“若(a+b)c=ac+bc”,类比推出“ (c≠0)”
(D)“(ab)n=anbn”,类比推出“(a+b)n=an+bn”
【解析】选C.由类比推理的形式结合代数式的运算律可知C正
确.知能巩固提升2.三角形的面积为S= (a+b+c)·r,其中a,b,c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为(r为四面体内切球的半径)( )
(A)V= abc
(B)V= (S1+S2+S3+S4)·r
(C)V= (S1+S2+S3+S4)·r
(D)V= (ab+bc+ac)·r【解析】选C.此题应从两方面进行类比：一方面由平面几何类比到空间几何时，边长应类比面积，另一方面，从方法上进行类比，三角形的面积是将内切圆圆心与三角形顶点相连，将三角形分割为三个三角形，求其面积之和，类似的，将内切球球心与四面体四个顶点相连，则原四面体被分割为四个四面体，求其体积之和.【解析】选C.由类比推理的形式知选项C符合.二、填空题(每题5分，共10分)
4.现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个
的某顶点在另一个的中心，则这两个
正方形重叠部分的面积恒为 .类比
到空间，有两个棱长均为a的正方体，
其中一个的某顶点在另一个的中心，
则这两个正方体重叠部分的体积恒为________.
【解析】在平面图形中，重叠部分的面积 =( )2,类比到
空间时，则重叠部分的体积应为( )3= .
答案： 5.(2010·黄山高二检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则
S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有：设等比
数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，______，________， 成等
比数列.
【解题提示】等差数列与等比数列中的类比是“和”类比
到“积”，“差”类比到“商”.
【解析】通过类比，有等比数列{bn}的前n项积为Tn,
则T4， ， ， 成等比数列，
故填 ， .
答案： 三、解答题(6题12分，7题13分，共25分)
6.等差数列是我们较为熟悉的一类数列，其定义为：若数列{an}从第二项起，以后每一项与前一项的差都是同一常数，则此数列叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.
(1)类比等差数列的定义，给出等和数列的定义；
(2)若数列{bn}是等和数列，且b1=1,b2=2,求数列{bn}的一个通项公式.【解析】(1)等和数列：若数列{an}从第二项起，以后每一项与前一项的和都等于同一常数，则此数列叫等和数列，这个常数叫等和数列的公和.
(2)由于{bn}为等和数列，故bn+bn+1=bn+1+bn+2
∴bn=bn+2
∴ bn= 1 (n为奇数)
2 (n为偶数)7.已知在Rt△ABC中，两直角边AC=b，BC=a，斜边AB上的高为h，则 ,将此性质类比到立体几何中的三棱锥中，有何结论成立？能否给出证明？
【解析】在三棱锥V-ABC中，若三条侧棱VA、VB、VC两两垂直，且长度分别为a,b,c，顶点V到底面ABC的距离VH=h，则 .证明如下：如图所示，连结AH，
并延长交BC于D，连结VD，
因为VA⊥VB，VA⊥VC，
VB∩VC=V，所以VA⊥平面VBC，
所以VA⊥BC，VA⊥VD.
因为VH⊥平面ABC，所以VH⊥BC，
所以BC⊥平面VAD，所以BC⊥VD.
因为VB⊥VC，所以在Rt△VBC中， ，
在Rt△VAD中，
，所以 ，
即 .1.(5分)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当
FB⊥AB时，其离心率为 ，此类椭圆被称为“黄金椭
圆”，类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e
等于( )
(A) (B)
(C) (D) 【解题提示】进行类比的关键是：BF⊥AB，抓住这一特征可得“黄金双曲线”的离心率.
【解析】选B.由“黄金椭圆”的特征：“左焦点F与短轴的一个端点B的连线垂直于这个端点与右顶点A的连线”容易得到“黄金双曲线”的特征是：左焦点F与虚轴的一个端点B的连线垂直于这个端点与右顶点A的连线.如图，设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则F(-c,0),B(0,b),A(a,0)，2.(5分)(2010·大庆高二检测)已知{bn}为等比数列，b5=2，则b1·b2·…·b9=29.若{an}为等差数列，a5=2,则{an}的类似结论为( )
(A)a1·a2·…·a9=29
(B)a1+a2+…+a9=29
(C)a1·a2·…·a9=2×9
(D)a1+a2+…+a9=2×9
【解析】选D.由等比数列中的积类比于等差数列中的和，等比数列中的幂类比于等差数列中的积可得答案为D.3.(5分)边长为x的正方形的面积S(x)=x2,周长L(x)=4x,若将x看作(0,+∞)上的变量，则L(x)=2S′(x)①,即4x=2(x2)′,
①式可用语言叙述为：正方形面积函数的导数的2倍等于周长函数.
对于棱长为x的正方体，若将x看作(0,+∞)上的变量，写出类似①的式子：_________②,②式用语言叙述为:___________.
【解析】通过平面几何与立体几何之间的类比关系得：
类似①的式子为S(x)=2V′(x);
用语言叙述为：正方体体积函数的导数的2倍等于表面积函数.
答案：S(x)=2V′(x) 正方体体积函数的导数的2倍等于表面积函数【解析】如图，连接PA，PB，PC，PD，则四边形的面积可以看成是四个三角形的面积之和，类比此方法，我们可以采用等体积法解决三棱锥的相应性质：
如图，H1，H2，H3，H4依次是三棱锥Q-BCD、Q-ADC、Q-ABD和Q-ABC的高，三棱锥的体积可以看成是这四个三棱锥的体积之和.课件41张PPT。课程目标设置主题探究导学典型例题精析一、选择题(每题5分，共15分)
1.综合法是( )
(A)执果索因的递推法
(B)由因导果的顺推法
(C)因果分别互推的两头凑法
(D)递命题的证明方法
【解析】选B.由于综合法是从条件出发，经过演绎推理，直至得到要证的结论，故综合法是由因导果的顺推法.知能巩固提升2.设a>0,b>0,若 是3a与3b的等比中项，则 的最小
值为( )
(A)8 (B)4 (C)1 (D)
【解析】选B.由3a·3b=( )2,即3a+b=3,
∴a+b=1,
则 ≥4.3.已知实数a,b,c满足a+b+c=0，abc≠0,则bc+ac+ab的
值( )
(A)一定是正数 (B)一定是负数
(C)可能是0 (D)正负不能确定
【解析】选B.因为a+b+c=0,
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0,
即ab+bc+ac=- <0.二、填空题(每题5分，共10分)
4.(2010·黄山高二检测)已知a,b是不相等的正数， ，y= ，则x,y的大小关系是_______.
【解题提示】由于x,y中都含有根号，不便于大小比较，且x,y都是正数，因此可将其平方再进行比较.
【解析】由于a,b是不相等的正数，因此x,y也为正数，故
x2= ，
y2=a+b=
易知a+b＞2 ，
因此y2＞x2，∴y＞x.
答案：y＞x5.如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件_______时，有A1C⊥B1D1(填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形).【解析】由于ABCD—A1B1C1D1为直四棱柱，易得B1D1∥BD，AA1⊥BD，若AC⊥BD，则得BD⊥平面A1AC，
∴BD⊥A1C即A1C⊥B1D1.
答案：AC⊥BD三、解答题(6题12分，7题13分，共25分)
6.(2010·宿迁高二检测)如图，已知等腰梯形ABCQ，AB∥CQ，CQ=2AB=2BC=4，D是CQ的中点，∠BCQ=60°，将△QDA沿AD折起，点Q变为点P，使平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证：BC∥平面PAD;
(2)求证：△PBC是直角三角形. 【解题提示】(1)要证BC∥平面PAD，可先找到平面PAD内与BC平行的直线；
(2)要证△PBC是直角三角形，即找到△PBC内相互垂直的边，应证线线垂直.【证明】 (1)由题设可知AB∥DC，且AB=DC，
∴四边形ABCD为平行四边形.
∴AD∥BC，又AD? 平面PAD，BC? 平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
(2)取AD的中点E
连PE，BE，由于△PAD为正三角形，所以PE⊥AD，
又△ABD为正三角形，
所以，BE⊥AD且PE∩BE=E，
所以AD⊥平面PBE.
而BC∥AD,∴BC⊥平面PBE，又PB ?平面PBE，
所以BC⊥PB，故△PBC是直角三角形.7.已知a,b,c是不全相等的正数，
求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.
【证明】∵b2+c2≥2bc,a>0,
∴a(b2+c2)≥2abc, ①
同理b(c2+a2)≥2abc, ②
c(a2+b2)≥2abc, ③
因为a,b,c不全相等,
∴b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,a2+b2≥2ab,不能全取“=”，从而①、②、③式也不能全取“=”.
∴a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.1111.(5分)(2010·吉安高二检测)定义“等平方和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的平方和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等平方和数列，这个常数叫做该数列的公方和，已知数列{an}是等平方和数列，且a1=1，公方和为5，且an＞0，则a2009为( )
(A)1 (B)2
(C)2009 (D)5【解析】2.(5分)已知f(x)=x5+x3+x,a,b∈R，且a+b>0,
则f(a)+f(b)的值一定( )
(A)大于零
(B)等于零
(C)小于零
(D)正负都有可能
【解析】选A.易知y=f(x)为增函数，且为奇函数，又a+b>0,即a>-b,则f(a)>f(-b),即f(a)>-f(b),∴f(a)+f(b)>0.3.(5分)若sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,则cos(α-β)=__________.
【解题提示】由于所求cos(α-β)中没有γ,故应在变形中将角γ消去.
【解析】由条件知sinα+sinβ=-sinγ,cosα+cosβ=-cosγ,
两式平方相加，则有sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2sinα·sinβ+2cosα·cosβ=sin2γ+cos2γ,
即2+2cos(α-β)=1,∴cos(α-β)=- .
答案：- 4.(15分)已知函数f(x)=3x2-3x+1,
求证： (n∈N*).
【解题提示】直接求 的和，很难求出
来，而右边是个常数，因此应将f(n)进行适当放缩后，能求
出不等式左边式子的和，然后再证明不等式的正确性.【证明】111课件19张PPT。课件14张PPT。 已知：一点A和平面α.
求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．[证明过程] 根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．
(1)如图①，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB、AC，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.
图①因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a?α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
(2)如图②，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB和AC(B、C为垂足)，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，
因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC?α，
所以AB⊥BC，AC⊥BC. 图②
在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线．2.求证：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．
证明： ∵点P在直线外，
∴点P和直线a确定一个平面，设该平面为α.
在平面α内，过点P作直线b，使得b∥a，则过点P有一条直线与a平行．假设过点P还有一条直线c与a平行．
∵a∥b，a∥c，∴b∥c.
这与b、c相交于一点P矛盾，
故假设不成立，原命题正确． 设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
由条件不能正面证明结论，采用反证法假设结论不成立，将已知条件代入整理可得出与已知条件矛盾．[证明过程] 假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，
因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，
即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0，
所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，
所以a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾．
故假设不成立，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.课件22张PPT。(2)方法一：至少有2个黑色正方形相邻包括有2个黑色正方形相邻，有3个黑色正方形相邻，有4个黑色正方形相邻，有5个黑色正方形相邻，有6个黑色正方形相邻．
①只有2个黑色正方形相邻，有A32＋A42＋C51＝23(种)；
②只有3个黑色正方形相邻，有C21＋A32＋C41＝12(种)；
③只有4个黑色正方形相邻，有C21＋C31＝5(种)；
④只有5个黑色正方形相邻，有C21＝2(种)；
⑤有6个黑色正方形相邻，有1(种)．
共23＋12＋5＋2＋1＝43(种)．方法二：所有着色情况共有26＝64种，又由上知互不相邻的着色方案有21种．
故至少有两个相邻的着色方案共有64－21＝43种．
答案： 21 43 有两种花色的正六边形地板砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
A．26 B．31
C．32 D．36[解题过程] 方法一：有菱形纹的正六边形个数如下表，
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.方法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需六个有纹正六边形围绕(第一个图案)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹六边形)，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为6＋5×(6－1)＝31.
答案： B1.根据下图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．解析： 观察图形的增长规律可得：图(2)从中心点向两边各增长1个点，图(3)从中心点向三边各增长2个点，图(4)从中心点向四边各增长3个点，如此，第n个图从中心点向n边各增长(n－1)个点，易得答案：1＋n·(n－1)＝n2－n＋1.本题若从图形的数值变化方面入手也可归纳出结果，但没有从图形的结构方面入手直接．
答案： n2－n＋1 如图，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，同时将圆分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分．那么：
(1)在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？
(2)猜想：圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？由题目可获取以下主要信息：
①在圆内画线段；
②所画线段彼此分割线段的条数和将圆分割的部分的个数．
解答本题可先从几个特殊的数值入手，再根据给出的数值特点进行归纳猜想．2.平面内有n条直线，其中任何两条都不平行，任何三条不过同一点，试归纳它们交点的个数． [解题过程] (1)当n＝1时，a1＝0，
由an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)得a2＝a1＋1＝1，
a3＝a2＋3＝4，
a4＝a3＋5＝9.
由a1＝02，a2＝12，a3＝22，a4＝32，
可归纳猜想出an＝(n－1)2.3.根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．a1＝3，an＋1＝2an＋1.
解析： 由已知有a1＝3，
a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7，
a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15，
a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31.
猜测出an＝2n＋1－1，n∈N*.课件19张PPT。 用三段论的形式写出下列演绎推理：
(1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；
(2)0.33是有理数；
(3)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除．[解题过程]
(1)每一个矩形的对角线相等． 大前提
正方形是矩形． 小前提
正方形的对角线相等． 结论
(2)所有的循环小数是有理数． 大前提
0.33是循环小数． 小前提
0.33是有理数． 结论
(3)一切奇数都不能被2整除． 大前提
2100＋1是奇数． 小前提
2100＋1不能被2整除． 结论1.用三段论的形式写出下列演绎推理．
(1)若两角是对顶角，则此两角相等．所以若两角不相等，则此两角不是对顶角．
(2)三角函数都是周期函数，y＝tanα是三角函数，因此y＝tanα是周期函数．
(3)通项公式an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．解析： 演绎推理中如果大前提、小前提都是真实的，按照三段论形式推出的结论必是真实的，因此，演绎推理可以作为严格的推理方法．
(1)两个角是对顶角，则两角相等． 大前提
∠1和∠2不相等． 小前提
∠1和∠2不是对顶角． 结论
(2)三角函数都是周期函数． 大前提
y＝tanα是三角函数． 小前提
y＝tanα是周期函数． 结论(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列． 大前提
通项公式an＝2n＋3时，若n≥2.
则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)． 小前提
通项公式an＝2n＋3表示的数列为等差数列． 结论 在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD(如图)，求证：ABCD为平行四边形，写出三段论形式的演绎推理．[证明过程] (1)连结AC.
(2)平面几何中的三角形“边边边”定理是：有三边对应相等的两个三角形全等，这一定理相当于：
对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等， 大前提
△ABC和△CDA的三边对应相等， 小前提
则这两个三角形全等． 结论
(3)由全等三角形的定义可知：全等三角形的对应角相等，这一性质相当于：对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等． 大前提
△ABC和△CDA全等． 小前提
则它们的对应角相等． 结论
用符号表示，就是△ABC≌△CDA?∠1＝∠2且∠3＝∠4且∠B＝∠D.
(4)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 大前提
直线AB、DC被直线AC所截，内错角∠1＝∠2.
小前提(已证)
则AB∥DC. 结论
同理有：BC∥AD.(5)如果四边形两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形． 大前提
四边形ABCD中，两组对边分别平行． 小前提
则四边形ABCD是平行四边形． 结论
用符号表示为：AB∥DC且AD∥BC?四边形ABCD为平行四边形．2.如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF.证明： 因为同位角相等，两条直线平行， 大前提
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A， 小前提
所以FD∥AE. 结论
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 大前提
DE∥BA，且FD∥AE， 小前提
所以四边形AFDE为平行四边行． 结论
因为平行四边形的对边相等， 大前提
ED和AF为平行四边形AFDE的对边， 小前提
所以ED＝AF. 结论
∵a>1，且x1又∵x1>－1，x2>－1，∴(x1＋1)(x2＋1)>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． 结论答案： ①③④ 课件16张PPT。1.在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，试在立体几何中，给出四面体性质的猜想．于是把结论类比到四面体P－A′B′C′中，我们猜想：三棱锥P－A′B′C′中，若三个侧面PA′B′、PB′C′、PC′A′两两互相垂直且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2 α＋cos2 β＋cos2 γ＝1. 一个等差数列{an}，其中a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(1≤n≤19，n∈N＋)．一个等比数列{bn}，其中b15＝1，类比等差数列{an}，{bn}有何结论？[解题过程] ∵在等差数列{an}中，a10＝0，
∴a1＋a19＝a2＋a18＝…＝a8＋a12＝a9＋a11＝0，
即a19－n＋an＋1＝0，
a18－n＋an＋2＝0，
a17－n＋an＋3＝0，
……∴a1＋a2＋…＋an
＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋a19－n.
∵b15＝1，∴b1b29＝b2b28＝…＝b14b16＝1，
即b29－nbn＋1＝b28－nbn＋2＝…＝b14b16＝1.
∴有b1b2…bn＝b1b2…b29－n(1≤n≤29，n∈N＋)． 通过计算可得下列等式：
23－13＝3×12＋3×1＋1；
33－23＝3×22＋3×2＋1；
43－33＝3×32＋3×3＋1；
?
(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.
将以上各等式两边分别相加，得
(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，由题目可获取以下主要信息：
①给出了求前n个正整数平方和的方法；
②类比此法写出求前n个正整数的立方和．
解答本题可类比所给求12＋22＋32＋…＋n3的和的解法，将n个等式分别相加即可求得．[解题过程] ∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1，
34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1，
44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1，
?
(n＋1)4－n4＝4×n3＋6×n2＋4×n＋1.
将以上各式两边分别相加，得(n＋1)4－14
＝4×(13＋23＋…＋n3)＋6×(12＋22＋…＋n2)＋4×(1＋2＋…＋n)＋n课件21张PPT。1.在△ABC中，三角形内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，
求证：△ABC为等边三角形．
证明： 由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C，
因为A、B、C为△ABC内角，所以A＋B＋C＝π，所以B＝.
由a、b、c成等比数列，有b2＝ac，
由余弦定理及b2＝ac，可得：b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，证明： (1)由于x≥1，y≥1，所以
x＋y＋≤＋＋xy?xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
将上式中的右式减左式，得
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
由于x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立． 如下图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F，
求证：AF⊥SC.[证明过程] ∵SA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴SA⊥BC，
又∵AB⊥BC，AB∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB，
∵AE?平面SAB，∴BC⊥AE，
∵AE⊥SB，SB∩BC＝B，∴AE⊥平面SBC，
∵SC?平面SBC，∴AE⊥SC，
又∵EF⊥SC，AE∩EF＝E，
∴SC⊥平面AEF，
∴SC⊥AF，即AF⊥SC.3.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1各棱长为4，E、F、G、H分别是AB、AC、A1C1、A1B1的中点，
求证：平面A1EF∥平面BCGH.
∴四边形A1FCG为平行四边形．
∴A1F∥GC.
又∵A1F?平面BCGH，CG?平面BCGH，
∴A1F∥平面BCGH.
又∵A1F∩EF＝F，
∴平面A1EF∥平面BCGH.课件11张PPT。用分析法证明命题“若P，则Q”时的模式如下：
为了证明命题Q为真，只需证明命题P1为真，从而有…
只需证明命题P2为真，从而有…
只需证明命题P为真，而已知P为真，故Q必真． [特别提醒] 当所证结论与所给条件之间的关系不明确时，常采用分析法证明，但更多的时候是综合法与分析法结合使用，先看条件能够提供什么，再看结论成立需要什么，从两头向中间靠拢，逐步接通逻辑思路．应用综合法和分析法证明问题时的注意点
1．运用综合法解题时，要保证前提条件正确，推理要合乎逻辑规律，只有这样才能保证结论的正确性．
2．利用分析法证明问题时一定注意语言要清楚、明白．1．在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P.若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立．用分析法与综合法来叙述证明，语气之间也应当有所区别．在综合法中，每个推理都必须是正确的，每个论断都应当是前面一个论断的必然结果，因此所用语气必须是肯定的；而在分析法中，就应当用假定的语气，习惯上常用这样一类语句：假如要A成立，就需先有B成立；如果要B成立，又只需C成立，……，这样从结论一直推到它们都是同所要证明的命题等效，而并不是确信它们是真实的，直至达到最后已知条件或明显成立的事实后，我们才能确信它是真的，从而可以推知前面所有与之等效的命题也都是真的，于是命题就被证明了．2．综合法和分析法各有优缺点．从寻求解题思路来看，综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效；分析法执果索因，常常根底渐远，有希望成功．就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述繁琐，文辞冗长．也就是说分析法利于思考，综合法宜于表述．因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解答或证明过程．有时要把分析法和综合法结合起来交替使用，才能成功．课件13张PPT。1．间接证明不是从正面论证命题的真实性，而是通过证明它的等价命题，间接地达到证明的目的，最常见的间接证明是反证法．2．间接论证的应用，有一定困难．因为在间接证明过程中，不得不暂时离开所讨论的论题，引进许多补充的材料(如结论的反面等)，致使全部过程复杂化．但这种方法我们务必学会，因为在学习中，时常会遇到这样的命题，当时并无直接证明它的论据，必须用间接法来证明它的真实性．
1．反证法的原理
反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．
反证法的主要依据是逻辑中的排中律．排中律的一般表现形式是：或者是A，或者是非A，即在同一讨论过程中，A和非A有一个且仅有一个是对的．不能有第三种情形出现．2．反证法证题的一般步骤
(1)假设：假设所要证明的结论不成立，即假设结论的反面成立；
(2)归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾，这是反证法的核心，在推理论证的过程中要有意识地制造矛盾和发现矛盾．反证法可以证明的命题范围相当广泛．如：唯一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等．常见的基本题型是：
(1)一些基本定理；
(2)“否定性”命题；
(3)“唯一性”命题；
(4)“必然性”命题；
(5)“至少”、“至多”命题．常见的“结论词”与“反设词”归纳如下： 1．如果待证命题的相反判断有多种不同情况，需对各种不同情况一一导出矛盾，加以否定，才能使原判断得到充分肯定．
2．有些待证命题的相反判断虽然只有一种情况，但在证明过程中有必要进行分类，首先要求分类必须详尽无遗漏，并且就各类一一导出矛盾．3．有些待证命题的相反判断是断言一个对象在某一范围内恒有某种属性，对此只要我们能够在该范围内举一特例导出矛盾，即可予以否定，从而达到证明的目的．
4．用直接法证明几何问题时，所画的图形应力求准确，但反证法恰好相反，我们往往故意画出不正确的甚至不可能存在的图形，才便于探索导出矛盾的途径．
5．有些命题在证明过程中，可以连续运用反证法，即反证法中套反证法．◎已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，用反证法证明：关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根．【错因】 利用反证法进行证明时，首先对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，则原命题成立．即反证法必须严格按照“反设→归谬→存真”的步骤进行．错解在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法．课件7张PPT。1．归纳是依据特殊现象推断一般现象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围．
2．归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，因而结论具有猜测的性质．3．归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的．
由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现是十分有用的．观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，正是科学研究的最基本的方法之一．1．完全归纳推理：由某类事物的全部对象推出结论，显然该结论一定正确．
2．不完全归纳推理：由某类事物的部分对象推出结论，该结论不一定正确．第一步：观察、分析所有特殊情况的共性，如图形中的点、线的个数、位置关系，数列中数的变化规律，一系列式子中共同的运算特点等等．
第二步：将第一步中观察到的共性进行推广，形成一般化的结论使之能够涵盖所有，如图形的结构或变化的规律，数列的通项公式，式子的运算结果等等．◎设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，计算：f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并判断猜想是否正确．
【错解】 f(1)＝12＋1＋41＝43，
f(2)＝22＋2＋41＝47，
f(3)＝32＋3＋41＝53，
f(4)＝42＋4＋41＝61，
f(5)＝52＋5＋41＝71，
f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，
f(8)＝82＋8＋41＝113，
f(9)＝92＋9＋41＝131，
f(10)＝102＋10＋41＝151，
43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都是质数．
由此可得，当n取任何非负整数时．f(n)＝n2＋n＋41的值都是质数．由此可判断猜想是正确的．
【错因】 错误在于最后对结论的判断，因为归纳推理是一种具有创造性的推理，结论具有猜测性质，不一定正确．结论是否正确，还需要经过逻辑证明和实践检验．【正解】 f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＝41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.
∵43,47,53,61,71,83,97,113,151都为质数，
∴归纳猜想：当n∈N*时，f(n)＝n2＋n＋41的值都为质数．
∵n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝40×(40＋1)＋41＝41×41.
∴f(40)是合数，
因此，由上面归纳推理得到的猜想不正确. 课件8张PPT。1．三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系，从而得到了第三个命题——结论．
2．三段论推理的结论正确与否，取决于两个前提是否正确，推理形式(即S与M的包含关系)是否正确．
[特别提醒] 运用三段论推理时，常可省略大前提或小前提，对于复杂的证明，也常把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提．1．演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．
2．在演绎推理中，前提与结论之间存在着必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．
3．演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少有创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．演绎推理与合情推理的有机结合——探索性演绎法，即探索性演绎法是在演绎推理的基础上发展起来的一种合情推理的方法．◎如图，在△ABC中，AC＞BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD＞∠BCD.
【错解】 证明：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC＞BC，所以AD＞BD，所以∠ACD＞∠BCD.
【错因】 错解原因在于虽然运用的大前提正确：在同一个三角形内，大边对大角；而AD与BD并不是同一个三角形的两条边，即小前提并不成立，所以推理过程错误．
【正解】 证明：因为CD⊥AB，
所以∠ADC＝∠BDC＝90°.
所以∠A＋∠ACD＝∠B＋∠BCD＝90°.
所以∠A－∠B＝∠BCD－∠ACD.
在△ABC中，因为AC＞BC，所以∠B＞∠A，即∠A－∠B＜0，
所以∠BCD－∠ACD＜0，所以∠ACD＞∠BCD.课件8张PPT。1．类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；
2．类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；
3．类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．类比推理的思维过程大致为：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．
该过程包括两个步骤：
(1)找出两类对象之间的相似性或一致性；
(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个明确的命题，即猜想．
[说明] 一般地，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠．区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由一般到一般的推理．
联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．1．平面图形与空间几何体的类比方向[说明] 运用类比的方法可帮助我们发现新问题，探索新知识，不少定理、公式的提出皆通过类比，并经过证明得到的．在几何中常类比某些平面图形的性质，得出相应空间图形的性质．2．其它数学知识间的类比
(1)实数相等关系与不等关系：方程与不等式．
(2)实数的运算律与向量的运算律．
(3)等差数列与等比数列的定义及性质．
(4)三种圆锥曲线的定义与性质．
(5)正弦函数、余弦函数的性质．
(6)不同类知识点之间的相似性质和结论．◎在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边长为a，b，c，则有c2＝a2＋b2.类比到立体几何中的三棱锥有何结论？
【错解】 在三棱锥V－ABC中有
S△VAB2＋S△VBC2＋S△VAC2＝S△ABC2【错因】 把平面几何中的结论类比到空间，虽然将边的平方和类比为侧面积平方和，但忽略了直角三角形，类比到空间应有三条侧棱两两垂直．
【正解】 在三棱锥V－ABC中，VA⊥VB⊥VC
则有S△VAB2＋S△VBC2＋S△VAC2＝S△ABC2 课件7张PPT。1．从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．
2．用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹．
3．由于综合法证明命题“若A则D”的思考过程可表示为如下图所示：
故要从A推理到D，由A推演出的中间结论未必惟一，如B、B1、B2等，可由B、B1、B2能推演出的进一步的中间结论则可能更多，如C、C1、C2、C3、C4等等．最终能有一个(或多个)可推演出结论D即可．
4．在综合法中，每个推理都必须是正确的，每个论断都应当是前面一个论断的必然结果．因此所用语气必须是肯定的．◎如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H是垂足，
求证：B1H⊥AD1
【错解】 证明：∵B1H⊥D1O，D1O?面AD1C
∴B1H⊥面AD1C
又∵AD1?面AD1C
∴B1H⊥AD1
【错因】 上述证法错在对线面垂直的判定定理掌握不准确，而出现了由B1H⊥D1O推出B1H⊥面AD1C.事实上要得线面垂直，必须直线垂直于平面内的两条相交直线．【正解】 证明：连结BD，
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
又B1B⊥面ABCD，AC?面ABCD，
∴B1B⊥AC，
∵B1B∩BD＝B，
∴AC⊥面BB1D1D，
而B1H?面BB1D1D，
∴AC⊥B1H，
又B1H⊥D1O，
D1O∩AC＝O，
∴B1H⊥面AD1C.
又∵AD1?面AD1C，
∴B1H⊥AD1. 部分重点中学
例谈分析法在解题中的应用
分析法是数学中常用到的一种直接证明的方法，从推理的程序上来讲，它是一种从未知到已知（从结论到题设）的逻辑推理方法，具体说，就是先假定问题的结论成立，再利用公理、定义、定理和公式，经过正确的、严谨的一步步地推理，最后得到一个显然成立的关系，即已证的命题或题设的已知条件，从而判定问题的结论成立。分析法的应用较广，通常在几何、三角、不等式的证明中经常采用。举例说明。
例1下面是真命题还是假命题，用分析法证明你的结论。
命题：若。
解：此命题是真命题。
因为，
。
要证成立，只要证，
即证，也就是证，
即证
因为
所以成立。
故原不等式成立。
评注：应用分析法证题时，语气总是假定的，通常的语气有：“若要证明A，则先证明B；若要证明B，则先证明C，……”或“若要A成立，必先B成立；若要B成立，必先C成立，……”。值得注意的是，在证明过程中从一个命题推到下一个命题时，必须注意它们之间的等效性。
例2求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大。
证明：设圆正方形的周长为，则圆的面积为，正方形的面积为。
因此，本题只须证明：。
为了证明上式成立，只须证明：，
两边同乘以正数，得。
因此，只须证明。
因为上式是成立的，所以。
这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大。
例3已知，且
①
②
求证：。
证明：因为,
所以将①、②两式代入上式，得： ③
另一方面，要证，
即证，
即证，
即证，
即证，
由于上式与③式相同，于是问题得证。
例谈反证法在解题中的应用
反证法是一种间接证法.它是数学学习中一种很重要的证题方法.反证法证题的步骤大致分为三步：
（1）反设：作出与求证的结论相反的假设；
（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；
（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.
其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等.
一、证明“至多”或“至少”问题
例１ 已知函数对其定义域内的任意两个实数，当时，都有．求证：至多有一个实数使得．
证明：假设存在两个不等实数，使得．
不妨设，由条件可知，与式矛盾．
故至多有一个实数使得．
二、证明“不可能”问题
例2 给定实数，且，设函数，求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于轴．
证明：假设函数图象上存在两点，使得直线平行于轴．
设且．由，
得，
解得．与已知矛盾．
故经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.
例3 双曲线的两支为，正三角形的三顶点位于此双曲线上．求证：不可能在双曲线的同一支上．
证明：假设正三角形的三顶点位于双曲线同一支如上，其坐标分别为，不妨设，则一定有．
于是
．
因此，．这说明是钝角三角形，与为正三角形矛盾．故不可能在双曲线的同一支上．
三、证明“存在性”或“唯一性”问题
例4 已知函数的图象过点．问是否存在常数，使不等式对一切实数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
解：假设存在符合条件的．
的图象过，
，即．
又对一切实数都成立，
令，则．
，，．
．
由得
据题意，对于任意实数，与都成立．
对于，若，则，不合题意；若，欲使的解集为，则需即解得．
对于，再考虑，把代入，得，其解集为．
所以，存在满足条件的，其中．
例谈综合法在解题中的应用
综合法是一种常用的解题思考方法，它是一种从已知到未知的逻辑推理方法。具体说，就是从题设中的已知条件或已证的命题出发，经过一系列的逻辑推理，最后推出所要求证的结论成立。在中学数学中，综合法在不等式、几何、三角、解析等证明中有着广泛的应用。举例说明。
例1.已知，求证：。
.证明：
因为同号，且时二式都为，
。
例2已知，求证：。
证明：
，
因为，
，
，
。
例3设是空间四边形，，求证：。
证明：设的中点为，连结。
因为，
，
同理，
又，
，
又
。
例4过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点。求证：。
证明：由题意可知，焦点为，直线的斜率为，直线方程为，
即。
联立，消得：
，
=。
=。
由以上几例可知，在应用综合法证题时，论断过程的语气是肯定的，并且每一步的推理都必须是正确的。尤其是应用综合法证明不等式、三角等问题时，往往从已知的一些公式、等式出发进行推理。但对几何问题的证明，通常先用分析法探明解题途径，然后用综合法表达证明过程，当用分析法探路的过程，一般就不用书写了。
分析法在解题中的应用
好多数学问题，条件和结论之间的关系比较复杂，根据既定法则和事实条件，由因导果，一直推究下去，有时会在中途迷失方向，使解题无法进行下去．在这种情况下，可以运用分析的解题方法，执果索因、逆向思考问题，在分析过程中去寻觅结论成立的一些条件（隐含条件、过渡条件等），由欲知确定需知，求需知利用已知，往往会收到“柳暗花明又一村”的效果．
一、分析法寻找解题思路
解题如果仅局限于由条件到结论的固定思维模式，很容易造成思维过程的单向定势，适时采用由结论到条件的分析方法逆向训练，有利于养成双向考虑问题的良好习惯．
例１ 设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O．
解析：要证明直线AC经过原点O，只要证明原点O在直线AC上，也即直线AC的方程没有常数项．
抛物线的焦点为，经过点的直线AB方程可以设为，
代入抛物线方程，得．
令，
则是上述方程的两个根，
由根与系数的关系，得．
∵轴，且点C在准线上，
∴点坐标是．
从而直线AC的方程为，
整理，得．
显然满足上述方程，故直线AC经过原点O．
评注：由繁向简的解题习惯促使此类问题用分析法逆推寻找解题思路．
二、分析法明确解题途径
在已知与结论之间有时需要用分析去衔接，此时，分析过程显得十分的重要．
例2 已知都是正数，求证：．
解析：从结论结构出发，寻找条件与结论之间需要的通道：由于均为正数，可将待证结论两边平方，得
．
两边乘以4，得
．
设，，，则上式正是的形式，由于，
因此可以作出不等式 ①，
其中．
上述不等式又可化为，
故不等式①对恒成立．
所以，有，这就找到了证明不等式的途径，即从开始，用顺推的方法证明之．
剖析演绎推理证明的几种常见错误
1.偷换论题
例1求证四边形的内角和等于。
证明：设四边形是矩形，则它的四个角都是直角，有
，
所以，四边形的内角和等于。
剖析：上述推理过程是错误的。犯了偷换论题的错误。在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形。
正证：对于任意四边形，连结对角线，则得。
因为三角形内角和等于，
，，
，
又，，
，
四边形的内角和等于。
2.虚假论据
例2已知和是无理数，试证也是无理数。
错证：依题设和是无理数，
而无理数与无理数的和是无理数，
所以也是无理数。
剖析：上述推理过程是错误的。犯了虚假论据的错误。使用的论据是：“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数。因此，原题的真假性仍无法断定。
正证：假设不是无理数，那么它就是有理数，
于是，存在互质的正整数，使得，从而有，
因此，，
即，
，
即，
，
。
因为为互质的正整数，
为有理数，
而为无理数，
矛盾，故假设不成立，
也是无理数。
3.循环论证
例3在中，求证：。
错证：因为，
=。
剖析：上述推理过程是错误的。犯了循环论证的错误。本题的论证就是人们熟知的勾股定理。上述证明中用了“”这个公式，按照现行中学教材系统，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据，犯了循环论证的错误。
正证：分别以的三边
为边向外作正方形。连
结，作。显然，以为旋转中
心，将逆时针旋转，则与
重合，于是≌。
因为正方形同底等高，
且矩形同底等高，
，
即。
同理，，
即。
，
即。
4.不能推出
例4设。
求证：。
错证：因为=，
。
剖析：上述推理过程是错误的。犯了不能推出的错误。因为只能推出。至于关系式是否唯一地成立，却无法断定。因此，只有进一步推出，即，原题才能得证。
正证：因为函数在区间上是增函数，
又，且，
，
。
又因为=，
。
课件10张PPT。克里特人伊壁孟德 伊：所有的克里特人都是撒谎者。
M：他说的是真的吗？如果他说的是实话，那么克里特人都是撒谎者，而伊壁孟德是克里特人，
他必然说了假话。他撒谎了吗？如果他确实撒了谎，那么克里特人就都不是说谎的人，因而伊壁孟德也必然说了真话。他怎么会既撒谎，同时又说真话呢？说谎者悖论 M：我们陷入了著名的说谎者悖论之中。下面是它的最简单的形式。
甲：这句话是错的。
M：上面这个句子对吗?如果是对的，这句话就是错的！如果这句话是错的，那这个句子就对了！像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。柏拉图—苏格拉底悖论 柏拉图：下面苏格拉底说的话是假的。
苏格拉底：柏拉图说了真话！唐·吉诃德悖论 M：小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。问，你来这里做什么？M：如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。
M：一天，有个旅游者回答——
旅游者：我来这里是要被绞死。
M：这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。
M：为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说——
国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。梵学者（印度预言家）的预言 梵学者能用他的水晶球看到未来吗？试图预言未来就会导致一种新的奇异的逻辑悖论。
一天梵学者与他的十多岁的女儿苏椰发生了争论。
苏椰：你是一个大骗子，爸爸。你根本不能预言未来。
学者；我肯定能。
苏椰：不，你不能。我就可以证明它！苏椰在一张纸上写了一些字，把它折起来，再将它压在水晶球下。
我写了一件事，它在3点钟以前可能发生，也可能不发生。如果你能预言它是发生，还是不发生，在我毕业时你就不用给我买你答应过要给我买的汽车了。
苏椰：这是一张白卡片。如果你认为这件事会发生，就在上面写“是”；如果你认为它不发生，你就写“不”。要是你写错了，你答应现在就买辆汽车给我，不要拖到以后好吗？
学者：好吧，苏椰，这可是一项定约啊。梵学者（印度预言家）的预言 M：梵学者在卡片写了一个字。到3点钟时，苏椰把水晶球下面的纸拿出来，高声读道：苏椰：在下午3点之前你将写一个“不”字在卡片上。
学者：你捉弄了我。我写的是“是”，所以我错了。可是，我要是写“不”在卡片上，我也错了。我根本不可能写对的。
苏椰：我想要一辆红色的赛车，爸爸，要带斗形座的梵学者（印度预言家）的预言 意想不到的老虎 公主：父王，我可以和迈克结婚吗？
国王：我亲爱的，如果迈克打死这五个门后藏着的一只老虎，你就可以和他结婚。迈克必须顺次序开门，从1号门开始。他事先不知道哪个房间里有老虎，只有开了那扇门才知道。这只老底将是料想不到的。迈克：如果我打开了四个空房间的门，我就会知道老虎在第五个房间。可是，国王说我不能事先知道它在哪里。所以老虎不可能在第五个房间里。
五被排除了，所以老虎必然在其余四个房间之一。那么在我开了三个空房间之后，又怎么样了？老虎必然在第四个房间。可是，这样它就不是预料不到的了。所以四也被排除了。意想不到的老虎 按同样的理由，迈克证明老虎不能在第三、第二和第一个房间。迈克十分快乐。迈克：哪个门的背后也不会有老虎。如果有，它就不是料想不到的。这不符合国王的允诺。国王总是遵守诺言的。
M：迈克证明了不会有老虎之后，就冒冒失失地去开门了。使他惊骇的是，老虎从第二个房间中跳了出来。这是完全出乎意料的。这一切表明国王遵守了他的诺言。
迈克究竟错在哪里？意想不到的老虎 归纳推理与类比推理异同点比较
合情推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．在解决问题的过程中，合情推理具有猜侧和发表结论，探索和提供思路的作用．有利于创新意识的培养．在能力高考的要求下，推理方法就显得更加重要．在复习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识，使得问题的解决有章有法，得心应手．合情推理包括归纳推理和类比推理.
一.归纳推理和类比推理的联系:
归纳推理与类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．由这两种推理得到的结论都不一定正确,其正确性有待进一步证明.
二.归纳推理和类比推理的区别:
(一) 归纳推理
1.归纳推理定义: 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
说明：归纳推理的思维过程大致如下：
2.归纳推理的特点:
（1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．
(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具．
(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法.
3.归纳推理的一般步骤：
①通过观察个别情况发现某些相同本质；
②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．
说明：归纳推理基于观察和实验，像“瑞雪兆丰年”等农谚一样，是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果．物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星运动定律等，也都是在实验和观察的基础上，通过归纳发现的．
(二).类比推理（以下简称类比）
1.类比推理定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
2. 类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
3.说明：类比推理的思维过程大致如下图所示：
类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物, 同时,类比推理比归纳推理更富于想像,因而也就更具有创造性. 人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理，公式都是通过类比提出来的,工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的．因此，类比推理已成为人类发现发明的重要工具.
例1. 如图，①，②，③，…是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n个图形中的花盆数an= ．
【答案】 an=3n2-3n+1.
【解析】仔细观察发现:图案①的花盆数为:1个, a1=1; 图案②的花盆中间数为3,上下两行都是2个, a2=2+3+2; 图案③的花盆中间数为5,上面两行由下到上分别递减1个,而且关于中间行上下对称, a3=3+4+5+4+3;……;可以猜想: 第n个图形中的花盆中间数为2n-1,上面每行由下到上分别递减1个,最上面有n个,而且关于中间行上下对称,因此an=n+(n+1)+…+(2n-1)+…+(n+1) + n=3n2-3n+1.
【评析】上例是利用归纳推理解决问题的.归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的．观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一.
例2.如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点． 求证：++为定值．
分析 考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边 AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC于A1、B1，求证+为定值”．这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1．另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1．
证明：如图，设平面OA1 VA∩BC＝M，平面OB1 VB∩AC＝N，平面OC1 VC∩AB=L，则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1 ∽△ LCV．得
++=++。
在底面△ABC中，由于AM、BN、CL交于一点O，用面积法易证得：
++=1。∴++=1。
【知识小结】类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象的其他属性亦类似的一种推理方法，例如我们拿分式同分数来类比,平面几何与立体几何中的某些对象类比等等．我们必须清楚类比并不是论证，它可以帮助我们发现真理．
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．
推理与证明中的创新题
推理与证明在高考中是无处不在，不可避免的。因为数学就是一种推理，将题目中的要求与自己所学的知识进行比较，归结转化为自己熟悉的知识，将熟悉的内容与题目中的新事物进行比较，找到异同点得到结论，然后证明所得的结论，就是推理与证明的解题过程。下面根据几个具体的题目来说明他们的应用。
1：做下面实验，假设若干杯甜度相同的糖水，经过下面操作后，糖水的甜度（浓度）是否改变？
1）①：将所有杯糖水倒在一起
②：将任意多杯糖水倒在一起
2）：将某杯水中加入一小勺糖，糖全部溶化类比这一试验，你能得到数学上怎样的关系是？
分析：1）上述实验表示，将任意多杯甜度相同的糖水，倒在一起后，糖水的甜度不变，由此类比若将看作倒前糖水的甜度，则倒后甜水的甜度为从而得（）
2）：设某杯水甜度为，加入糖的质量为（0）由于糖全溶化后甜度为，糖变甜了，则
解：1）得出数学上某些定理
若，则
2）得不等式：若，且、则
点评：本题由实验过程猜测实数的某些定理及不等式关系，这用了归纳推理及类比推理的方法，有助于培养学生的实验能力及合情推理能力
2：1997年11月8日中央电视台正在播放十分壮观的长江三峡工程大江截流的实况，截流从上午9：00开始，当时龙口的水面宽度40米，水深若干米，每隔一段时间播音员报告龙口的水面宽度和工程的进展情况，现记录部分时段公布的数据如下：
时间
9：00
10：00
11：00
12：00
…
16：00
龙口宽
40m
39m
…
34m
工程进度
1m
数据列
…
预计下午16：00合拢，现根据截至12：0的部分数据
1）学生甲将工程进度模拟成等差数列，=1 ，=5
2）学生乙将工程进度模拟成等比数列， =1 ， =5
试问：通过计算，学生甲和学生乙的结果分别说明的什么？（指解是否如期合拢）
分析：本题主要根据甲、乙分别对工程进度猜想的数列模式进行运算，学生运算的结果与实际情况相比较，寻找更合理的结论。
解：学生甲的方法：将工程进度的模拟成等差数列
以=1，=∴
∴
说明按甲模拟的结果不能如期合拢
学生乙的方法：将工程进度模拟成公比为的等比数列
由=1，= 得
∴
说明按乙模拟的结果可以提前完成
点评：生活中，通过报纸、电视、广播、网络等手段，可获取相当多的数据与信息，若其可看作数学问题，则可用合情推理的方法获得结论，再以证明的方法加以验证，从而真正让数学与生活中的方方面面结合起来。
3：在中，与，求证：,那么在四面体中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由。
分析：首先利用综合法证明结论正确，然后依据直角三角形与四面体之间形状的对比猜想结论，并予以证明。
解：如右图所示，由射影定理
, A
∴
而 B D C
∴
猜想：类比猜想四面体中两两垂直，平面与，则：
证明：如图、连接交与、连接 A
∵ ∴平面
而面,∴ B E F
在中，∴
在中∴
∴,∴猜想正确
点评：类比推理是根据两个对象有一部分属性类比推出这两个对象其属性(为)，类似的一种推理方法。
4、有对称中心的曲线叫做有心曲线，显然椭圆、双曲线都是有心曲线，过有心圆锥曲线中心的弦叫有心圆锥曲线的直径
定理：过圆：上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线，则两条连线所在直线的斜率之积为定值-1。
1）：写出定理在椭圆中的推广，并加以证明
2）：写出定理在双曲线中的推广，你能从上述结论中得到有心圆锥曲线（包括椭圆、双曲线、圆）的一般性结论吗？请写出你的结论！
分析：本题主要由圆上的点与直径端点的连线的关系，类比到椭圆、双曲线上的点与直径端点的连线的位置关系，然后对它们的关系进行归纳、整理。
解：1）设椭圆上长轴的两个端点分别为A、B。由椭圆的对称性可知，A、B关于原点对称，所以A、B两点的坐标，分别为A，B，P是椭圆上任意一点，且
∵A、B、P三点都在椭圆上，所以有
既 ①
既 ②
②-①得
而 ，
∴
所以定理在椭圆中的推广为
已知椭圆上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点的连线，叫两条连线所在直线的斜率之积为定值
2）定理在双曲线中的推广应为：
过双曲线 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线，叫两条连线所在直线的斜率之积为定值
3）定理在有心圆锥曲线中的推广为：
过有心曲线 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点的连线，则两条连线所在直线的斜率之积为定值
演绎推理的三种类型
“特殊性存在于一般性之中”这个哲学原理道出了演绎推理的实质；其实，我们学习的演绎推理实际上就是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．显然，只要一般性原理正确，推理形式不出错误，那么由此产生的结论一定正确；这也正是我们证明数学结论、建立数学体系的重要的思维过程；具体到一个数学问题，我们使用演绎推理时，常常表现为下述三种类型，这里向你介绍，也许对你深入理解演绎推理会有所帮助．
一、显性三段论
在证明过程中，可以较清楚的看出“大前提”、“小前提”、“结论”；结合演绎推理我们可以知道结果是正确的．也是演绎推理最为简单的应用．
例1 当a，b为正数时，求证：．
证明：因为一个实数的平方是非负数，
而是一个实数的平方，所以是非负数，即．
所以，．
评析：在这个问题的证明中，三段论是很显然的；大前提：“一个实数的平方是非负数”，小前提：“是一个实数的平方”，结论：“是非负数”，从而产生最后结果；由于大前提是人所共知的真理，推理形式正确，因而，结论正确．
二、隐性三段论
三段论在证明或推理过程中，不一定都是清晰的；特别是大前提，有一些是我们早已熟悉的定理、性质、定义，对这些内容很多时候在证明或推理的过程中可以直接利用，不需要再重新指出；因此，就会出现隐性三段论．
例2 判断函数的奇偶性．
解：由于，且，
故函数为奇函数．
评析：在这个推理过程中，好似未用到演绎推理的三段论，其实不然，只是大前提“若，则函数奇函数；若，则函数是偶函数”是大家熟悉的定义，推理过程中省略了．这是三段论推理的又一表现形式．
三、复式三段论
一个复杂问题的证明或推理，往往不是一次三段论就可以解决的，在证或推的过程中要多次使用三段论，从一个熟悉的大前提出发，产生一个结论；而这个结论又是下一步的大前提，依次递推下去，最终产生结论，这就是所谓的复式三段论．可以看出我们现在遇到的证明或推理的过程，基本上都是复式三段论．
例3 若数列的前项和为，求证：数列为等差数列．
分析：本题的论证共有三层，即三次使用三段论推理，请看：
第一层，大前提“若是数列的前项和，则”；小前提“数列的前项和为，则”；结论“”；
第二层，大前提“对于非零数列，则有”；小前提“满足的数列有”；结论“”；
第三层，大前提“对于数列，若常数，则是等差数列”；小前提“由，得为常数”；结论“数列为等差数列”，在这三层中，层层深入，步步逼近，慢慢的向我们要论证的结论靠拢，这是一种很重要且很实用的分析思维过程．
点拨“反证法”
反证法是一种重要的间接证明方法，下面加以系统归纳，供参考．
1．宜用反证法证明的题型
①易导出与已知矛盾的命题；②否定性命题；③惟一性命题；④至少至多型命题；⑤一些基本定理；⑥必然性命题等．
2．步骤
①假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立（反设）；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾（归谬）；③由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论成立（结论）．
3．典例分析
例 求证：a、b、c为正实数的充要条件是，且和．
分析：由a、b、c是正实数，显然易得，，．即“必要性”的证明用直接证法易于完成，并不需要用反证法．证明“充分性”时，要综合三个不等式推出a、b、c是正实数，有些难度，于是，试试反证法．
证明：（1）证必要性．（略）
（2）证充分性．假设a、b、c不全为正实数（原结论是a、b、c都是正实数），由于，则它们只能是二负一正．
不妨设且且，
又由于，
∵，∴．①
又∵，∴．②
而，
∴，与的假设矛盾．
∴假设不成立，原结论成立，即a、b、c均为正实数．
说明：如果从①处开始，如下进行推理：
∵，即，又，∴．
则，与①式矛盾．
这样，矛盾的焦点就发生在两部分推理的结论上了，即自相矛盾；还可以让矛盾的焦点发生在已知条件上，从②处开始，于是，与已知矛盾，这个途径最简捷．
评注：反证法矛盾的焦点，可以是和“已知条件”或“定义”、“公理”、“定理”、“反面假设”矛盾，也可以自相矛盾（即两部分推理的结果）．其本质是，先利用的和剩余者之间的矛盾．究竟先利用哪些好，应根据题目的具体情况决定．顺其自然，因势利导，不必拘泥于一格．
类比推理五角度
大数学家欧拉说过，类比是伟大的引路人．类比推理是合情推理的一种重要思维方式，是对知识规律探索中常用的思维方式，下面结合类比推理的五个角度分别给以例析．
一、概念类比
例1定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列｛a｝等和数列，且，公和为5。那么的值为_______________，这个数列前n项和的计算公式为_______________。
解：∵｛a｝是等和数列，，公和为5，
∴，则，，…知，（n∈N*）。
∴＝3，数列｛a｝形如：2，3，2，3，2，3，……。
∴。
点评：这是一道新定义题，主要在于理解透定义，准确的给出对于n为奇数时，，本题类比等差数列定义给出“等和数列”定义，解决此类问题要认真理解所给出的定义，结合所学知识寻求正确解决方法。
二、性质类比
例2⑴在等差数列 中，若，则有等式
成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立；
解析：，
又∵，
∴，
若，同理可得：，
相应地：在等比数列中，则可以类比推得：
.
点评：通过等差数列的性质类比等比数列的性质，实质是通过等差数列的等差中项公式，类比到等比数列的等比中项公式。本题中把握等差数列的性质，类比等比数列的性质，体现性质的类似性，准确进行类比推理，类比推理是发现、探索新规律的必备知识，能充分体现考生观察、分析，处理问题的能力.
三、运算方法类比
例3设，利用推导等差数列的前n项和的方法——倒序相加法，求的值。
解析：由，
设，
又，
所以：， ∴.
点评：本题是对过去所学方法进行类比，然后运用到要做的题目中.
四、结构形式的类比
例4已知函数有如下性质：如果常数，那么函数在上是减函数，在上是增函数
（1）如果函数的值域是，求；
（2）研究函（常数）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后的函数的单调性（只须写出结论不必证明），并求函数（是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你研究得到的结论）。
解析：（1）因，故，即，则。
（2）设，则，
当时，，即，故函数在区间上单调递减函数；当时，，即，函数在区间上单调递增函数；又因函数是偶函数，故同理可证：函数在区间上是单调递减函数，函数在区间上是单调递增函数。
（3）因，故函数和推广后的结论是：，①当是奇数时，函数在区间及区间上单调递减函数；函数在区间及上是单调递增函数；
②当是偶数时，函数在区间及区间上单调递减函数；函数在区间及上是单调递增函数。
又因函数，故函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，所以当时，函数（当且仅当取等号），即函数在处取最小值；当或时，函数取最大值，即函数在或处取最大值。
点评：本题在解答时，借助题设给出的特殊情形，即对函数的指数从1，2的特殊数值，向一般情形（任意正整数）的纵深进行推广，从而达到了对观察、类比、归纳、探究等能力进行了有效的考查。本题以函数的单调性、最值为载体，以考查能力为主线精心设置问题情境，解答时拾阶而上，逐步深入，体现了高考以考查能力为宗旨的命题原则，是一道难得的好题。
聚焦反证法
反证法是间接证明的一种基本方法，常常是解决某些“疑难”问题的有力工具．对于一些用直接证明的方法难以证明的结论，常采用反证法．熟练掌握并运用反证法，对提高同学们的解题能力大有裨益．下面就反证法的要点进行归纳整理．
1．定义：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
2．反证法的基本思想是：否定结论就会导致矛盾．它可以用下面的程序来表示：“否定———推理———矛盾———肯定．”
“否定”———假设所要证明的结论不成立，而结论的反面成立．
“推理”———从已知条件和假设出发，应用一系列的论据进行推理．
“矛盾”———通过推导，推出与实际“需要”不符、与“公理”矛盾、与“已知定理”矛盾、与“定义”矛盾、与“题设”矛盾、自相矛盾等．
“肯定”———由于推理过程正确．故矛盾是由假设所引起的，因此，假设是错误的，从而肯定结论是正确的．
3．应用反证法的原则：正难则反，即如果一个命题的结论难以用直接法证明时可考虑用反证法．
4．宜用反证法证明的题型：①易导出与已知矛盾的命题；②一些基本定理；③“否定性”命题；④“惟一性”命题；⑤“必然性”命题；⑥“至少”、“至多”命题等．
5．注意事项：（１）应用反证法证明命题时，反设必须恰当．如“都是”的否定是“不都是”、“至少一个”的否定是“不存在”等．
（2）用反证法证明时最好在开篇注明“下面用反证法证明”，以告知读者按反证法的思路阅读或评卷．
下面举例说明“反证法”在证题中的应用．
例1 设的公比分别为．
假设是等比数列，则有只需证．
由于，
而．
从而有，而，
故有，即，这与已知相矛盾．因此假设不成立，故不是等比数列．
点评：当遇到结论为否定形式的命题时，常常采用反证法．
例2 求证：两条平行线中一条与一个平面相交，那么另一条也与这个平面相交．
已知：平面，如图1所示．
求证：直线和平面相交．
证明：假设和平面不相交，即或．
（1）若，因为，
所以，这与相矛盾．
（2）如果，因为，所以和确定一个平面，显然平面与平面相交．
设，因为，所以．
又，从而且．
故，这与矛盾．
由（1），（2）可知，假设不成立．故直线与平面相交．
例3 求证：正弦函数没有比小的正周期．
证明：假设是正弦函数的周期，且，则对任意实数都有成立．
令，得，即，从而对任意实数都有，这与矛盾．
所以正弦函数没有比小的正周期．
例4 今有50位同学，男女各一半，围坐一圈，是否存在一种座位的安排方法，使得每一位同学左右两侧的两位同学为一男一女？证明结论．
解：不存在这样的座位安排．
证明：假设存在这样的安排，则每一位同学必与一同性别的同学相邻，若以Ｍ表示男同学，Ｗ表示女同学，则每一对相邻而坐的男性（女性）同学的左右两侧必为两对相邻而坐的女性（或男性）同学，如图2所示，因此男性或女性同学数应是偶数，这和男性或女性同学数各占25矛盾，所以这种安排方法不存在．
走进高考中的“合情推理”
法国科学家庞加莱说过：“逻辑和直觉各有其必要的作用．惟有逻辑能给我们以可靠性，它是证明的工具，而直觉则是发明的工具．”在近年来的数学高考试题中，除考查演绎推理能力外，也独具匠心地设置了一些问题，考查学生的合情推理能力．
一、归纳
所谓归纳，是指通过对特例的观察和综合去发现一般规律．归纳过程的典型步骤是：先在诸多特例中发现某些相似性，再把相似性推广为一个明确表述的一般命题，最后对该命题进行检验或论证．归纳是发现和认识规律的重要手段．
１．观察图形，寻找规律
例1 （高考广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按如图所示方式固定摆放．从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则________； _________（答案用n表示）．
解析：，观察上图可知，，，下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数，而第一层的个数满足1，3，6，10，…，通项公式是，所以，
所以有，，
，，．
以上各式相加，得
．
所以应该填：；．
点评：解决问题的关键是找到相邻两项的关系．求的通项公式时运用累差法思想求解．可见高考题多数是依据课本知识中的思想或方法来设计题目．
2．分析式子，寻找规律
例2 （高考湖南卷·理）设，，，，，，则（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解析：本题若通过递推关系，将前2004项逐一求出是不现实的．这时需要找到解这个问题的一般方法，不妨考虑简单的情形．
，，，，，
由此继续求导下去，四个一循环，
又，所以．故选（C）．
二、类比
大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似．”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面的一致性说清楚．类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移．
１．类比旧知识，推出新结论
例3 （高考湖北卷·文）半径为的圆的面积，周长，若将看作上的变量，则． ①
①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为的球，若将看作上的变量，请你写出类似于①的式子：
____________________________， ②
②式可用语言叙述为__________．
解析：由提供的形式找出球的体积、表面积公式，类似写出
，．
所以填：；
球的体积函数的导数等于球的表面积函数．
点评：本题主要考查类比意识和发散思维，注意将圆的面积与周长同球的体积与表面积进行类比．
2．类比新知识，推出新结论
例4 （高考四川卷改编）非空集合关于运算?茌满足：（1）对任意的，都有，（2）存在 ，都有，则称关于运算为“融洽集”．现给出下列集合和运算：
①Ｇ＝｛非负整数｝，为整数的加法．
②Ｇ＝｛偶数｝，为整数的乘法．
③Ｇ＝｛平面向量｝，为平面向量的加法．
④Ｇ＝｛二次三项式｝，为多项式的加法．
其中Ｇ关于运算为“融洽集”的是_______．（写出所有“融洽集”的序号）
解析：解决问题的关键是抓住“融洽集”的定义及条件，利用已知信息进行迁移．条件（1）说明经过的运算后集合的封闭性，条件（2）说明在已知集合中存在一个特殊的元素（需要找出来加以证明）．
在①中，两个非负整数相加仍然是非负整数，e为非负整数集中的０．
在②中，要满足，则，显然．
在③中，两个平面向量相加仍然是平面向量，e为零向量．
在④中，此时的，不是二次三项式．
故填①③．
运用归纳推理 解决数学问题
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，历史上许多数学结论的发现，往往都是通过归纳推理获得的．归纳推理对我们的数学学习也有着重要的指向作用，下面例谈如何运用归纳推理来解决一些数学问题．
例１ 设在上定义的函数，对都有，且，，试归纳出的值．
分析：我们先由已知条件求出的值，分析其特征，然后归纳猜想出的值．
解：，，，
，，
，，
．
由此观察可发现，函数可能是一个以6为最小正周期的周期函数．
故猜想．
点评：归纳推理主要是通过观察、分析某类事物的部分对象，归纳其特征，然后猜想该类事物都具有这些特征，它的关键在于观察过程中如何发现规律．因此，为了更好地进行归纳推理，除要求同学们具备敏锐的观察力外，还要具备一定的数学知识，才能在数学的天空中展开丰富的想象．当然，由归纳推理得到的结论是否正确还有待运用演绎推理来证明，但归纳推理可以为我们的研究提供一种方向，避免研究时的盲目性．
例2 设是集合中所有的数从小到大排列的数列，且，，，，，，…．
将数列各项按照上小下大、左小右大的原则写成如右所示的三角形数表：
（1）写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数；
（2）求出．
分析：对于（1），只需按照集合中元素特征写出三角形数表中前三行各数的指数表示，并观察指数规律，据此归纳、抽象出第4、第5两行数的指数规律，即可写出第4行、第5行各数．对于（2），关键是判断出是这个三角形数表中第几行第几个数，进而便可用（1）所得的指数规律求出．
解：（1）将前三行各数写成的形式：第1行：；第2行：，；第3行：，，；由此归纳猜想：第4行：，，，；第5行：，，，，．
即第4行各数依次是：17，18，20，24；第５行各数依次为：33，34，36，40，48．
（2）由每行上数的个数与行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…，由（）得．由前13行共有个数．
因此，应当是第14行中第9个数．
所以．
点评：这里我们运用归纳推理的思维方式解决了问题．特例试验，归纳猜想是理性思维的重要体现，是获得发现的源泉．学习中要善于运用归纳推理，大胆猜想和发现．
高考中的合情推理
合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，其主要形式有归纳和类比。
一、归纳推理
例1、（2006广东）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则 ； （答案用n表示）
分析：解决本题的关键之一是找出相邻两项的关系，即下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数；其次是求出第一层的通项公式。
解：f（1）＝1，观察图象可知f（2）＝4，f（3）＝10，f（4）＝20，下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数，而第一层的个数满足1，3，6，10，……，通项公式是，所以f（n）＝f（n－1）＋，
所以有：f（2）－f（1）＝
f（3）－f（2）＝
f（4）－f（3）＝
……………………………………
f（n）－f（n－1）＝
以上各式相加得：f（n）＝f（1）＋
＝
＝
＝
所以应该填：10；
点评：求f（n）的通项公式时运用累差法思想求解。可见高考题多数依据课本知识、思想或方法的设计题目。解决问题的关键是找到相邻两项的关系。
类比推理（类比）
例2、（2006湖北）半径为r的圆的面积，周长，若将r看
作上的变量，则， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作看作上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________.
解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立，
.
答案：① ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。
点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比。
结论类比：已知简单命题A的结论去探索新命题B的结论，从而对问题从更高层次上去把握，这类题目能训练学生的信息迁移能力和创造思维能力。
例3、（2006上海）已知函数有如下性质：如果常数a>o，那么该函数在上是减函数，在上是增函数。
如果函数的值域为，求b的值；
研究函数（常数在定义域内的单调性，并说明理由；
对函数和（常数作出推广，使它们都是你所推广
的函数的特例，研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）。
解：（1）函数在上是减函数，在上是增函数，所以该函数在处取得最小值 令，得
（2）设，显然函数在上是减函数，在上是增函数，令得，令得或
又因为在上是减函数，在上是增函数，于是利用复合函数的单调性知，函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，上是增函数。
（3）推广结论：当n是正奇数时，函数（常数是奇函数，故在上是增函数，在是减函数，在上是减函数，在上是增函数。
而当n为正偶数时，函数（常数是偶函数，在上是减函数，在是增函数，在上是减函数，在上是增函数。
点评：本题设计新颖，层层递进，主要考查函数的单调性、最值，考查分析解决问题的能力。
高考中的类比推理
大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。
例1、（2006湖北）半径为r的圆的面积，周长，若将r看
作上的变量，则， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作看作上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________.
解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立，
.
答案：① ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。
点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比
例2．（2000年上海高考第12题）在等差数列｛an｝中，若a10=0，则有等式a1＋a2＋……＋an=a1＋a2＋……＋a19－n（n＜19，n∈N*）成立。类比上述性质，相应地：在等比数列｛bn｝中，若b9=1，则有等式 成立。
分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。在等差数列｛an｝前19项中，其中间一项a10=0，则a1＋a19= a2＋a18=……= an＋a20－n= an＋1＋a19－n=2a10=0，所以a1＋a2＋……＋an＋……＋a19=0，即a1＋a2＋……＋an=－a19－a18－…－an＋1，又∵a1=－a19， a2=－a18，…，a19－n=－an＋1，∴ a1＋a2＋……＋an=－a19－a18－…－an＋1= a1＋a2＋…＋a19－n。相似地，在等比数列｛bn｝的前17项中，b9=1为其中间项，则可得b1b2…bn= b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）。
例3．（2003年全国高考新课程卷文科第15题）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2= BC2。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 ________________”。
分析：这是由低维（平面）到高维（空间）之间的类比。三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中（当然必须经过论证其正确性），像直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中，则有S△ABC2＋S△ACD2＋S△ADB2= S△BCD2。需要指出的是，勾股定理的证明也可进行类比。如在Rt△ABC中，过A作AH⊥BC于H，则由AB2=BH·BC，AC2=CH·BC相加即得AB2＋AC2=BC2；在三侧面两两垂直的三棱锥A—BCD中，过A作AH⊥平面BCD于H，类似地由S△ABC2=S△HBC·S△BCD，S△ACD2=S△HCD·S△BCD，S△ADB2=S△HDB·S△BCD相加即得S△ABC2＋S△ACD2＋S△ADB2= S△BCD2。
例4、（2006上海）已知函数有如下性质：如果常数a>o，那么该函数在上是减函数，在上是增函数。
如果函数的值域为，求b的值；
研究函数（常数在定义域内的单调性，并说明理由；
对函数和（常数作出推广，使它们都是你所推广
的函数的特例，研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）。
解：（1）函数在上是减函数，在上是增函数，所以该函数在处取得最小值 令，得
（2）设，显然函数在上是减函数，在上是增函数，令得，令得或
又因为在上是减函数，在上是增函数，于是利用复合函数的单调性知，函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，上是增函数。
（3）推广结论：当n是正奇数时，函数（常数是奇函数，故在上是增函数，在是减函数，在上是减函数，在上是增函数。
而当n为正偶数时，函数（常数是偶函数，在上是减函数，在是增函数，在上是减函数，在上是增函数。
点评：本题设计新颖，层层递进，主要考查函数的单调性、最值，考查分析解决问题的能力。
高考数学类比题考查类型探求
从近几年高考数学试题中不难看出，类比题已成为高考试题的热点问题。笔者认为求解类比推理问题的关键在于确定类比物，建立类比项，通过对数学结论的运算、推理过程等进行类比分析，从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在联系。下举例谈谈高考数学类比题考查类型。
图象特征类比型
例1、如图1，对于函数上任意两点A,B ，连线段A B必在弧线段AB的上方，设点C分的比为 (>0)，则由点C在点上方可得不等式。请分析函数y=lnx(x>0)的图象，类比上述不等式可以得到的不等式是 .
解析:本题的类比物是函数与函数y=lnx (x>0)的图象，而类比项是a,b与之间建立的不等关系.首先弄清不等式的来龙去脉。按题给信息，该不等式是“由点C在点上方”得到的，也就是说该不等式是这一几何特征的代数化。因为C分的比为 (>0)，又因为A,B ，所以是C点的纵坐标，而是C点的横坐标，就是点的纵坐标。因此由C点在点的上方.即得。最后.作出函数y=lnx(x>0)的图象(如图2)进行比较分析.设函数图象上任意两点A,B )，点C分的比为 (>0)，则C点坐标为为。点坐标为。显然有C点在点的下方。因此可以得到的不等式是。
点评：本题通过两类函数的图象特征结合定比分点公式类比得出函数一个重要不等式性质，其实质就是函数的凹凸性。
运算法则类比型
例2、已知命题：若数列为等差数列，且。现已知数列为等比数列，且若类比上述结论，则可得到 。
解析:本题的类比物是等差数列与等比数列，类比项是数列的第m+n项与第m项、第n项的等量关系，因为在等差数列中，由等差数列性质得。所以在等比数列中，同样由等比数列的性质得。
点评：实际上，等差数列与等比数列的类比是“运算法则”的比较，是等差数列中的“和、差、积、商”与等比数列中的“积、商、幂、开方”一一对应，即等差数列中的“”在等比数列中变为“”,“”变为“” ，因此的类比项为。
三、计算方法类比型
例3、对于数学问题“”。我们计算可得。请你分析该数学问题，用类比推理的方法，给出类似的一组可以求的条件： 。
解析：应该说本题的类比物与类比项是难以确定的。我们首先来分析一下原数学问题是如何由条件求出，将条件利用两角和与差的余弦公式展开，由。考虑到是由确定的，可以设想条件应该是关于的二元方程，类比原问题条件形式，自然联想到两角和与差的正弦公式，因此，这组条件可以是：。
点评:本题是开放题，条件可以多种多样，一般写出，只要即可。)现在我们不难发现，本题的类比物实际上是一种三角运算结构的“定式”，类比项是两角和与差的正、余弦公式。
四、性质定义类比型
例4、我们知道：在抛物线中，以过抛物线焦点的弦为直径的圆，必与抛物线的准线相切，类比这一抛物线性质，研究椭圆或双曲线中，以过焦点的弦为直径的与对应准线的位置关系，同样可以得出类似的性质.请你写出一个正确的性质。
解析：本题的类比物是圆锥曲线中的抛物线、椭圆与双曲线，类比项是以焦点弦为直径的圆与相应准线的位置关系，首先我们探求抛物线中“以焦点弦为直径的圆与准线相切”的实质.如图3,A ,B,M(M为圆心)在准线l上的射影为.由抛物线的定义知，所以以AB为直径的圆与准线l相切。
现在利用圆锥曲线的统一定义“到焦点距离与其到相应准线的距离之比等于离心率”，考虑椭圆或双曲线中的类似问题，如图4，设曲线C是椭圆或双曲线的一部分，离心率为e。A、B、M在准线l上的射影为.由统一定义知，所以以AB为直径的圆与准线l相切。若曲线C是椭圆，则“0AB，以AB为直径的圆与准线l相离.若曲线C是双曲线，则e>1,MM'点评：解析几何的研究对象是直线、圆和圆锥曲线，因此，在圆、椭圆、双曲线、抛物线之间相互类比，是类比推理的主要内容．在解析几何中，通过类比，有利于发现新定理以及开拓解题思路的重要方法．
五、平面空间类比型
例5、在DEF中有余弦定理：. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明。
解析：根据类比猜想得出. 其中为侧面为与所成的二面角的平面角.
证明：作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成角，在中有余弦定理：，
同乘以，得
即
点评：本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三棱柱的拓展推广，因为类比是数学发现的重要源泉，因此平时的教学与复习中更要注意类比等思想方法的学习。
六、新定义类比型
例6、规定：，其中，是正整数，且，这是组合数是正整数，且的一种推广.
（1）求的值；（2）组合数的两个性质（）是否都能推广到（是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；（3）已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，.
解析： 本题“新的规定（是正整数）”是组合数（是正整数，且）的一种推广.这个结论是中学数学教学内容中没有的，目的是考查考生对相关的数学思想方法的自觉运用以及创新思维能力.
解：（1）根据新规定直接进行演算即可
（2）性质①不能推广.反例：当时，有意义，但无意义.性质②能推广，且推广形式不变：是正整数）.
证明如下：=
==
（3）需要就与的大小作出逻辑划分并进行严密的论证.
当时，都是正整数，就是组合数，结论显然成立；
当时，，结论也成立；当时，
，是正整数，故.
综上所述，当，是正整数时，.
点评：本题以组合数为载体考查运用类比推理和分类讨论的数学思想方法，考查运算能力和创新思维能力。
波利亚说过，如果没有相似推理，那么无论是在初等数学还是在高等数学中，甚至在其他任何领域中，本来可以发现的东西，也可能无从发现。因此，在教学中必须重视培养学生的类比推理和归纳推理的能力。根据教材特点，在传授新知识时，有意识地引导学生，通过类比与归纳得出新的知识，逐步学会类比推理的方法。在进行知识复习时，经常对相关的知识进行类比，培养学生对相关知识进行类比的习惯。在解题教学中，通过类比，引导学生推广数学命题，或通过类比，探求解题途径，深化对知识的理解，对数学思想方法的掌握。通过类比，拓展学生的数学能力，提高学生的发现问题、分析问题和解决问题的能力，提高学生的实践能力和创新精神。
