黑龙江省哈尔滨德强学校2024届高三上学期开学考试数学试卷一卷（PDF版无答案）

德强高中 2023-2024 学年度上学期开学验收考试
高三学年 数学试题（I卷）
命题人：徐杨 答题时间：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2．命题： x0 0, x0 x0 1 0的否定是（ ）
A． x0 0, x
2
0 x0 1 0 B． x 0, x
2 x 1 0
C． x0 0, x
2
0 x0 1 0 D． x 0, x2 x 1 0
2．已知全集U 1,2,3,4,5 , A 1,2,3 , B 3,4,5 ，则 ( ∪B)=（ ）
A．U B． 1,2,4,5 C． 3 D．
3．若 a b 1，0 c 1，则（ ）
A． loga c log c B． log a log b C． ac bc D． cab c c cb
4．已知正项等比数列 an ，若 a3a5 64, a5 2a6 8，则 a2 （ ）
A．16 B．32 C．48 D．64
5．“ cos 0 ”是“函数 f (x) sin(x ) cos x为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
sin π 16．已知 x ，则 cos
2π
2x

6 3 3
（ ）

7 2 7
A 2． B． C． D．
9 9 9 9
a ln2 b ln6 c ln77．已知 ， ， ，则（ ）
2 6 7
A．c b a B．b a c
C．b c a D． a b c
8 e
x
．若 alnx ax e 2 0 a 0 ，则 a的取值范围为（ ）
x
e2 1 1 e2
A． 0,e2 B 2 ． 0, C． , e D．2 , e e 2
试卷第 1页，共 4页
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二．多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的 4 个选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.）
9．已知函数 f x sin x 3 cos x ，则下列结论正确的为（ ）
A． f x 的最小正周期为 π
B π． f x 的图象关于 x 2 对称
C． f x 的最小值为 1
π
D． f x 在区间 , π 上单调递增 2
10．已知正 n边形的边长为 a，内切圆的半径为 r，外接圆的半径为 R，则（ ）
A 3．当 n 4时， R 2a B．当 n 6时， r a
2
R a R r a
C． 2sin π D． 2 tan π
2n 2n
11．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数 y A sin t ，我们听到的声
1 1
音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数 f x sin x sin x，则当 x 0,2π 时，
2 2
函数 f x 一定有（ ）
A．三个不同零点 B．在 0, π 上单调递增
C 3 3．有极大值，且极大值为 D．一条切线为 y x
4
1
12 3．已知函数 f x x ax ，(a 0)，，其中 Ai xi ,yi ，i 0，1，2，3是其图象上四个不重合的点，直线 A4 0
A3为
函数 f x 在点 A0处的切线，则（ ）
A．函数 f x 的图象关于 0,
1
中心对称
4
B．函数 f x 的极大值有可能小于零
C．对任意的 x1>x0 0，直线 A0A3的斜率恒大于直线 A0A1的斜率
D．若 A1, A2 , A3三点共线，则 x1+x2 2x0 .
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．写出一个定义域为R 且图象不经过第二象限的幂函数 f x .
14．设 tan
π 1 π
4
， tan ．
4 4
试卷第 2页，共 4页
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15．已知定义域为 R 的偶函数 f x 满足 f 1 2x f 1 2x ，且当 x 0,1 时， f x x，若将方程
f x log x n N* 1 1 1n 1 实数解的个数记为 an ，则 a1a2 a2a3 a na ．n 1
x
16．已知函数 f x ln x lnm 3 m 1 ，若曲线 y f x m的一条切线为直线 l： 4x y 3 0，则 的
n n
最小值为 ．
四、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．
17．（本小题 10 分）已知函数 f (x) cos2 x 3 sin x cos x m（ 0，m R ）.
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数 f (x)的解析式的两个作为已知.
条件①：函数 f (x)的最小正周期为 π；
0, 1f (x) 条件②：函数 的图象经过点 2
；

3
条件③：函数 f (x)的最大值为 .
2
(1)求 f (x)的解析式及最小值；
(2)若函数 f (x)在区间 0, t （ t 0）上有且仅有 1个零点，求 t的取值范围.
π
18．（本小题 12 分）已知函数 f x Acos x (A 0, 0)的图象是由 y 2cos x 6 的图象向左平移
π
个单位长度得到的．
6
(1)若 f x 的最小正周期为 π，求 f x 图象的对称轴方程，与 y轴距离最近的对称轴的方程；
2π π π
(2)若 f x 图象相邻两个对称中心之间的距离大于 ， N*且 2，求 f x 在 , 上的值域．7 6 9
1
19．（本小题 12 分）已知函数 f (x) 2x sin 2x a sin x．
2
(1)若 a＝2，求曲线 y f x 在点 π, f π 处的切线方程；
(2)若 f x 在R 上单调递增，求实数 a的取值范围．
试卷第 3页，共 4页
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20．（本小题 12 分）已知数列 an 的前 n项和为 Sn Sn 0 ，数列 Sn 的前 n项积为Tn，且满足
S *n Tn Sn Tn n N ．
1
(1)求证：
S 1
为等差数列；
n
1
(2)记bn bn2S ，求数列 n 的前 2023项的和 M．n
21．（本小题 12 分）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号 n次，每次发射信号“0”
和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为 X .
(1)当n 6时，求 P X 2 ；
(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随
D Y
机变量Y ，若其数学期望 E Y 和方差D Y 均存在，则对任意正实数 a，有 P(Y E Y a) 1 2 .根据a
该不等式可以对事件“ Y E Y a ”的概率作出下限估计.为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在
0.4 与0.6之间，试估计信号发射次数 n的最小值.
22．（本小题 12 分）已知关于 x的方程 ax ln x 0有两个不相等的正实根x 和x ，且 x1 x1 2 2 .
(1)求实数 a的取值范围；
(2) k设 k为常数，当 a变化时，若 x1 x2有最小值 ee ，求常数 k的值.
试卷第 4页，共 4页
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