沈丘县第三高级中学高一人学考试
数学试题
注意事项：
1本试卷共6页，三道大题。：立
2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试
卷上的答案无效。
一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，每小题3分，共30分】
1.-2020的倒数是
()
A.2020
B0c-22w/D2
2.2020年，新型冠状病毒(C0VID-19)肆虐全球.截至2020年7月1日，全球累计确诊人数为
10489586,约为1049万.将1049万用科学计数法表示为
()
A.0.1049×10
B.0.1049×10°
C.1.049×10
D.1.049×10
3.下列说法正确的是
()
A某人在玩掷骰子游戏，掷得数字5的概率是名，则此人掷6次股子一定能掷得一次数字5
B.为了了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式
C.一组数据8,8,7,10,6,8,9的众数和中位数都是8
D,若甲组数据的方差S2=0.01,乙组数据的方差S=0.1,则乙比甲稳定
4.用如图所示的七巧板的其中几块，拼成一些多边形，则下列多边形为中心对称图形的是
()
分(，-}点，0≥0！+5-3-
第4题图
A
B
D
5.我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五；屈绳
量之，不足一尺，问木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对
折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？设木条长x尺，绳子长y尺，根据题意所列方程
组正确的是
()
y=x+4.5
A05y=x-1
B.=x+45
c=x-45
y=x-4.5
y=2x-1
10.5y=x+1
D.
y=2x-1
6。桌子上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则组
成该几何体的小正方体的个数最少有
()
山
(主视图)
(左视图)
第6题图
数学试题第1页（共6页）
可日
0000000
A.5
B.8
C.12,张D.13
7.如果a,b是关于x的方程(x+c(x+d)=1的两个根，那么(a+c忆+c)等于
()
A.1
B.-1
C.0
D.c'
&如图所示，△ABC的内心为1，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D,则线段D1与DB的
关系是
(。)
答在试
()
识e1解
人数为
D
第8题图
A.DI=DB
B.DI>DB
C.DID.不确定
9.已知二次函数y=ar2+bx+c和y=br2+ax+c,a>b,则下列说法正确的是
（、)
B.当0数字5
A.当x<0时，yC.当0:
D.当x>1时，y1O.如图，在矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成L型模板如图放置，则矩形ABCD
的面积为
()
的是
)
下交)4.39,44新.县，直第10题图，附的0量4,01
A.9.6
B.12
C.19.2D.24
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填在答题卡相应题号的横线上）
;屈绳
11.方程、√x+2x-气+Jx-2x-=x-1的解是
绳子对
12.如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB,AC边于D,E,再以
列方程
点C为圆心，CD的长为半径作圆交BC边于F,连接E,F,那么图中阴影部分的面积为一
()
,则组
)
B F
第12题图
13.如图所示，点A是直线y=x上一点，过点A作OA的垂线交曲线y=（x>0)于点R若
数学试题第2页（共6页）
可日
0000000数学试题参考答案及评分标准
注意事项：
1.本试卷非选择题部分具有开放性，评卷人员应根据参考答案及评分标准制定出符合实际
的评分细则。
2.评卷时，考生的答案只要言之有理且和题意相符均应给分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C D A A B A B C
题号 11 12 13 14 15
答案 x = 5 1π2 +
3
2 - 43 4 2或 5 - 13 16 2 - 16
注：部分试题提示如下：
7．提示：由题意知，a，b是方程 (x + c)(x + d) = 1的两个根，所以 x2 + (c + d)x + cd - 1 = 0 ，
∴ ab = cd - 1，a + b = -(c + d)，
∴(a + c)(b + c) = ab + (a + b)c + c2 = cd - 1 - c(c + d) + c2 = -1 .
8．提示：连接BI，如图所示 .
A
2 1
6 4 I
B 35 C
D
∵△ABC 内心为 I ，∴∠1=∠2 ，∠5=∠6 .
∵∠3=∠1，∴∠3=∠2 .
∵∠4=∠2 +∠6 =∠3 +∠5，即 ∠4=∠DBI ，∴DI =DB .
14．提示：分两种情况：①当点P在菱形对角线AC上时，如图1所示 .
D
N
A C
P
M
B
图1
由折叠的性质得 AN =PN ，AM =PM .
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD = 60°，
∴∠PAM =∠PAN = 30°，
∴∠AMN =∠ANM = 90° - 30° = 60°，
∴ AN = AM = 2 .
②当点P在菱形对角线BD上时，如图2所示 .
数学答案 第1页（共8页）
{#{QQABaYSAggAoABJAABhCEQGwCAKQkAAAACgOQFAMIAABiQFABAA=}#}
D
N
P
A C
M
B
图2
设 AN = x，由折叠的性质得 PM = AM = 2 ，PN = AN = x，∠MPN =∠A = 60° .
∵ AB = 3，∴BM = AB - AM = 1 .
∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC = 180° - 60° = 120°，∠PDN =∠MBP = 12∠ADC = 60° .
∵∠BPN =∠BPM + 60° =∠DNP + 60°，
∴∠BPM =∠DNP ，∴△PDN △MBP ，
∴DN = PD = PN ，即 3 - x = P1D = 2x ，BP BM PM BP
∴PD = 12 x，∴ 3- x 13 - 1 =2 x 2
x .
解得：x = 5 - 13 或 x = 5 + 13（不合题意舍去）.
∴ AN = 5 - 13 .
综上所述，AN的长为2或 5 - 13 .
15．引理：在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的两点，且 ∠EAF = 45° .
求证：△AEF 边EF上的高为定值 .
证明：延长CB至点G，使 BG =DF ，连接AG，作 AM⊥EF ，如图1所示 .
A D
F
M
G B E C
图1
在△ABG 和△ADF 中，
ìAB = AD，
í∠ABG =∠ADF，
BG =DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），∴ AG = AF ，∠BAG =∠DAF .
∵∠DAF +∠BAF = 90°，∴∠BAG +∠BAF = 90° .
∵∠EAF = 45°，∴∠GAE = 45° .
在△AEF 和△AEG 中，
ìAE = AE，
í∠EAF =∠EAG，
AF = AG，
∴△AEF≌△AEG（SAS），∴∠AEB =∠AEM .
∵ AB⊥BE ，AM⊥EF ，∴ AB = AM ，即△AEF 边EF上的高为定值 .
数学答案 第2页（共8页）
{#{QQABaYSAggAoABJAABhCEQGwCAKQkAAAACgOQFAMIAABiQFABAA=}#}
如图2所示，设 BE = x，DF = y .
A D
y
x + y F
x 4 - y
B E 4 - x C
图2
利用勾股定理有 (4 - x)2 + (4 - 2y) = (x + y)2 ，整理得 y = -4x++416 .x
所以，EF = x + y = x + -4x
x ++416 = x + 4 + 3+2x 4 - 8 .
令 x + 4 + 3+24 - 8 = k，则 (x + 4)
2 - (8 + k)(x + 4) + 32 = 0 .
x
2
已知 (x + 4)有解，则 Δ= (8 + k) - 128≥ 0 ，得 k≥8 2 - 8 .
∴ S = 1△AEF 2 (x + y) × 4≥ 16 2 - 16 .
16．解：由题中条件的结构特征可知，
a + b - 1 + c - 2 = 14 (a + b + c + 9) ( a - 2)2 +( b - 1 - 2)2 +( c - 2 - 2)2 = 0（. 6分）
a = 4,b = 5,c = 6,abc = 120 .（2分）
17．解：（1）30 ÷ 15%= 200（人），（1分）
200 - 30 - 80 - 40 = 50（人）（. 1分）
补全频数直方图：（1分）
80 频数/人 80
60 50
40 30 40
20
0 60 70 80 90100 成绩/分
（2）360° × 28000 = 144°（. 1分）
（3）这次测试成绩的中位数的等第是良好（. 2分）
（4）24000 × 1500 = 300（人）（. 1分）
答：该校获得优秀的学生共有300人（. 1分）
18.解：（1）设A种健身器材的单价为x元/套，B种健身器材的单价为1.5x元/套 .
根据题意，可得 7200 - 514.500 = 10 .x x
解得 x = 360（. 2分）
经检验 x = 360 是原方程的根 .
1.5 × 360 = 540（元）.
因此，A，B两种健身器材的单价分别是360元，540元（. 2分）
数学答案 第3页（共8页）
{#{QQABaYSAggAoABJAABhCEQGwCAKQkAAAACgOQFAMIAABiQFABAA=}#}
（2）设购买A种健身器材m套，则购买B种健身器材（50-m）套 .根据题意，可得
360m + 540(50 -m)≤21000（. 2分）
解得 m≥3313（. 1分）
因此，A种健身器材至少购买34套（. 1分）
19．解：（1）由题意知，A a，4 ，B b, - 4 .
è a è b
∵ AB∥ x轴，∴4 =- 4 ，∴ a = -b，（1分）
a b
∴ AB = a - b = 2a，∴ S 1 4△OAB = 2 2a = 4（. 1分）a
（2）∵ 2 2A a，4 ，B b, - 4 ，∴OA2 = a2 + 4 ，OB2 = b2 + - 4 .
è a è b è a è b
∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形，∴OA =OB，∴OA2 =OB2 ，
∴ + 4 2a2 = b2 + - 4 2 ∴ 2 2
2 2
， a2 - b2 = - 4 - 4 ∴ + - = 16(a - b )， (a b)(a bè )a è b è b è a a2 2 （. 2分）b
∵ a > 0 ，b < 0 ，∴ a - b≠0 ，ab < 0 .
又 a + b≠0 ，∴ 162 2 = 1，∴ ab = -4 或 ab = 4（舍）（. 1分）a b
（3）如图所示 .
y
D E
F
C A
O x
∵四边形ACDE是边长为3的正方形，且点D在 A a，4 的左上方 .
è a
∴C a - 3，4 ，∴D a - 3，4 + 3 （. 1分）
è a è a
设直线CD与双曲线 y1 = 4（x > 0）相交于点F.x
∴F a - 3，-4 3 ，∴FC = -4 3 - 4 = 12- 3 > 0 .è a a a a(a )
（以下有两种解法）
∴ =3- = 3 - 12 = 3(a + 1)(a - 4)FD FC - 3 （. 2分）a(a ) a(a - 3)
∵ a≥4 ，∴ a - 3 > 0 ，a - 4≥ 0 ，∴3(a + 1)(a - 4)- 3 ≥ 0 ，a(a )
∴3-FC≥0 ，∴FC≤3（. 1分）
（∵ a≥4 ，∴1≤ a - 3 < a，∴ -4 3 > 4 ，即 F 在 C 上方 .a a
∵ 2a(a - 3) = a2 - 3a = a - 23 - 94 ≥ 4 ，∴ 12 ≤ 1- 3 4
2 = 3，即 FC≤3 .）
è a(a )
∴点F在线段CD上，即对于 a≥4 ，边CD与函数 y = 41 （x > 0）的图象都有交点（. 1分）x
数学答案 第4页（共8页）
{#{QQABaYSAggAoABJAABhCEQGwCAKQkAAAACgOQFAMIAABiQFABAA=}#}
20.解：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用 a ，b和 c 分别表示直角三
角形的两直角边和斜边，那么 a2 + b2 = c2 .（2分）
构造图形证明如下：四个直角边分别为 a，b，斜边为 c的直角三角形，则大正方形的边长为
(a + b)，其面积为 ( + )2a b ，同时它又可以表示为边长为 c 的正方形的面积与四个直角三角形的
面积之和，即 (a + b)2 = c2 + 4 × 21 ab，整理得 a2 + b2 = c2 ，故结论成立 .
（证明方法不唯一，合理即可）
b a
D C
a
b
b c a
A B
a b
（此证法中给出图形，4分，给出证明过程，4分）
21（. 1）证明：如图所示，连接OB，OP.
A
O H P
E
C B
∵OA =OB，PA =PB，OP =OP ，（1分）
∴△OAP≌△OBP（SSS），（1分）
∴∠OBP =∠OAP = 90° .
∴PB是 ⊙O的切线（. 1分）
（2）如图，连接BC，设OP交AB于点H，OH = x，PH = a .
∵ AC 是直径，∠ABC = 90°，即 BC⊥ AB .
∵OA =OB，PA =PB，∴HA =HB，PO⊥ AB .
∴OP∥BC ，BC = 2OH = 2x，∠APO =∠BPO（. 1分）
∵∠APC = 3∠BPC ，∴∠OPC =∠BPC .
∵OP∥BC ，∴∠PCB =∠BPC ，∴BP =BC = AP = 2x .
∵△PAH △POA，（2分）
∴ PA = PO ，∴2x = x2+ a ，∴4x2 - ax - a2 = 0 ，（1分）PH PA a x
∴由求根公式可得 x = a ± a2 + 16a2 1 ± 172 × 4 = 8 a（. 1分）
∴ x = 1 + 178 a（. 1分）
数学答案 第5页（共8页）
{#{QQABaYSAggAoABJAABhCEQGwCAKQkAAAACgOQFAMIAABiQFABAA=}#}
∴PE = PH = 2a = a
17 - 1
CE BC x 1 + 17 = 4 （. 1分）
4 a
22（. 1）解：作 EH⊥BC 于H，如图所示 .
A
E
B H D C
∵CE = 4 ，∠ECH = 30°，∴EH = 2 ，HC = 2 3 ，∴BH =BC -HC = 4 3 ，（1分）
∴BE = BH 2 +EH 2 = 2 13（. 1分）
（2）结论：AP⊥PD且 AP = 3PD（. 1分）
证明：延长DP至点F，使得 PF =PD，连接AF，BF，如图所示 .
A
F E
P
B D C
∵PF =PD，∠FPB =∠DPE ，PB =PE ，∴△FPB≌△DPE（SAS）（. 1分）
∴FB =DE =DC ，∠BFP =∠EDP ，∴BF∥ED，∴∠EDB +∠FBD = 180° .
∵ED =DC ，∠ECD = 30°，∴∠EDB = 60° .
∵∠FBD =∠FBA +∠ABD =∠FBA + 60°，
∴60° +∠FBA + 60° = 180°，∴∠FBA = 60° =∠DCA .
∵FB =DC ，∠FBA =∠DCA，AB = AC ，∴△FBA≌△DCA（SAS），如图所示 .
A
F E
P
B D C
∴∠BAF =∠CAD，AF = AD .
∵∠CAD +∠BAD = 60°，
∴∠BAF +∠BAD =∠FAD = 60°，∴△AFD为等边三角形（. 1分）
∵FP =PD，∴ AP⊥PD且 AP = 3PD .
（3）结论：仍然成立（. 1分）
证明：延长DP至点F，使得 PF =PD，连接AF，BF，如图所示 .
数学答案 第6页（共8页）
{#{QQABaYSAggAoABJAABhCEQGwCAKQkAAAACgOQFAMIAABiQFABAA=}#}
A
E
F D
P
B C
∵PF =PD，∠FPB =∠DPE ，PB =PE ，∴△FPB≌△DPE（SAS），（1分）
∴FB =DE =DC ，∠BFP =∠EDP ，∴BF∥ED .
延长ED交BC于点H，如图所示 .
∴∠FBH =∠DHC .
∵∠CDH = 2∠ECD = 60°，∠ACH = 60°，∴∠ACD +∠DHC = 60° .
∵∠ABF +∠FBH = 60°，∴∠ABF =∠ACD .
∵ AB = AC ，∠ABF =∠ACD，BF =CD，
∴△ABF≌△ACD（SAS），∴∠BAF =∠CAD，AF = AD .
∵∠BAF +∠FAC = 60°，∴∠CAD +∠FAC =∠FAD = 60°，∴△AFD为等边三角形（. 1分）
∵FP =PD，∴ AP⊥PD且 AP = 3PD（. 1分）
A
E
F D
P
B H C
23.解：（1 2 2）∵(b - 1) + (c - 11) ≤0 ，
∴只能 b - 1 = 0 ，c - 11 = 0 ，即 b = 1，c = 11（. 1分）
又点（-1，11）在函数图象上，∴11= a - b + c，∴ a = 1，∴ y = x2 + x + 11（. 1分）
（2）设过M（m，0）的直线的表达式为 y = k(x -m)（. 1分）
ìy = k(x -m),
由 2í = 2 + + 11 得 x + (1 - k)x + (11 + km) = 0（. 1分） y x x ，
∵上述方程有两个相等的实数根，
∴Δ= (1 - 2k) - 4(11 + km) = 0 ，即 k2 - (4m + 2)k - 43 = 0 .
∴由一元一次方程根与系数的关系得 k1k2 = -43（. 1分）
（3）存在，且点为（10，121）（. 1分）证明方法如下：
方法1：设这个点为P（m，n2），其中m为正整数，n为自然数 .
∴m2 +m + 11 = n2 ，∴4n2 - (2 2m + 1) = 43 .
∴[2n + (2m + 1)][2n - (2m + 1)]= 43（. 2分）
∵43是质数，且 2n + (2m + 1) > 2n - (2m + 1)，2n + (2m + 1) > 0 ，
∴2n + (2m + 1) = 43，2n - (2m + 1) = 1（. 2分）
∴m = 10 ，n = 11 .
数学答案 第7页（共8页）
{#{QQABaYSAggAoABJAABhCEQGwCAKQkAAAACgOQFAMIAABiQFABAA=}#}
∴存在满足条件的点，此点的坐标为（10，121）（. 1分）
方法2：∵ 2x2 < x2 + x + 11 < (x + 4) ，
∴ x2 + x + 11 = (x + 1)2 2 2或 (x + 2) 或 (x + 3) （. 1分）
2
当 x2 + x + 11 = (x + 1) 时，x = 10 ；（1分）
当 x2 + x + 11 = ( + 2)2x 时，无整数解（. 1分）
当 x2 + x + 11 = (x + 3)2 时，无整数解（. 1分）
综上所述，存在满足条件的点，此点的坐标为（10，121）（. 1分）
数学答案 第7页（共8页）
{#{QQABaYSAggAoABJAABhCEQGwCAKQkAAAACgOQFAMIAABiQFABAA=}#}
