第十章概率 测试题（含解析）

概率测试题
一、单选题
1.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知取出2粒都是黑子的概率为,取出2粒都是白子的概率是,则任意取出2粒恰好是同一色的概率是( ) A. B. C. D.
2.下列命题正确的是( )
A.设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品
B.做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此出现正面的概率是
C.随机事件发生的概率就是随机试验中随机事件发生的频率
D.古典概型的样本点具有等可能性和有限性两个特点
3.在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,以为概率的事件是(　　)
A.恰有1件一等品 B.至少有一件一等品 C.至多有一件一等品 D.都不是一等品
4.2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受吉祥物爱好者的喜爱,“冰墩墩”和“雪容融”将中国文化符号和冰雪运动完美融合,承载了新时代中国的形象和梦想.若某个吉祥物爱好者从装有3个“冰墩墩”和3个“雪容融”的6个盲盒的袋子中任取2个盲盒,则恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”的概率是( )
A. B. C. D.
5.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”,则下列判断正确的是( )
A.甲与丙是互斥事件 B.乙与丙是对立事件 C.甲与丁是对立事件 D.丙与丁是互斥事件
6.一次射击比赛中,若连续2次未击中目标,那么中止射击,甲击中目标的概率是,假设甲各次射击是否击中目标相互之间没有影响,甲恰好射击5次后被中止的概率为( )
A. B. C. D.
7.口袋里装有1红,2白,3黄共6个形状相同小球,从中取出2球,事件“取出的两球同色”,事件“取出的2球中至少有一个黄球”,事件“取出的2球至少有一个白球”,事件“取出的2球不同色”,“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是( )
A. B. C. D.
8.我省高考从2021年开始实行3+1+2模式,“3”为全国统考科目语文、数学、外语,所有学生必考;“1”为首选科目,考生须在物理、历史两科中选择一科;“2”为再选科目,考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科,今年某校高一的学生小霞和小芸正准备进行选科,假如她们首选科目都是历史,再选科目她们选择每个科目的可能性均等,且她俩的选择互不影响,则她们的选科至少有一科不相同的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题
9.以下对各事件发生的概率判断正确的是( )
A.袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球,3个黄球,从中取出一个球是红球的概率是
B.每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和,例如,在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为
C.将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数之和是6的概率是
D.甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏,则玩一局甲不输的概率是
10.某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”,甲、乙两人能得满分的概率分别为,,两人能否获得满分相互独立,则下列说法错误的是：( )
A.两人均获得满分的概率为 B.两人至少一人获得满分的概率为
C.两人恰好只有甲获得满分的概率为 D.两人至多一人获得满分的概率为
11.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,若甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,则下列结论正确的为( )
A.两人都中靶的概率为0.72 B.恰好有一人中靶的概率为0.18
C.两人都脱靶的概率为0.14 D.恰好有一人脱靶的概率为0.26
12.一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球,从中取出2个球,则( )
A.如果是不放回地抽取,那么“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件
B.如果是不放回地抽取,那么第2次取到红球的概率一定小于第1次取到红球的概率
C.如果是有放回地抽取,那么取出1个红球和1个白球的概率是
D.如果是有放回地抽取,那么至少取出一个红球的概率是
三、填空题
13.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以三个随机数为一组,代表三次投篮的结果,经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257.据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 .
14.甲 乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲 乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响,则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为 .
15.若三个原件A,B,C按照如图的方式连接成一个系统,每个原件是否正常工作不受其他元件的影响,当原件A正常工作且B,C中至少有一个正常工作时,系统就正常工作,若原件A,B,C正常工作的概率依次为0.7,0.8,0.9,则这个系统正常工作的概率为 .
16.甲、乙两人下围棋,若甲执黑子先下,则甲胜的概率为;若乙执黑子先下,则乙胜的概率为.假定每局之间相互独立且无平局,第二局由上一局负者先下,若甲、乙比赛两局,第一局甲、乙执黑子先下是等可能的,则甲、乙各胜一局的概率为 .
四、解答题
17.某中学有教职工130人,对他们进行年龄状况和受教育程度的调查,其结果如下：
本科 研究生 合计
35岁以下 50 35 85
35-50岁 20 13 33
50岁以上 10 2 12
从这130名教职工中随机地抽取一人,求下列事件的概率:(1)具有本科学历;(2)35岁及以上;(3)35岁以下且具有研究生学历.
18.一个袋子中有4个红球,6个绿球,采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.
(1)求第二次取到红球的概率;(2)求两次取到的球颜色相同的概率;
(3)如果是4个红球,n个绿球,已知取出的2个球都是红球的概率为,那么n是多少？
19.为增强市民的环境保护意识,某市面向全市征召若干名宣传志愿者,成立环境保护宣传小组,现把该小组的成员按年龄分成、、、、这组,得到的频率分布直方图如图所示,已知年龄在内的人数为.
(1)若用分层抽样的方法从年龄在、、内的志愿者中抽取名参加某社区的宣传活动,再从这名志愿者中随机抽取名志愿者做环境保护知识宣讲,求这名环境保护知识宣讲志愿者中至少有名年龄在内的概率;
(2)在(1)的条件下,记抽取的名志愿者分别为甲、乙,该社区为了感谢甲、乙作为环境保护知识宣讲的志愿者,给甲、乙各随机派发价值元、元、元的纪念品一件,求甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的概率.
20.某班级从3名男生和2名女生中随机抽取2名同学参加学校组织的校史知识竞赛.
(1)求恰好抽到2名男生的概率;(2)若抽到的2名同学恰好是男生甲和女生乙,已知男生甲答对每道题的概率均为,女生乙答对每道题的概率均为,甲和乙各自回答两道题,且甲、乙答对与否互不影响,各题的结果也互不影响,求甲答对2道题且乙只答对1道题的概率.
21.为了纪念中国古代数学家祖冲之在圆周率上的贡献,联合国教科文组织第四十届大会上把每年的3月14日定为“国际数学日”.2023年3月14日,某学校举行数学文化节活动,其中一项活动是数独比赛(注：数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏,又称九宫格).甲、乙两位同学进入了最后决赛,进行数独王的争夺.决赛规则如下：进行两轮数独比赛,每人每轮比赛在规定时间内做对得1分,没做对得0分,两轮结束总得分高的为数独王,得分相同则进行加赛.根据以往成绩分析,已知甲每轮做对的概率为0.8,乙每轮做对的概率为0.75,且每轮比赛中甲、乙是否做对互不影响,各轮比赛甲、乙是否做对也互不影响.
(1)求两轮比赛结束乙得分为1分的概率;(2)求不进行加赛甲就获得数独王的概率.
22.从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高,被测学生身高全部介于155cm和195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组：第一组,第二组,,第八组,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为4人.
(1)求第七组的频率;
(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数;
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为x,y,事件,求.
答案解析
1.B
【分析】设“取出2粒都是黑子”为事件,“取出2粒都是白子”为事件,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件,判断出事件与事件互斥,即可求出任意取出2粒恰好是同一色的概率.
【详解】设“取出2粒都是黑子”为事件,“取出2粒都是白子”为事件,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件,则事件即事件,且事件与事件互斥,
所以,即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.故选:B
2.D
【分析】根据概率、古典概型、随机事件的概念进行理解判断.
【详解】一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,不一定有10件是次品,故A错误；
抛硬币的试验,出现正面的概率是,故B错误；
随机试验中,随机事件重复的次数越多,随机事件发生的频率会趋于稳定,故C错误；
古典概型的样本点具有等可能性和有限性两个特点,故D正确.故选:D.
3.C
【分析】将件一等品编号为,件二等品的编号为,列举出从中任取件的所有基本事件的总数,分别计算选项的概率,即可得到答案.
【详解】将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5,从中任取2件有10种取法:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).其中恰含有1件一等品的取法有:(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),恰有1件一等品的概率为P1＝,恰有2件一等品的取法有:(1,2),(1,3),(2,3).故恰有2件一等品的概率为P2＝,其对立事件是“至多有一件一等品”,概率为P3＝1－P2＝1－＝.
【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题,其中明确古典概型的基本概念,以及古典的概型及概率的计算公式,合理作出计算是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.
4.C
【分析】列举基本事件,利用古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】记3个“冰墩墩”分别为a、b、c,3个“雪容融”分别为1、2、3；
从6个盲盒的袋子中任取2个盲盒有:ab,ac,a1,a2,a3,bc,b1,b2,b3,c1,c2,c3,12,13,23共15种情况；其中恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”包含a1,a2,a3, b1,b2,b3,c1,c2,c3共9种,
所以概率为:.故选:C
5.D
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断.
【详解】当第一次取出1,第二次取出4时,甲丙同时发生,不互斥不对立；
第二次取出的球的数字是6与两次取出的球的数字之和是5不可能同时发生,但可以同时不发生,不对立,
当第一次取出1,第二次取出3时,甲与丁同时发生,不互斥不对立,
两次取出的球的数字之和是5与两次取出的球的数字之和是偶数不可以同时发生,但可以同时不发生,因此是互斥不对立.故选:D.
6.A
【分析】分析甲恰好射击5次后被中止的情况,然后利用独立事件概率的计算公式求解.
【详解】甲击中目标的概率是,所以甲没有击中目标的概率是,
甲恰好射击5次后被中止的情况是第一、二次至少击中其中一次,
第三次击中,第四、五次没有击中,且相互之间是独立的,
所以甲恰好射击5次后被中止的概率为.故选:A
7.C
【分析】根据给定条件,计算判断A,B,D；分析事件与所含事件判断C作答.
【详解】依题意,,,而,A不正确；
,,B不正确；
事件是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和,事件是含有1个白球与没有白球的两个互斥事件和,
事件是必然事件,因此,C正确；
因,,则,即D不正确.故选:C
8.C
【分析】利用列举法求出每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有6种选法；由于两人选科互不影响,所以两人选科的种类共有种,由此利用对立事件概率计算公式能求出她们的选科至少有一科不相同的概率.
【详解】每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有:
{化学,生物},{化学,政治},{化学,地理},{生物,政治},{生物,地理},{政治,地理}
共6种选法.由于两人选科互不影响,所以两人选科的种类共有种,其中两人的选科完全相同的选法有6种,所以的选科至少有一科不相同的概率为.故选:C
【点睛】组合问题常有以下两类题型变化:
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足；“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型:若直接法分类复杂时,逆向思维,间接求解.
9.ABC
【分析】根据古典概型概率计算方法可直接判断A；利用列举法可判断BC,利用列举法或画树状图,可判断D.
【详解】对于A,袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球,3个黄球,从中取出一个球是红球的概率是,故A正确；
对于B,不超过14的素数有共6个,从这6个素数中任取2个有如下组合:
,,,共15种结果,
其中和等于14的只有一组,
∴在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为,故B正确；
对于C,基本事件总共有(种)情况,其中点数之和是6的有,共5种情况,则所求概率是,故C正确；
对于D,画树形图如下:
从树形图可以看出,所有可能出现的结果共有9种,这些结果出现的可能性相等,
(乙获胜),故玩一局甲不输的概率是,故D错误；故选:ABC.
10.BCD
【分析】利用独立事件同时发生的概率公式和对立事件概率公式计算各自的概率,进而作出判定.
【详解】∵甲、乙两人能得满分的概率分别为,,两人能否获得满分相互独立,
分别记甲、乙得满分的事件为,则独立.
∴两人均获得满分的概率为:
,故正确;
两人至少一人获得满分的概率为:
,故错误；
两人恰好只有甲获得满分的概率为:
,故错误；
两人至多一人获得满分的概率为:
,故错误.故选:.
11.AD
【分析】由积事件的概率判断A,由和事件及互斥事件的概率判断B；由对立事件的概率判断C,由互斥事件的和判断D.
【详解】记“甲中靶”,“乙中靶”,“甲不中靶”,“乙不中靶”,则两两独立.
因为,,所以,.
对于选项A:“两人都中靶”,,故A正确；
对于选项B:“恰好有一人中靶”,,故B不正确；
对于选项C:“两人不都中靶”与“两人都中靶”是对立事件,由选项A可知,“两人不都中靶”的概率是,故C错误；
对于选项D:“恰好有一人脱靶”,由B知,概率为0.26,故D正确.故选:AD
12.CD
【分析】根据对立事件的概念判断A选项即可；结合古典概型,列举基本事件,分别求对应的概率即可判断.
【详解】解:不放回地抽取2个球包括2个都是红球、2个都是白球和1个红球1个白球,共3种情况,
所以“取出2个红球”和“取出2个白球”是互斥事件,但不是对立事件,故A错误.
记2个红球分别为a,b,3个白球分别为1,2,3.
不放回地从中取2个球的样本空间,共20种,
记事件为“第1次取到红球”,事件为“第2次取到红球”,
则,,
所以,故B错误.
有放回地从中取2个球的样本空间,共25种；
记事件为“取出1个红球和1个白球”,则,
所以,故C正确.
记事件为“取出2个白球”,,
所以,所以至少取出1个红球的概率为,故D正确.故选:CD.
13./0.25
【分析】根据在这12组随机数中,表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有3组,即可得出结论.
【详解】这12组随机数中,表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有:
137、271、436共3组,
故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为:,故答案为:.
14.
【分析】两轮活动猜对3个成语,相当于事件“甲猜对1个,乙猜对2个”、事件“甲猜对2个,乙猜对1个”的和事件发生,根据独立事件概率求法,即可得解.
【详解】解:设分别表示甲两轮猜对1个,2个成语的事件,分别表示乙两轮猜对1个,2个成语的事件.根据独立事件的性质,可得
设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”,则,且与互斥,与,与分别相互独立,
所以
因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是.故答案为:
15.0.686
【分析】根据题意,先求得与至少有一个正常工作的概率,再结合独立事件概率的乘法公式,即可求解.
【详解】由题意,系统正常工作的情况分成两个步骤,A正常工作且B,C至少有一个正常工作的情况,其中正常工作的概率为0.7；正常工作的概率为0.8, 正常工作的概率为0.9,
则与至少有一个正常工作的概率为,
所以这个系统正常工作的概率为:0.7×0.98＝0.686；故答案为:0.686；
【点睛】本题主要考查了对立事件和相互独立事件的概率的计算,其中解答中熟记相互独立事件的概率的计算公式,结合对立事件的概率计算公式求解是的关键,着重考查分析问题和解答问题的能力,属于基础题.
16.
【分析】分两种情况讨论:（1）第一局甲胜,第二局乙胜:（2）第一局乙胜,第二局甲胜.分析出每局输赢的情况,
结合独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】分两种情况讨论:
（1）第一局甲胜,第二局乙胜:
第一局甲执黑子先下的概率为,则甲胜第一局的概率为,第二局乙执黑子先下,则乙胜的概率为,
第一局乙执黑子先下的概率为,则甲胜第一局的概率为,第二局乙执黑子先下,则乙胜的概率为,
所以,第一局甲胜,第二局乙胜的概率为；
（2）第一局乙胜,第二局甲胜:
第一局甲执黑子先下的概率为,则乙胜第一局的概率为,第二局甲执黑子先下,则甲胜的概率为,
第一局乙执黑子先下的概率为,则乙胜第一局的概率为,第二局甲执黑子先下,则甲胜的概率为,
所以,第一局乙胜,第二局甲胜的概率为.
综上所述,甲、乙各胜一局的概率为.故答案为:
17.（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）先求出具有本科学历的人数,再由频率估计概率即可得解；
（2先求出35岁及以上的人数,再由频率估计概率即可得解；
（3）先求出35岁以下且具有研究生学历的人数,再由频率估计概率即可得解；
【详解】解:（1）具有本科学历的共有（人）,故所求概率为.
（2）35岁及以上的共有（人）,故所求概率为.
（3）35岁以下且具有研究生学历的有35人,故所求概率为.
【点睛】本题考查了利用频率估计概率,重点考查了运算能力,属基础题.
18.（1）；（2）；（3）5.
【解析】（1）先求出从10个球中不放回地随机取出2个的不同取法数,再求出第二次取到红球的不同取法数,然后求概率即可；
（2）结合（1）求解即可；
（3）由取出的2个球都是红球的概率求出基本事件的个数,然后再求解即可.
【详解】解:（1）从10个球中不放回地随机取出2个共有（种）可能,即.
设事件A=“两次取出的都是红球”,则.
设事件B=“第一次取出红球,第二次取出绿球”,则.
设事件C=“第一次取出绿球,第二次取出红球”,则.
设事件D=“两次取出的都是绿球”,则.
事件A,B,C,D两两互斥.
∴P（第二次取到红球）=.
（2）P（两次取到的球颜色相同）；
（3）,.
又,解得.
【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法,重点考查了运算能力,属基础题.
19.(1)；(2).
【分析】（1）将名志愿者进行编号,列举出所有的基本事件,并确定所求事件所包含的基本事件数,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）列举出甲、乙获得纪念品价值的所有情况,并确定所求事件所包含的情况,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】（1）解:因为志愿者年龄在、、内的频率分别为、、,
所以用分层抽样的方法抽取的名志愿者年龄在、、内的人数分别为、、.
记年龄在内的名志愿者分别记为、、,
年龄在的名志愿者分别记为、,年龄在内的名志愿者记为,
则从中抽取名志愿者的情况有、、、、、、、
、、、、、、、,共种可能；
而至少有名志愿者的年龄在内的情况有、、、、、
、、、,共种可能.
所以至少有名志愿者的年龄在内的概率为.
（2）解:甲、乙获得纪念品价值的情况有、、、、、
、、、,共种可能；
而甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的情况有、、、、
、,共种可能.
故甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的概率为.
20.(1) (2)
【分析】（1）根据题意,由古典概型的概率计算公式,代入计算,即可得到结果；
（2）根据题意,由相互独立事件的概率计算公式,代入计算,即可得到结果.
【详解】（1）记3名男生分别为,,,2名女生分别为,,则随机抽取2名同学的样本空间
,
共10种；
记事件 “恰好抽到2名男生”,
则事件共3种；
∴.
（2）设事件 “甲答对2道题”,事件“乙只答对1道题”,
根据独立性假定,得
,
,
∴,
所以,甲答对2道且乙只答对1道题的概率是.
21.(1)
(2)
【分析】（1）设“甲第i轮做对”,设“乙第i轮做对”,设“两轮比赛甲得i分”,设“两轮比赛乙得i分”,根据独立事件的乘法公式与互斥事件的加法公式运算即可；
（2）设“不进行加赛甲就获得数独王”,根据独立事件的乘法公式与互斥事件的加法公式运算即可.
【详解】（1）设“甲第i轮做对”,设“乙第i轮做对”,设“两轮比赛甲得i分”,设“两轮比赛乙得i分”.
.
所以两轮比赛结束乙得分为1分的概率为；
（2）设“不进行加赛甲就获得数独王”.
,
,
,
所以不进行加赛甲就获得数独王的概率为.
22.(1)；(2)平均数为,中位数为；(3).
【分析】(1)由频率分布直方图的性质求第七组的频率；
(2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数；
(3)确定样本空间,利用古典概型概率公式求概率.
【详解】解:(1)第六组的频率为,
∴第七组的频率为.
(2)由直方图得,身高在第一组的频率为,
身高在第二组的频率为,
身高在第三组的频率为,
身高在第四组的频率为,
由于,,
设这所学校的800名男生的身高中位数为m,则,
由得,
所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm,平均数为
.
(3)第六组的抽取人数为4,设所抽取的人为a,b,c,d,
第八组的抽取人数为,设所抽取的人为A,B,
则从中随机抽取两名男生有ab,ac,ad,bc,bd,cd,aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB,AB共15种情况,
因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组,所以事件E包含的基本事件为ab,ac,ad,bc,bd,cd,AB共7种情况.所以.