数学人教A版（2019）必修第一册1.1集合的概念（共23张ppt）

(共23张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
本章知识结构图
学习目标：学会使用集合和逻辑用语表达和交流数学问题，提升交流的逻辑性、准确性、简洁性、统一性
充分条件与必要条件、
全称量词与特称量词
集合：可简洁、准确地表达数学研究对象及研究范围的数学语言。为定义函数和研究函数的性质、随机事件的关系、方程或不等式的解集、点线面的关系等提供语言基础。
逻辑用语：表达命题及命题间的逻辑关系的数学语言。可以使我们正确理解数学概念、合理论证数学结论、准确表达数学内容。
集合的概念、表示方法、基本关系、基本运算
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
一
二
三
学习目标
理解集合相关的概念与性质
理解元素与集合的关系
能够将集合表示出来（常见的数集）
学习目标
集合论作为数学中最富创造性的伟大成果之一，是在19世纪末由德国的康托尔(1845－1918)创立起来的。但是，它萌发、孕育的历史却源远流长，至少可以追溯到两千多年前。
格奥尔格·康托尔
德国数学家
集合论创始人
主要成就：集合论和超穷数理论
“关于数学无穷的革命几乎是由他一个人独立完成的。”
课外知识
问题1 初中，我们接触了哪些集合？
数集：自然数的集合，有理数的集合...
点集：圆（同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合）
线段的垂直平分线（到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合）
新课导入
为了更有效地使用集合语言，我们需要进一步了解集合的有关知识. 下面先从集合的含义开始.
新知探究：集合的概念
问题2 什么是集合？什么是元素？
看下面的例子：
（1）1～10之间的所有偶数；
（2）立德中学今年入学的全体高一学生；
（3）所有的正方形；
（4）到直线l的距离等于定长d的所有点；
（5）方程x2－3x＋2＝0的所有实数根；
（6）地球上的四大洋.
2，4，6，8，10
全部正方形，无数个
点构成了直线
太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋
全部新生
例(1)中，我们把1~10之间的每一个偶数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样地，例(2)中，把立德中学今年人学的每一位高一学生作为元素，这些元素的全体也是一个集合.
追问 上面的例(3) 到例(6)也都能组成集合吗 它们的元素分别是什么
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合,简称为集.
概念生成
集合的含义
我们常用大写字母A，B，C…表示集合，常用小写字母a, b, c …表示元素.
“对象”
集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中我看到的、听到的、想到的、触摸到的事物和抽象的符号等等，都可以看做对象。比如数、点、图形、多项式、方程、函数、人等等、
“总体”
集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是全体，而非个别对象了。
新知探究：集合中元素的性质
问题3(1) 所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？
“帅”是一个含糊不清的概念，具有相对性，多么“帅”才算“帅”？没有明确的标准，也就是说，是一些不能够确定的对象．因此，不能构成集合．
不能. 其中的元素不确定
集合中的元素是确定的
问题3(2) 由1,3,0,5,︱-3 ︳这些数组成的一个集合中有5 个元素，这种说法正确吗？
不正确.集合中只有4个不同元素1，3，0，5 .
集合中的元素是互异的
问题3(3) 高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？
集合没有变化
集合中的元素是没有顺序的
新知探究：集合中元素的性质
集合中的元素是无先后顺序的，即集合里的任何两个元素可以交换位置.
一个给定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同.
给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.
(1) 确定性：
(2) 互异性：
(3) 无序性：
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.
思考 怎样的两个集合相等？
辨析 下面各组对象能否构成集合？并说明理由．
（1）所有的好人；
（2）小于2003的数；
（3）和2003非常接近的数；
（4）参加数学比赛的年龄较小的同学；
（5）亚洲所有的国家；
（6）立方根等于自身的数；
（7）西湖里的漂亮的鱼；
（8）较大的数．
否，不确定性
能
否，不确定性
否，不确定性
能
能
否，不确定性
否，不确定性
理解辨析
新知探究：元素与集合的关系
问题4 已知下面的两个实例：
①用A表示高一(3)班全体学生组成的集合.
②用a表示高一(3)班的一位同学，b表示高一(4)班的一位同学.
那么a，b与集合A分别有什么关系
a是集合A中的元素,
b不是集合A中的元素.
新知探究：元素与集合的关系
(1) 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
(2) 如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
集合与元素的关系
说明：
属于符号和不属于符号具有方向性，左边是元素右边是集合。
新知探究：常用数集及记法
学习集合与元素的概念后，为了方便书写，数学中规定了一些常用数集及其记法：
数集 符号 含义
实数集 R 全体实数
自然数集 N 非负整数(含0)
正整数集 N*或N+ 大于0的整数(不含0)
整数集 Z 全体整数(正/负/0)
有理数集 Q 全体有理数(整数/分数)
Real number
Natural number
zhěng 德Zahlen
Quotient(商)
Rational number
新知探究：集合的表示方法
1.自然语言
用自然语言描述一个集合。如：
（1）1～10之间的所有偶数；
（2）立德中学今年入学的全体高一学生；
（3）所有的正方形；
（4）到直线l的距离等于定长d的所有点；
（5）方程x2－3x＋2＝0的所有实数根；
（6）地球上的四大洋.
新知探究：集合的表示方法
2.符号语言
①列举法：所有元素一一列举，并用“,”隔开，用“{ }”括起来
如：A={2,4,6,8,10}
适用于元素个数有限或无限但有规律的集合.
{1,2,3,…,1000}
N={0,1,2,3,…}
“{ }”表示“所有”、“全体”
“地球上的四大洋”组成的集合表示为：
“方程（x+1)(x+2)=0的所有根”组成的集合表示为：
{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}
{1，2}
思考 下列几种表达方式中哪些才是实数集的正确表示？
｛实数｝, {实数集｝,｛全体实数｝, R,｛R｝
说明：花括号表示的是“所有”“整体”的含义
例1 用列举法表示下列集合：
(1) 小于10的所有自然数组成的集合；
(2) 方程x2＝x的所有实数根组成的集合.
解：(1) 设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么
A＝{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
(2) 设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0, 1}.
典例分析
新知探究：集合的表示方法
(1)你能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗
(2)你能用列举法表示不等式 x-7<3的实数解集吗
“10以内能被3整除的所有自然数”
满足“x<10”的实数有无数个，无法一一列举.
元素的共同特征
x∈R、x<10
思考
②描述法：把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x
所组成的集合表示为{x∈A | P(x)}
{x∈A : P(x)}
{x∈A ; P(x)}
{x∈R|x<10}.
比如：不等式x－7<3的解集可表示成
(3)你能用描述法表示偶数集和奇数集吗
偶数集：{x∈Z | x=2k,k∈Z}
奇数集：{x∈Z | x=2k+1,k∈Z}
提示：偶数和奇数的共同特征是什么
思考
新知探究：集合的表示方法
▲约定：若从上下文的关系看, 元素的取值范围是明确的,则可省略不写.
思考 （4）有理数集怎么表示呢？
偶数集{x|x=2k,k∈Z}
x-7<3的解集为{x|x<10}
奇数集{x|x=2k+1,k∈Z}
典例解析
解：(1) 用描述法
用列举法
(2) 用描述法
用列举法
例2 试分别用描述法和列举法表示下列集合：
(1) 方程x2-2=0的所有实数根组成的集合A；
(2) 由大于10小于20的所有整数组成的集合B.
A={x| x2-2=0}.
B={x∈Z|10B={11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}.
自然语言是最基本的语言形式，使用范围广，但是具有多义性，有时难于表达。
列举法直观地体现了元素的个体，但是有局限性，多适用于元素个数较少的有限集。
描述法具有抽象概括、普遍性的特点，适用于元素共同特征明显的集合，有些集合元素没有明显的共同特征，则不能用描述法。
方程的解集
｛1｝
｛| ｝
新知探究：集合的表示方法
问题5 表示集合的三种方法各有什么特点？
巩固练习
1. 判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由．
(1) 与定点A，B等距离的点；
(2) 高中学生中的游泳能手．
解：(1) 能组成集合.
(2) 不能组成集合，因为不满足集合元素的确定性.
教材P5
2. 用符号“ ”或“ ”填空：






3. 用适当的方法表示集合：
(1) 方程x2-9=0的所有实数根组成的集合；
(2) 一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合；
(3)不等式4x-5<3的解集.
（1）{-3, 3}
（2）{(1, 4)}；
（3）{x|x<2}.
点P在AB的中垂线上
元素不确定
或{x∈R|x2-9=0}
课堂小结
本节课你学会了哪些主要内容？
1．集合的概念;
2．集合元素的性质：确定性，互异性，无序性；
3．数集及有关符号；
4. 集合的表示方法；　
5. 元素与集合的关系。