辽宁省大连市重点中学2023-2024学年高三上学期期初考试数学试题（含答案）

高三期初考试数学试题
考试时间：90分钟
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 已知集合，，，则实数m的值为（ ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
3. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4. 已知函数在处取得极值5，则（ ）
A. －7 B. －3 C. 3 D. 7
5. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”如下：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得十钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得10钱，则分到钱的人数为（ ）
A. 10 B. 15 C. 105 D. 195
7. 已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有，.若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（ ）
A. 11200 B. 11202 C. 12010 D. 12100
8. 已知是可导函数，且对于恒成立，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 下列求导正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10. 设等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则（ ）
A. B. C. D.
11. 在数列中，，且对任意不小于2的正整数n，恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. ，，成等比数列 D.
12. 定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A. B. 函数是周期函数
C. D. 函数关于对称
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，则的最小值为______.
14. 记为等比数列的前n项和，已知，，则______.
15. 已知函数，的最大值为M，最小值为m，则______.
16. 已知点A在函数的图象上，点B在直线l：上，则A，B两点之间距离的最小值是______.
四、解答题（本题共4小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值.
18.（本小题满分12分）
不等式的解集是，集合.
（1）求实数a，b的值；
（2）若集合A是B的子集，求实数m的取值范围.
19.（本小题满分12分）
已知数列的前n项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
20.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若（e是自然对数的底数），且，，，证明：.
高三期初考试数学答案
1-8 CBDA CBBB
9. AD 10. AC 11. ACD 12. ABC
13. 4 14. 4 15. 6 16.
17.（1）由题知，，，
∴，而，
∴曲线在点处的切线方程为，即.
（2）令得；令得，
∴的单调减区间是，的单调增区间是.
∴当时，取极小值，无极大值.
18.（1）由题意知，且方程的两个根为，2，代入得
，解得，.
（2）由（1）知，，故集合，
于是有，可得，
若，，可得，解得；
若，，可得，解得；
若，符合条件.
故实数m的取值范围是.
19. 解：（1）因为，所以.
又因为，.
所以，，即，，
所以是公差为2的等差数列.
因为，所以.
（2）.
，①
.②
①－②得
，所以.
20.（1）函数，
则，
令，解得，
若，
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减；……3分
若，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增.……6分
（2）证明：因为，两边取对数，可得，
即，所以，……7分
此时当时，存在且，，，满足；
由（1）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，所以，，
①若，则成立；……8分
②若，则，
记，
则，
所以在上单调递增，……9分
则，即，
所以，
因为，所以，
又，在上单调递减，
所以，即，……10分
又，，
以上两式左右分别相加，可得，
即，
综合①②可得，.……12分