2025届高一（下）期中考试
数学试题
本卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合A，再求出集合B，最后根据交集的定义计算可得；
【详解】由已知得，.
所以.
故选：A.
2. 若复数（是虚数单位），则对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简得复数，再根据共轭复数与复数的几何意义，可得共轭复数应的点所在象限.
【详解】因为，
则，因此，对应的点，在第三象限.
故选：C.
3. 若向量满足，则（ ）
A. B. C. 8 D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】根据数量积的运算求得，再利用模长与数量积的关系求解即可.
【详解】，得，
所以.
故选：A.
4. 已知，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】利用同角三角函数的关系化简计算
【详解】因为，
所以，
故选：D
5. 若的面积为，，，则（ ）
A. B. C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形面积公式可得，利用余弦定理可得.
【详解】
由题意，
得,
由余弦定理得，
得.
故选：B
6. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】先求出，再根据二倍角余弦公式求出，然后根据诱导公式求出.
【详解】由题意可得：，且，
所以，
所以，
故选：C
【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题.
7. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则“”是“函数为偶函数”的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意求出函数的解析式，然后通过函数是偶函数求出的取值范围，最后与进行对比，即可得出“”与“为偶函数”之间的关系．
【详解】因为函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，
所以，
因为为偶函数，
所以，即，
当时，可以推导出函数为偶函数，
而函数为偶函数不能推导出，
所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A
8. 在正方形中，动点从点出发，经过，，到达，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，写成点的坐标，分点在，，三种情况，求出的取值范围.
【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，
设，则，
当点在上时，设，
则，即，故，
当点在上时，设，
则，即，解得，
故，
当点在上时，设，
则，即，故
综上，的取值范围是.
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.
9. 设函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递减
C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】由周期公式可判断A；利用余弦函数减区间解不等式可判断B；根据余弦型函数的对称轴过最值点，直接验证可判断CD.
【详解】函数的最小正周期，所以A正确；
由得：，因为是的真子集，所以在区间上单调递减，故B正确；
因为，所以的图象关于直线对称，故C不正确；D正确.
故选：ABD
10. “关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件有 （ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】讨论二次项系数，求出满足条件的的范围，根据题中条件考查选项即可.
【详解】若关于不等式对恒成立，
当时，不等式为，满足题意；
时，则必有且
解得，
故的范围为，
故“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的集合必真包含集合，
考查选项知满足条件.
故选：
11. 已知分别是的内角的对边，且，，则（ ）
A. B. C. 面积的最大值为 D. 面积的最大值为
【答案】AC
【解析】
【分析】对于AB，将已知等化简后，利用余弦定理可求得角，对于CD，由，，结合基本不等式可求得，然后利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.
【详解】对于AB，由，得，化简得，
所以由余弦定理得，
因为，所以，所以A正确，B错误，
对于CD，由，，得，当且仅当取等号，
所以，当且仅当取等号，
所以，当且仅当取等号，
所以面积的最大值为，所以C正确，D错误，
故选：AC
12. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间内不存在零点，则的值可以是（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】ABC
【解析】
【分析】先利用三角函数图象变换规律求出的解析式，再由求出的范围，然后由题意可得，且（），从而可求出的范围.
【详解】把函数的图象向左平移个单位长度，得
，
由，得，
因为在区间内不存在零点，所以，得，
（），解得（），
因为，所以或，
所以选项ABC符合条件，D不符合条件，
故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知复数，则的虚部为___________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据复数的四则运算法则，进行运算即可.
【详解】，
的虚部为
故答案为：
14. 在分层随机抽样中，总体共分为两层，第一层的样本量为20，样本平均数为5，第二层的样本量为30，样本平均数为10，则该样本平均数为___________.
【答案】8
【解析】
【分析】根据平均数的定义结合题意直接求解即可
【详解】由题意得该样本平均数为
，
故答案为：8
15. 已知，，且，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由条件可得，则利用均值不等式可得答案.
【详解】由得，
所以当且仅当，即且时取得等号.
故答案为：
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
16. 已知的内角所对的边分别为，满足，，若M为的外心，AM的延长线交BC于D，且，则=____；的面积为__________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】由正弦定理边角关系得，结合三角形内角性质、三角恒等变换化简可得，即可求大小，进而求得外接圆半径，结合正弦定理可得，即可求三角形面积.
【详解】由题设，而，
所以，
则，又，可得，，故.
所以外接圆半径为，
等腰中，且，
所以，则，即，故，
又，，则的面积为.
故答案为：，
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知函数且，且的图象过点.
（1）求的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)由，求得，从而可得答案；
（2）根据在R上单调递增，可得，进而可得答案.
【小问1详解】
的图象过点，
，
又
【小问2详解】
在R上单调递增
.
18. 如图，在边长为2的等边中，，点是的中点，设.
（1）用表示;
（2）求.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量的加减的三角形法则和线性运算可得.
（2）利用数量积的运算律转化即可.
【小问1详解】
，
.
【小问2详解】
.
19. 已知的内角的对边分别为，且的面积为.
（1）求；
（2）若为的中点，边上的高为，求的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】根据正弦定理对题中条件进行变化并化简，即可求得；
根据三角形面积公式可求得及的值，又，两边平方并化简即可.
【小问1详解】
，
由正弦定理得
则,又，
则，
，又,
.
【小问2详解】
又，，
，
又,
所以，
又因为，
所以
，
20 已知，
（1）求以及的单调减区间；
（2）若在上有唯一解，求的取值范围.
【答案】（1）；减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用向量的数量积运算和三角函数恒等变换公式化简变形可求出，由可求得其单调减区间；
（2）由，得，再由求出的范围，然后由在上有唯一解，可求出的取值范围.
【小问1详解】
因为
所以
由，得，
所以的单调减区间，
【小问2详解】
由，得，则，
由，得，
因为在上有唯一解，
所以，得.
21. 如图，在平面直角坐标系中，以为始边,顶点与原点重合，分别作角，其中，终边分别与单位圆交于两点，且.已知点坐标为.
（1）求的值；
（2）已知为实数，求函数的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由任意角的三角函数的定义可得，然后由同角三角函数的关系可求出，再由，结合诱导公式可求出，从而可求出，
（2）由（1）可求出，从而可得，化简后结合二次函数的性质可求得其最大值.
【小问1详解】
由题意得，因为，所以，
因为，，
所以，，
所以，
【小问2详解】
，
①当，即时，时，，
②当，即时，时，，
③当，即时，时，.
综上，.
22. 如图，在平面四边形中，．
（1）判断的形状并证明；
（2）若，，，求四边形的对角线的最大值．
【答案】（1）直角三角形，证明见解析
（2）9
【解析】
【分析】（1）首先在中，运用正弦定理，将条件中的转化为，然后通过三角函数恒等变换化简求出，即可判断的形状.
（2）首先在BC上方作Rt△BCM使，且，然后利用相似三角形求得与的长度，然后利用即可求出的最大值.
【小问1详解】
已知，由正弦定理可得：，
即
得，
，，
故，即为直角三角形．
【小问2详解】
如图，在BC上方作Rt△BCM使，且，
∴，
∴且
∴，由，，得，
在中，，
由，，得.
由，得，
∴，当MAC上时等号成立，2025届高一（下）期中考试
数学试题
本卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数（是虚数单位），则对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 若向量满足，则（ ）
A. B. C. 8 D. 12
4. 已知，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. 若的面积为，，，则（ ）
A. B. C. 3 D. 4
6. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）
A. B. C. D.
7. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则“”是“函数为偶函数”的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 在正方形中，动点从点出发，经过，，到达，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.
9. 设函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 最小正周期为 B. 在区间上单调递减
C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称
10. “关于不等式对恒成立”的必要不充分条件有 （ ）
A. B. C. D.
11. 已知分别是的内角的对边，且，，则（ ）
A. B. C. 面积的最大值为 D. 面积的最大值为
12. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间内不存在零点，则的值可以是（ ）
A B. C. 1 D. 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知复数，则的虚部为___________.
14. 在分层随机抽样中，总体共分为两层，第一层的样本量为20，样本平均数为5，第二层的样本量为30，样本平均数为10，则该样本平均数为___________.
15. 已知，，且，则的最小值为______.
16. 已知的内角所对的边分别为，满足，，若M为的外心，AM的延长线交BC于D，且，则=____；的面积为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知函数且，且的图象过点.
（1）求的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
18. 如图，在边长为2的等边中，，点是的中点，设.
（1）用表示;
（2）求
19. 已知的内角的对边分别为，且的面积为.
（1）求；
（2）若为的中点，边上的高为，求的长.
20. 已知，
（1）求以及的单调减区间；
（2）若在上有唯一解，求的取值范围.
21. 如图，在平面直角坐标系中，以为始边,顶点与原点重合，分别作角，其中，终边分别与单位圆交于两点，且.已知点坐标为.
（1）求的值；
（2）已知为实数，求函数的最大值.
22. 如图，在平面四边形中，．
（1）判断的形状并证明；
