下关一中 2023-2024 学年高二年级上学期见面考试
数学试卷参考答案
1．C
【详解】命题“ x0 R, x
2
0 2x0 1 0 ”的否定是“ x R ， x2 2x 1 0 ”.
故选：C
2．D
【详解】 tan π tan π tan 2 2sin cos 2 tan 1，则 1.
sin cos tan 1
故选：D
3．D
iπ
iπ 1 2 iπ πi
【详解】因为 z e 2 e2 e 4 e4 ，
πi
e4 cos π因为 isin π 2 2 2 i，所以 z的虚部为 .
4 4 2 2 2
故选：D.
4．D
【详解】对于 A， AB, AC大小不相等，分向不相同，故不是相等向量，故 A错误；
对于 B， BD,CD大小不相等，分向相反，是相反向量，故 B错误；
对于 C，利用三角形法则知 AB AC 2AD，故 C错误；
uuur uuur uuur
对于 D，利用三角形法则知 AB BD AD，故 D正确；
故选：D
5．
6．A
b2 c2 a2 1 2π
【详解】因为b2 c2 bc a2，所以 cos A ，所以 A ，2bc 2 3
S S S 1 2π 1由 ABC ABD ACD，所以 bc sin b AD sin
π 1 π
c AD sin ，化简得到
2 3 2 3 2 3
bc 2b 2c，
{#{QQABaYYEggioABBAARgCEQUiCgCQkBAACCgOREAMMAABSBFABAA=}#}
所以bc 2(b c) 4 bc ，则bc 16，当且仅当b c 4时，等号成立，
BA AC BA AC cos π 1
所以 bc 8，则 BA AC的最小值为8 .3 2
故选：A．
7．D
π
【详解】A：因为 f x tan 2x ，
3
所以函数 f x π的最小正周期T ，故 A正确.
2
B：由正切函数的图像和性质可知函数 f x 的值域为R，故 B正确.
2x π kπ x kπ πC：由 ， k Z ，得 ， k Z ，当 k 5π 1时， x ，
3 2 4 6 12
5π
所以点 , 0
是函数 f x 的图象的一个对称中心，故 C正确.
12
2π
D：因为 f tan
2 2π π 7π tan 0，
5 5 3 15
f 3π tan 2 3π π 13π 2π 3π tan 0 f
，所以
5
f ，故 D不正确.
5 3 15 5 5
故选：D.
8.B
【详解】对于 A，由题意可知 f x 0时， x b或 x 0或 x b，
故方程 f g x 0时，则 g(x) b或 g(x) 0或 g(x) b，
a b 0, b [ a,a], b [ a,a]，
又 y g x 在 a,a 上单调递减，故 g(x) b,g(x) 0,g(x) b都有唯一解，
即方程 f g x 0有且仅有三个解，A正确；
对于 B， g x 0时， x b，故 g f x 0时， f x b，而 a b c 0，
故由 y f x 图象可知 f x b有一个解，即方程 g f x 0有且仅有一个解，B不正确；
对于 C， f x 0时， x b或 x 0或 x b，故由 f f x 0可得 f (x) b或 f (x) 0 或
f (x) b，而a b c 0, c b a，故 f (x) b和 f (x) b各有唯一一个解，f (x) 0
有 3个解，故方程 f f x 0有且仅有五个解，C正确；
对于 D， g x 0时， x b，故由 g g x 0可得 g x b，而a b 0， y g x 在
{#{QQABaYYEggioABBAARgCEQUiCgCQkBAACCgOREAMMAABSBFABAA=}#}
a,a 上单调递减，故 g x b有唯一解，故方程 g g x 0有且仅有一个解，D正确，
故选：B
9.AC
【详解】将数据从小到大排序为1， 2， 2， 2，3，3，3， 4，5，5，
3 3
故中位数为 3，故 A正确；
2
1 2 2 2 3 3 3 4 5 5
平均数为 3，
10
1 3 2 2 3 2 3 3 3 2 3 4 3 2 5 3 2 2
则方差为 16 8 ，故 B错误；
10 10 5
众数为 2和3，故 C正确；
这组数据的第85百分位数为10 85% 8.5，8.5不是整数，故取第 9个数字，第 9个数字为
5，故 D错误.
故选：AC.
10．BD
【详解】对于 A：由事件A， B互斥得不到事件A， B对立，故充分性不成立，
由事件A， B对立一定可以得到事件A， B互斥，故必要性成立，
所以“事件A， B互斥"是“事件A， B对立”的必要不充分条件，故 A错误；
对于 B：掷两枚质地均匀的骰子，设 A “第一次出现奇数点”，B “第二次出现偶数点”，
因为是掷两枚质地均匀的骰子，事件A， B可以同时出现，因此二者不互斥，不对立，
事件A的发生与否不影响事件 B的发生，故这两事件相互独立，故 B正确；
对于 C：因为 P A 0.7， P B 0.8且A与 B相互独立，
所以 P A B P A P B P AB 0.7 0.8 0.7 0.8 0.94，故 C错误；
对于 D：因为 P A 0， P B 0，
若事件A、 B相互独立，则 P AB P A P B 0，所以事件A、 B不互斥，
若事件A、 B互斥，则 P AB 0，又 P A P B 0，
所以 P AB P A P B ，则事件A、 B不相互独立，
即 P A 0， P B 0，则事件A， B相互独立与事件A， B互斥不能同时成立，故 D正
{#{QQABaYYEggioABBAARgCEQUiCgCQkBAACCgOREAMMAABSBFABAA=}#}
确.
故选：BD
11．ACD
【详解】根据题意，甲一共加工的时间为 (12 0) (128 20) 120 分钟，
600
一共加工了 600个零件，则甲每分钟加工的数量是 5，所以选项 A正确，
120
设D的坐标为 (t , 0 ) ，
在区间 (128, t)和 (12，20 )上，都是乙在加工，则直线 AB和CD的斜率相等，
则有 ABO CDB，
在区间 (20,128) 和 (0,12)上，甲乙同时加工，同理可得 AOB CBD，
则 AOB∽ CBD，
12 128 20
则有 t 20020 t 20 ，解可得 ；
即点D的坐标是 (200,0)，所以选项 C正确；
600
由题得乙每分钟加工的零件数为 =3个，
200
所以甲每分钟比乙多加工 5-3=2 个，
在 60分钟时，甲比乙多加工了（60-20） 2=80个零件，所以选项 B错误；
当 x 128时， y (128 20) 2 216，所以 y的最大值是 216.所以选项 D正确.
故选：ACD
12．ABD
【详解】对于 A，如图所示，在菱形 ABCD中， AB 2， ABC 60 ，所以△ABC为等边
三角形，
又 M是 BC的中点，所以 AM CM ，由翻折性质知，又因为B1M，CM 平面 B1MC，
B1M CM M ，
所以 AM 平面 B1MC，因为 AM 平面 AMCD，所以平面 B1MC 平面 AMCD，故 A正确；
1
对于 B，如图所示，取 AD中点 E，则 EN // AB1， EN AB1 1，在菱形 ABCD中，2
因为 AE //CM , AE CM，所以四边形 AECM为平行四边形，
所以CE / /AM ，CE AM AB 2 BM 2 2AB BM cos60 3 ，
因为∠NEC和 B1AM 的两边方向相同，
{#{QQABaYYEggioABBAARgCEQUiCgCQkBAACCgOREAMMAABSBFABAA=}#}
则由等角定理得 NEC
B1AM ，在△NEC中，6
由余弦定理可得CN 2 EN 2 CE 2 2EN CE cos NEC 1 3 2 1 3 3 1 ，
2
所以CN 1，即 CN长为定值，故 B正确；
对于 C，由题意可知当平面 AB1M 平面 AMD时，三棱锥 B1 AMD的体积最
大，
由 A项已证知此时 B1M 平面 AMD，易知 DAM 90 ，所以 AM AD，
故可将三棱锥 B1 AMD的顶点放置在长宽高分别为 2， 3，1的长方体的顶点处，
此时三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
1 2
则长方体的外接球半径 r 22 3 12 2，表面积为 4πr 2 8π，故 C错误；2
对于 D，因为CE / /AM ，则直线 AM和 CN所成的角为 ECN或其补角，
因为 EN CN， ECN NEC
π
，故 D正确.
6
故选：ABD．
12．
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于要明确复合函数的含义，要把内层函数当作一个变
量，先由外层函数的图象确定其解的个数，再结合内层函数的图象即可确定复合函数的解的
个数.
13
13． /6.5
2
3 3 13
【详解】原式 log3 32 lg(125 8) 2 3 2 ，2 2
13
故答案为：
2
2
14.
5
3 3 4 4
【详解】由三角函数的定义可得 cos ， sin ，
3 2 42 5 3 2 42 5
因此， sin 2cos
4
2 3 2
5
5
.
5
15． 3
{#{QQABaYYEggioABBAARgCEQUiCgCQkBAACCgOREAMMAABSBFABAA=}#}
【详解】在 ABC π中， a 2， A ，
3
a2 b2 c2 2bccos A b2 c2 bc，即bc 4 b2 c2 ，
因为bc 4 b2 c2 2bc，所以bc 4，当且仅当b c 2时等号成立，
S 1 bcsin A 1则 4 3 3，当且仅当b c 2时等号成立，
2 2 2
即 ABC的面积的最大值为 3 .
故答案为： 3．
16．1
【详解】解：在三棱锥 P ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且 PA 3，PB 2，PC 1，
可得 PA 平面 PBC，
1
则V
1
P ABC PA S
1 1
PBC PA PB PC
1
3 2 1 1，由题意可得 x y 1，即 x y 13 3 2 6 2 ，2
1 a
8 8 (1 a 1 a 1 a恒成立，等价为 )min，由 2(x y)( ) 2(1 a
y ax
)
x y x y x y x y x y
2(1 a 2 y ax ) 2(1 a) 2
x y ，当且仅当 y ax时，上式取得等号．
所以8 2(1 a )2 ，解得a 1，即 a的最小值为 1，
故答案为：1．
17．(1)表格见解析， 2sin 2x ； (2) k , k ,k Z . 6 3 6
【详解】（1）把表格补充完整如下所示：
x 3 0 π 2 2π2
x 5 11 2
12 6 12 3 12
y Asin x 0 2 0 ﹣2 0
1 2 2
根据表格可得 2 ，∴ω＝2．又函数的最大值为 2， A 0，故 A 2； 3 6
再根据五点法作图可得 2 ，∴φ ，∴函数的解析式为： f x 2sin 2x .6 2 6 6
（2）令 2kπ 2x 2kπ
，求得 kπ x≤kπ , k Z，
2 6 2 3 6
故可得函数 f x 的单调递增区间为[ kπ， kπ]， k Z．
3 6
18．(1) 0.4 (2)20 (3)3: 2
{#{QQABaYYEggioABBAARgCEQUiCgCQkBAACCgOREAMMAABSBFABAA=}#}
【详解】（1）解：根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为
0.02 0.04 10 0.6
所以样本中分数小于70的频率为1 0.6 0.4 .
（2）解：根据题意，样本中分数不小于 50的频率为 0.01 0.02 0.04 0.02 10 0.9，
分数在区间 40,50 内的人数为100 100 0.9 5 5 .
5
所以总体中分数在区间 40,50 内的人数估计为 400 20 .
100
（3）解：由题意可知，样本中分数不小于 70的学生人数为 0.02 0.04 10 100 60，
1
所以样本中分数不小于 70的男生人数为60 30 .
2
所以样本中的男生人数为30 2 60，女生人数为100 60 40，
男生和女生人数的比例为60 : 40 3: 2 .
所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3: 2 .
19．(1) B ;(2) ( 3 , 3 ) .
3 8 2
【详解】(1)
[方法一]【最优解：利用三角形内角和为 结合正弦定理求角度】
A C B
由三角形的内角和定理得 ，
2 2 2
B
此时 a sin
A C
b sin A就变为 a sin
b sin A ．2 2 2
B
由诱导公式得 sin cos
B
，所以 acos
B
bsin A．
2 2 2 2
在 ABC中，由正弦定理知 a 2Rsin A,b 2Rsin B，
此时就有 sin Acos
B
sin Asin B，即 cos
B
sin B，
2 2
B B B
再由二倍角的正弦公式得 cos 2sin cos ，解得 B ．
2 2 2 3
[方法二]【利用正弦定理解方程求得 cosB的值可得 B的值】
由解法 1得 sin
A C
sin B，
2
两边平方得 sin2
A C sin2 B 1 cos(A C) 2，即 sin B．
2 2
又 A B C 180 ，即 cos(A C) cos B，所以1 cos B 2sin2 B，
进一步整理得 2cos2 B cos B 1 0 ，
{#{QQABaYYEggioABBAARgCEQUiCgCQkBAACCgOREAMMAABSBFABAA=}#}
解得 cosB
1
，因此 B ．
2 3
[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为 求得 A,B,C的比例关系】
A C
根据题意 a sin b sin A
A C
，由正弦定理得 sin Asin sin B sin A，
2 2
因为0 A ，故 sin A 0，
sin A C消去 sin A得 sin B．
2
0 A C A C0 B ， ，因为故 B
A C
或者 B ，
2 2 2
A B C A C A C而根据题意 ，故 B 不成立，所以 B，
2 2
又因为 A B C ，代入得3B ，所以B .
3
(2)
[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得 C 的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】
因为 ABC是锐角三角形，又 B ，所以 A , C ，
3 6 2 6 2
则
1 sin 2 C S V ABC = ac sinB = 12 c2
a sinB 3 sin A 3 3
2 c 4 sinC 4 sinC
sin 2 3 cosC cos
2 sinC
3 3 3 3 ．
4 sinC 8 tanC 8
C ,
3
因为 ，所以 tanC ,
1
6 2 3
，则 (0, 3)，
tanC
3 3 3 3
从而 S ABC , ,
8 2
，故 ABC面积的取值范围是 8 2
．
[方法二]【由题意求得边 a的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】
3
由题设及（1）知 ABC的面积 S ABC a．△ 4
因为 ABC 为锐角三角形，且 c 1,B ，
3
2 2
cos A
b 1 a
0,
2b b2 1 a2 0，
所以 2 2 即 2 2
b a 1 0.
cosC
b a 1
0,
2ab
{#{QQABaYYEggioABBAARgCEQUiCgCQkBAACCgOREAMMAABSBFABAA=}#}
2 a 0, 1
又由余弦定理得b2 a2 1 a，所以 a 2
2a
2 a 0,即 ，2
3 3 3 3
所以 S ABC ，故 ABC面积的取值范围是 ,8 2 8 2
．
[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】
如图 1，在 ABC中，过点 A作 AC1 BC，垂足为C1，作 AC2 AB与 BC交于点C2．
3
由题设及（1）知 ABC的面积 S ABC a，因为 ABC
为锐角三角形，且 c 1,B ，
△ 4 3
C C c cos B a c所以点 C位于在线段 1 2 上且不含端点，从而 ，cos B
cos a 1 1
即 3 cos ，即 a 2
3
，所以 S 3 ABC ，
3 2 8 2
3 3
故 ABC面积的取值范围是 ,8 2 ．
3 1
20．(1) (2)
10 4
【详解】（1）记 3名男生分别为 A1， A2， A3，2名女生分别为 B1，B2，则随机抽取 2名同
学的样本空间
A1, A2 , A1, A3 , A1,B1 , A1,B2 , A2 ,B1 , A2 , A3 , A2 ,B2 , A3 ,B1 , A3 ,B2 , B1,B2 ，
共 10种；
记事件 A “恰好抽到 2名男生”，
n A 3则事件 A A1, A2 , A1, A3 , A2 , A3 共 3种；∴ P A n ． 10
（2）设事件C1 “甲答对 2道题”，事件C2 “乙只答对 1道题”，
{#{QQABaYYEggioABBAARgCEQUiCgCQkBAACCgOREAMMAABSBFABAA=}#}
根据独立性假定，得
P C 3 3 9 P C 1 2 2 1 41 ， ，4 4 16 2 3 3 3 3 9
∴ P C1C2 P C1 P C
9 4 1
2 ，16 9 4
1
所以，甲答对 2道且乙只答对 1道题的概率是 ．
4
21．(1)证明见解析
PM 1
(2)在棱 PD上存在点M ，使得 AM BD， .
PD 2
【详解】（1）设 BD, AC交与点 F，连接 EF ，
因为底面 ABCD为矩形，所以 F为 BD的中点，
又 E为 PB中点，故 EF∥PD，
而 PD 平面 ACE， EF 平面 ACE，故 PD∥平面 ACE；
（2）在棱 PD上存在点M ，使得 AM BD；
取CD的中点为 O，连接PO,FO ,因为底面 ABCD为矩形，故 BC CD，
PC PD 2，故 O为BC的中点，则 PO CD，而 F为 BD的中点，
故OF∥BC, OF DC；
又平面 PCD 平面 ABCD，PO 平面 PCD，平面 PCD 平面 ABCD CD，
故PO 平面 ABCD，
故以O为坐标原点，OF ,OC,OP分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，
则 A(1, 1,0),D(0, 1,0),B(1,1,0),P(0,0,1)，
PM
设 0,1 ,M x,y,z ，则
PD PM PD
，
x 0
即 (x,y,z 1) (0, 1, 1)
，则 y ，可得M (0, ,1 )，
z 1
故 AM 1,1 ,1 ,BD ( 1, 2,0 )，因为 AM BD，故 AM BD 0，即1 2(1 ) 0，
1 PM 1解得 ，即在棱 PD上存在点M ，使得 AM BD，此时 .
2 PD 2
22．(1) f 0 0 (2)证明见解析(3)答案见解析
【详解】（1）令 x y 0，则 f (0 0) f (0) f (0) , 可得 f (0) 0；
{#{QQABaYYEggioABBAARgCEQUiCgCQkBAACCgOREAMMAABSBFABAA=}#}
（2） f (x)在R 上单调递减，证明如下：
由已知，对于 x, y R有 f (x y) f (x) f (y)成立， f (0) 0，
令 y x，则 f (x x) f (x) f ( x) 0，
所以，对 x R,有 f ( x) f (x) ，故 f (x)是奇函数，
任取 x1, x2 R且 x1 x2，则 x1 x2 0，由已知有 f x1 x2 0，
又 f x1 x2 f x1 f x2 f x1 f x2 0，得 f x1 f x2
所以 f (x)在 ( , )上是减函数；
1 1
（3 2 2）因为 f ax f x f a x f a ，2 2
f ax2 f a2所以 x 2 f ( x) f ( a) ，
f ax2 a2即 x 2 f x a f 2 x 2a ，
因为 f (x)在 ( , )上是减函数，
所以 ax2 a2x 2(x a)， 即 (x a)(ax 2) 0，又 a 0，
2
所以 x a x 0，
a
2
当0 a
2
时，即0 a 2时，原不等式的解集为a
x | a x
a
；
2
当 a 时，即 a 2时，原不等式的解集为 ；a
2 2
当0 a时，即 a 2时，原不等式的解集为 x | x a .a a
综上所述：当0 a 2时，原不等式的解集为 x | a
2
x
a
；
当 a 2时，原不等式的解集为 ；
2
当 a 2时，原不等式的解集为 x | x a .
a
{#{QQABaYYEggioABBAARgCEQUiCgCQkBAACCgOREAMMAABSBFABAA=}#}下关一中 2023-2024 学年高二年级上学期见面考试
数学试卷
（试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟）
注意事项：
1．本卷为试题卷.考生必须在答题卡上解题作答.答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作
答无效.
2．考试结束后，请将答题卡交回.
第Ⅰ卷（选择题，共 60分）
一、单选题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．）
1．命题“ x0 R, x
2
0 2x0 1 0 ”的否定是（ ）
A 2． x0 R， x0 2x0 1 0 B． x
2
0 R， x0 2x0 1 0
C． x R， x2 2x 1 0 D． x R， x2 2x 1 0
tan π 2 2sin cos 2．若 ，则 （ ）
sin cos
A．5 B． 0 C． 4 D．1
3．欧拉公式 ei cos isin 由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数 e，虚数单位 i与三角函数cos ，
iπ
sin 联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数 z e 2 ，则 z的虚部为（ ）
A． i B．1 C 2． i D 2．
2 2
4．如图，在 ABC中，D为 BC的中点，下列结论中正确的是（ ）
A． AB AC B．BD CD C． AB AC AD D. AB BD AD
1
5． 若 a 23，b logπ 3,c log
1
2 ，则（ ）3
A. c b a B. c
6．设 ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，且b2 c2 bc a2，若角A的内角平分线 AD 2，则 BA AC
的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．16 D．12
7．已知函数 f x tan 2x π
，则下列说法错误的是（ ）
3
A．函数 f (x)
π
的最小正周期为 B．函数 f (x)的值域为R
2
5π 2π 3π
C．点 , 0 是函数 f (x)的图象的一个对称中心 D． f f12 5 5
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABaYYEggioABBAARgCEQUiCgCQkBAACCgOREAMMAABSBFABAA=}#}
8.已知 a b c 0，定义域和值域均为 a,a 的函数 y f x 和 y g x 的图象如图所示，给出下列四个结论，
正确结论的是（ ）
A．方程 f g x 0有且仅有三个解 B．方程 g f x 0有且仅有两个解
C．方程 f f x 0有且仅有五个解 D．方程 g g x 0有且仅有一个解
二、多选题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项
是符合题目要求的，多选、错选得 0分，漏选、少选得 3分）
9．给定组数 5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
6
A．中位数为 3 B．方差为
5
C．众数为 2和 3 D．第 85%分位数为 4.5
10．以下结论正确的是（ ）
A．“事件A， B互斥"是“事件A， B对立”的充分不必要条件.
B．掷两枚质地均匀的骰子，设 A “第一次出现奇数点”， B “第二次出现偶数点”，则A与 B相互独立
C．假设 P A 0.7， P B 0.8，且A与 B相互独立，则 P A B 0.56
D．若 P A 0，P B 0，则事件A， B相互独立与事件A， B互斥不能同时成立
11．甲乙两人同时各接受了 600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工
过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量 y（个）
与加工时间 x（分）之间的函数关系，A点横坐标为 12，B点坐标为 (20,0),C点横坐标
为 128．则下面说法中正确的是（ ）
A.甲每分钟加工的零件数量是 5个
B．在 60分钟时，甲比乙多加工了 120个零件
C.D点的横坐标是 200
D． y的最大值是 216
12．如图，在菱形 ABCD中， AB 2， ABC 60 ，M为 BC的中点，将 ABM 沿直线 AM翻折成 AB1M，
连接 B1C和 B1D，N为B1D的中点，则（ ）
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A．平面 B1MC 平面 AMCD
B．线段 CN的长为定值
C．当三棱锥 B1 AMD的体积最大时，三棱锥 B1 AMD的外接球表面积为12
π
D．直线 AM和 CN所成的角始终为
6
第Ⅱ卷（非选择题，共 90分）
三、填空题（本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分．）
13．计算 log3 27 lg125 lg8 7
log7 2的值为 .
14．已知角 的终边经过点 P 3,4 ，则 sin 2cos 的值等于______.
π
15．在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，a 2,A ，则 ABC的面积的最大值为 ．
3
16．如图所示，在三棱锥 P ABC中， PA， PB， PC两两垂直，且 PA 3， PB 2，
PC 1 .设M 是底面 ABC内一点，定义 f (M ) (m,n, p)，其中m、n、 p分别是三棱
1 1 a
锥M PAB、三棱锥M PBC 、三棱锥M PCA的体积.若 f (M ) , x, y ，且 8
2 x y
恒成立，则正实数 a的最小值为 .
四、解答题（共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．）
17．(10分)
某同学用“五点法”画函数 f x Asin x A 0
＞ ， ＞0， ＜
2
在某一个周期内的图象时，列表并填入了
部分数据，如表：
x 3 0 π 2 2π2
x 2
6 3
y Asin x 0 2 0 0
(1)请将数据补充完整；函数 f x 的解析式为 f x ＝_______（直接写出结果即可）；
(2)求函数 f x 的单调递增区间．
18．（12分）
400名大学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100名学生，记录
他们的分数，将数据分成 7组： 20,30 , 30,40], , 80，90]，并整理得到如下频率分布直方图： [ ] [ [
(1)在频率分布直方图中，求分数小于 70的频率；
(2)已知样本中分数小于 40的学生有 5人，试估计总体中分数在区间 40,50 内人数；
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(3)已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70的男女生人数相等.试估计总体中男生和
女生人数的比例.
19．（12分）
ABC A,B,C a,b,c a sin A C 的内角 的对边分别为 ，已知 b sin A ．
2
（1）求 B；
（2）若 ABC为锐角三角形，且 c 1，求 ABC面积的取值范围．
20．（12分）
某班级从 3名男生和 2名女生中随机抽取 2名同学参加学校组织的校史知识竞赛．
(1)求恰好抽到 2名男生的概率；
3
(2)若抽到的 2名同学恰好是男生甲和女生乙，已知男生甲答对每道题的概率均为 ，女生乙答对每道题的概
4
2
率均为 3 ，甲和乙各自回答两道题，且甲、乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响，求甲答 3对 2道
题且乙只答对 1道题的概率．
21．（12分）
如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形，平面 PCD 平面 ABCD，AB 2，BC 1，PC PD 2，
E为 PB中点.
(1)求证： PD∥平面 ACE；
PM
(2)在棱 PD上是否存在点M ，使得 AM BD 若存在，求 的值；若不存在，
PD
说明理由.
22．（12分）
定义在 R上的函数 f x 满足：对于 x， y R， f x y f x f y 成立；当 x 0时， f x 0恒成立.
(1)求 f 0 的值；
(2)判断并证明 f x 的单调性；
1 1
(3) 2 2当a 0时，解关于 x的不等式 f ax f x f a x f a 2 2
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