2014年杭州市初中数学青年教师解能力竞赛
评分标准
一、选择题 (本题有8个小题, 每小题3分, 共24分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
荅案 A B C C A A D B
二. 填空题 (本题有6个小题, 每小题5分, 共30分)
9. 13 10. 1≤DE≤ 11. – 1 12. ， 13.
14．（，1）, （，－1），（－，2）， （－，－2），（0，1），（0，－1）或（-，1）, （-，－1），（－，2）， （－，－2），（0，1），（0，－1）
说明：题9，10，11，13正确给5分，错误0分；题12一个正确给2分，全部正确给5分；
题14八个答案写在一起的，扣一分。写出 ( http: / / www.21cnjy.com )六个解的也扣一分。少一个或一个错误给3分，只有一个正确给1分（注：由于图删除了，故B可以在AC左侧，也可以在AC右侧，发现这一点的教师给满分。但八种解不能同时出现，故扣一分。）
三. 解答题 (本题有7个小题, 共66分)
15．(本小题满分6分)
开放题：如：y=x (x＋2)，y=5(x＋2)(x＋2014)； 2分
一般式：y=k(x- m)(x＋b)＋n，其中k，b为常数，k≠0． 6分
说明：必须引入两个字母k，b才能表示所有符合条件的函数，缺少一个扣一分.
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（第16题）
16．(本小题满分8分)
解法1 求得 AB＝3，
因为 △AEF∽△BED，且 ．
所以 ，即 ，
所以 AE＝AB＝×3＝． 4分
解法2. 用建立直角坐标系的方法． 给8分
1 2 3 4 5 6
1 0 1 2 3 4 5
2 －1 0 1 2 3 4
3 －2 －1 0 1 2 3
4 －3 －2 －1 0 1 2
5 －4 －3 －2 －1 0 1
6 －5 －4 －3 －2 －1 0
若另仍用相似方法求解，正确的只给6分.
17．(本小题满分8分)
(1) 所有的可能出现的情况如图, 共有36种情况．
k 可以取的值是： – 5，–4，– 3，–2，– 1，0，1，2，3，4，5 . 2分
(2) ①当k ＝－2时，出现的情况有4种，
所以P－2 ＝ . 4分
② 由条件可得：
P0＝，P –1=P1＝，P –2=P2＝，
P –3=P3＝，P –4=P4＝，P –5=P5＝， 6分
所以Pk＝(k =0，1，2，3，4，5)． 8分
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(第18题)
18．(本小题满分10分)
当点E，点F位于AB同侧时，
设AB＝1, 则由条件得：AE ＝1，BE＝ED＝.
∠AEB=45 , ∠DEF=∠FEB=(180 -45 )= ,
(1) 所以∠AEB－∠DEF ＝－ 3分
(2) tan∠ADB==-1. 4分
当点E，点F位于AB异侧时，同时可得:
(1) 所以∠AEB－∠DEF ＝.
(2) tan∠ADB =+1. 7分
（3）若发现点G是△BEF的外心. 8分
连结GE，因为AG是AE的中垂线，所以GB＝GE，
连结GF，因为BD是EF的中垂线，所以GE＝GF．所以GB＝GE＝GF，
所以点G是△BEF的外心. 给10分
若发现点G是△BEF中∠EBF的角平分线等,并给予说明的给8分．
19．(本小题满分10分)
(1) 所求的圆心P的坐标是：
P1 ， P2，P3 ，P4， 3分
由对称性可得： P5 ，P6，P7 ． 4分
（2）根据原题分类的标准进行讨论，满足条件的圆心有3×8=24个，
由对称性，将他们分为三类，第一类中的点都在以原点为圆心，半径为的圆周上，第二类中的点都在以原点为圆心，半径为的圆周上，第三类中的点都在以原点为圆心，半径为的圆周上 . 7分
(3) 类似题（2）可得：满足条件的圆心有4×10=40个． 8分
(4) 猜想得：有n条直线时，满足条件的圆心有个 . 10分
20．(本小题满分12分)
（1）因为EPF=45，点P在AC上，所以APE+45+CPF= 180 ，
因为ABCD是正方形，所以CPF+ ( http: / / www.21cnjy.com )45+CFP= 180 ，所以APE=CFP.
在△APE与△CFP中， PAE=PCF， APE=CFP，所以△APE∽△CFP，
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20－（1）
所以，得AE = ， … 3分
当 1≤ x ≤ 2 时， 有S△APE = ，S△CFP = ，
S四边形PEBF = 2–– ，因为阴影部分关于AC对称，
所以 S1= 2S四边形PEBF ，S2= 2S△CFP ，
所以y = = = … 5分
所以x = 1时，y取最大值1. …6分
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20－（2）
同理，当 0≤ x ＜1 时（图1）， , ……8分
x ＞2 时（图2）， , …… 10分
（2）只有当1≤ x ≤ 2 ( http: / / www.21cnjy.com )时图形Ⅰ，图形Ⅱ可关于点P中心对称，此时BE = BF，所以AE = CF，
所以 = x , 解得x = （负值舍去），
则 y ==. …… 12分
21．(本小题满分12分)
（1）由题意得：A(－1，0)，B(0，－)，C(2，0)．
当AP＋BQ最小时，四边形ABQP的周长最小．
把点B向上平移个单位后，关于对称轴x =对称得B′(1，)，
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（第21题）
所以，AB′就是AP+BQ的最小值，即AP＋BQ＝AB′＝．
得 四边形ABQP周长的最小值是＋2． 4分
（2）当四边形ABQP周长取最小值时，点P在线段AB′上，得：
点P，点Q ，
又点B(0，)，得∠BPQ＝∠OBP＝30°，
∠OBQ＝60°，∠PBQ＝∠OBQ－∠OBP＝30°，
所以 BQ＝PQ，∠BQP＝120°． 5分
因为点A，B，D为顶点的三角形与△QBP相似，
所以三角形ABD是顶角为120°的等腰三角形． 6分
① 当AB为底边时：
若点D在AB上方，则由∠ABO ＝∠BAD＝30°，AB＝2，得D1（0，），
若点D在AB下方，则由∠BAD ＝∠DBA＝30°，AB＝2，得D2（－1，）．
8分
② 当AB为腰，A为顶点时：
因为∠DAB＝120°，∠OAB＝60°，AD ＝AB＝2，所以点D在y轴或x轴上．
若D在y轴上，得D3(0，)，
若D在x轴上，得D4(－3，0). 10分
③当AB为腰，B为顶点时：
若点D在第三象限时，因为∠DBO＝150°，BD＝2，得D5(－1，)
若点D在第四象限时，因为DB∥x轴，BD＝2，得D6(2，)． 12分2014年杭州市初中数学青年教师解题能力竞赛
试题卷
一、选择题 (本题有8个小题, 每小题3分, 共24分) 四个选项中, 只有一个是正确的.
1．可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例（ ）
A. 可以是a＝－0.2，不可以是 a＝2 B．可以是a＝2，不可以是 a＝－0.2
C．可以是a＝－0.2，也可以是 a＝2
D．既不可以是a＝－0.2，也不可以是 a＝2
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(第2题)
2．已知杭州市2014年1月24日部分整点时气温的统计图，则这天各整点时气温的中位数是（ ）
A．10.5 B．10.9
C．12.9 D．13.3
3．已知m ＝ (–)(–2)，则有（ ）
A．5.0< m < 5.1 B．5.1 < m <5.2 C．5.2 < m <5.3 D．5.3< m < 5.4
4．已知平行四边形ABCD的面积为16 c ( http: / / www.21cnjy.com )m2，对角线交于点O；以AB，AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB，AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（ ）
A．2cm2 B．1cm2 C．cm2 D．cm2
5．已知∠BAC＝90 ，半径为r的圆O与两条直角边AB，AC都相切，设AB＝a（a > r），BE与圆O相切于点E．现给出下列命题：
① 当∠ABE＝60 时，BE＝； ② 当∠ABE＝90 时，BE＝；
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（第6题）
③ 当∠ABE＝120 时，BE＝；
其中正确的命题是（ ）
A．①②③ B．①② C ．①③ D．②③
6．在直角坐标系中有一个正五边形ABCDE，其中C，D两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)．若在没有滑动的情况下，将此正五边形沿着x轴向右连续滚动，则滚动过程中，能与点(2014 , 0)重合的是 （ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
7． 设O是等边三角形ABC内一点，已知∠ ( http: / / www.21cnjy.com )AOB＝115°，∠BOC＝125°，则在以线段OA，OB，OC为边构成的三角形中，内角不可能取到的角度是 （ ）
A．65° B．60° C．55° D ．50°
8．对于点A(x1，y1) ( http: / / www.21cnjy.com )，B(x2，y2)，定义一种运算：A B＝(x1+x2)+(y1+y2)．例如，A(－5，4)，B(2，－3)，A B＝(－5+2)+(4－3)＝－2．若互不重合的四点C，D，E，F，满足C D＝D E＝E F＝F D，则存在实数k，使得C，D，E，F四点都在（ ）
A．函数y＝x + k的图象上 B．函数y＝－x + k的图象上
C．函数y＝kx－1的图象上 D．函数y＝kx2的图象上
二． 填空题 (本题有6个小题, 每小题5分, 共30分)
9．某次知识竞赛共有20道题，每一题答 ( http: / / www.21cnjy.com )对得10分，答错或不答都扣5分．设至少要答对n道题，得分才能超过90分，则n等于 ．
10．线段AB的长为2，C为AB上 ( http: / / www.21cnjy.com )一个动点，分别以AC，BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的取值范围是 ．
11．抛物线y＝ax2 + bx + c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形，则ac＝ ．
12．平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点A ( http: / / www.21cnjy.com )(－2，2)，点O(0，0)和点B(6，6)，点N在抛物线上且位于直线OB下方，则△BON 面积的最大值为 ，此时点N的坐标为 ．
13．在△ABC中，，，AB＝，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连结EF，则线段EF长度的最小值为 ．
14．在平面直角坐标系xO ( http: / / www.21cnjy.com )y中，有一个边长为2的等边三角形ABC，AC∥y轴． 平移△ABC使它的某两个顶点分别在x轴，y轴上，则此时△ABC的第三个顶点的坐标是 ．
三． 解答题 (本题有7个小题, 共66分) 解答应写出文字说明, 证明过程或推演步骤．
15．(本小题满分6分)
设关于变量x的二 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数．当x＝－2时，该函数的值为零，请写出两个符合条件的函数解析式；当x＝m时，该函数的值为n(m，n是常数），请用一个函数解析式表示所有符合条件的函数．
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（第16题）
16．(本小题满分8分)
如图，任两个竖直或水平相邻的点都相距1个单位长度．若线段AB交线段CD于点E，试用两种方法求线段AE的长．
1 2 3 4 5 6
1 0 1 2 3
2 －1 0 1 2
3 －2 －1 0 1
4 －3 －2 －1 0
5
6
17．(本小题满分8分)
掷两个骰子，点数之差记为k (k为整数)．
(1) 用右表表示所有可能出现的情况，请将它写填完整，并写出k 可以取的所有值；
(2) 把点数之差等于k的概率记为Pk．
①当k＝－2时，求Pk；
②对所有的k值，求出对应的Pk，并用k表示Pk．
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(第18题)
18．(本小题满分10分)
已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，F分别在直线AD，BC上．已知点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称．
（1）求∠AEB－∠DEF 的值 ；
（2）tan∠ADB的值;
(3) 关于点G与△BEF，你能发现什么结论？并说明理由．
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（第19题）
19．(本小题满分10分)
在平面直角坐标系中，设轴、轴分别为直线l1，l2，函数y ＝，y ＝的图象分别是直线l3，l4，圆P（以点P为圆心，1为半径）与直线l1，l2，l3，l4中的两条相切．
(1)当圆心在第一象限或x，y轴正半轴上时，分别写它们的圆心P的坐标；
(2) 满足条件的圆P的圆心有几个？请尝试将点P进行分类，并简要描述你的分类标准；
(3) 若直角坐标系中有五条直线交于原点O，并将周角十等分，单位圆P与这五条直线中的两条相切，试求满足条件的圆心P的个数？
(4) 将题（3）中“五”用“n”替换，“十”用“2n”替换，其它不变．
20．(本小题满分12分)
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（第20题）
如图，已知正方形ABCD的边长为2，对称中心为点P，点F为射线CB边上一个动点，作EPF＝45（射线PE在PF的左侧）,射线PE交直线AB于点E，若EPF与正方形的公共部分命名为图形Ⅰ，图形Ⅱ与图形Ⅰ关于直线AC成轴对称．设图形Ⅰ，图形Ⅱ的面积和为S1，四边形CMPF的面积为S2，CF ＝ x， y ＝．
（1）求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出当点E，F分别在AB，BC边上时y的最大值；
（2）图形Ⅰ、Ⅱ能否关于点P成中心对称？若能，求出y的值；若不能，则说明理由．
21．(本小题满分12分)
设抛物线与x轴交于A，C两点，与y轴交于B点，点P，Q位于抛物线的对称轴上，且．
（1）求四边形ABQP周长的最小值；
（2）在（1）成立的条件下，当以点A，B，D为顶点的三角形与△QBP相似时，求点D的坐标．
赛后思考题（竞赛时不作答，供竞赛后玩玩用）：
两个袋子中分别放有n个大小、重 ( http: / / www.21cnjy.com )量相同的球，球上分别标有自然数1，2，3，…，n ．从两个袋子各摸出一个球，球上标有的两数之差记为k (k为整数)，两数之差等于k的概率记为Pk．试写出Pk关于k的表达式．
A
B
C
P
Q
O
x
y
(第21题)
