人教版数学九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件（共19张ppt）

(共19张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
学习目标
1．理解圆的对称性；掌握垂径定理．
2．利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．
　　证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点．过点A作AB⊥CD，交⊙O于点B，垂足为M，连接OA，OB．
　　在△OAB中，∵OA=OB，∴△OAB是等腰三角形．
　　又AB⊥CD，∴AM=BM．
　　即CD是AB的垂直平分线．这就是说，对于圆上
任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点B，因此，
⊙O关于直线CD对称．即圆是轴对称图形，任何一条直
径所在直线都是它的对称轴．
　　证明圆的对称性
合作探究，形成知识
　　按下面的步骤做一做：
　　第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；
　　第二步，得到一条折痕CD；
　　第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作折痕CD的垂线，垂足为点M；
　　第四步，将纸打开，设AM的延长线与圆交于另一点B．
　　在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧 为什么？
合作探究，形成知识
　　即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB
　　这个定理也叫垂径定理。
　　垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧．
　　平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧．
合作探究，形成知识
AE=BE， = ， =
AD
(
BD
(
AC
(
BC
(
　　垂径定理的证明：
合作探究，形成知识
　　证明：如图所示，连接OA，OB，得到等腰△OAB，即OA=OB．
　　因为CD⊥AB，
　　所以△OAM与△OBM都是直角三角形．
　　又因为OM为公共边，
　　所以这两个直角三角形全等．所以AM=BM．
　　又因为⊙O关于直径CD所在的直线对称，
　　所以A点和B点关于直线CD对称．
　　所以当圆沿着直径CD对折时，
　　点A与点B重合，弧AC与弧BC重合．因此AM=BM，弧AC与弧BC，同理可得到弧AD与弧BD．
你能用符号语言表达垂径定理吗？
合作探究，形成知识
CD是圆O的直径，
CD⊥AB与点M
AM=MB
AC
(
BC
(
AD
(
BD
(
=
=
例1 如图， 所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB于点D．若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圆的半径．
解：设圆的半径为R，
由题意可得OD=R-4，AD=8 m．
在Rt△ADO中，AO2=OD2+AD2，
即R2=(R-4)2+82．
解得R=10(m)．
答：此圆的半径是10 m．
例题应用，深化提高
AB
(
例2 如图，赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)．
例题应用，深化提高
【教学图片】《二次函数》图片6赵州桥的图片，用于教学过程。
解得R≈27.3(m)．
O
D
A
B
C
R
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
即R2=18.52+(R-7.23)2．
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．
OA2=AD2+OD2，
由题设可知，AB=37 m，CD=7.23 m，所以
OD=OC-CD=R-7.23．
　　解：如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C，连接OA．根据垂径定理，D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高．
例题应用，深化提高
练习巩固，综合应用
　　1．如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP︰AP=1︰5，则CD的长为(　 　)．
D
练习巩固，综合应用
　　2．如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为______cm．
3．⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，则OP长的取值范围为　　　　　．
3≤OP≤5
．
4．已知⊙O中，若弦AB的长为8 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，求⊙O的半径．
解：连结OA，过O作OE⊥AB，
垂足为E，则OE=3 cm，AE=BE．
∵AB=8 cm，∴AE=4 cm．
在Rt△AOE中，根据勾股定理可得OA=5 cm．
∴⊙O的半径为5 cm．
A
E
B
O
练习巩固，综合应用
练习巩固，综合应用
　　5．如图，AB是⊙O的直径，作半径OA的垂直平分线，交⊙O于C，D两点，垂足为H，连接BC，BD．
（1）求证：BC=BD；
（2）若CD=6，求⊙O的半径长．
解：（1）连接OC．
∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD，
∴CH=DH，BC=BD．
练习巩固，综合应用
（2）连接OC．
∵CD平分OA，设⊙O的半径为r，
则OH= r．
∵CD=6，
∴CH= CD=3．
∵∠CHO=90°，
∴OH2＋CH2=CO2，即( r)2＋32=r2．
∴r=2 ．
故⊙O的半径长是2 ．
6．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如下图所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道
练习巩固，综合应用
练习巩固，综合应用
　　解：如图所示，连接OA，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于点F，则AE=　AB=30 cm．
　　令⊙O的半径为R cm，则OA=R cm ，OE=OF-EF=(R-10)cm．
　　在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2．
　　解得R =50．
　　所以修理人员应准备内径为100 cm的管道．
圆的轴对称性；垂径定理及其推论．
（1）垂径定理和勾股定理的结合；
（2）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线：
——过圆心作垂直于弦的线段；
——连接半径．
课堂小结
再见