2023 年湖北云学新高考联盟学校高二年级 8 月联考
数学试卷答案
1-8 BCDDDCDC
9.CD 10.ACD 11.BD 12.ACD
13. 2 3 14.0.672 15. 60 16.32 3
17.Ω={b1b2, b1b3, b1g1, b1g2, b2b3, b2g1, b2g2, b3g1, b3g2, g1g2}…………2分
A=“参赛学生中恰有一名男生”
B=“参赛学生中至少有一名女生”
A={b1g1, b1g2, b2g1, b2g2, b3g1, b3g2}……………………………………4分
B={b1g1, b1g2, b2g1, b2g2, b3g1, b3g2, g1g2}……………………………………6分
P(A) n(A) 6 3 P(B) n(B) 7 …………………………10分
n( ) 10 5 n( ) 10
1
18.（1） B1M 2MC1, A1M 2 A1B
2
1 A1C1 ………………………………1分3 3
BM BA AA1 A1M ………………………………………………2分
A B 1 2 2 2 1 1 A1A A1B1 A1C1 a b c……………………4分3 3 3 3
（2） A1C A1A A1C1 b c
| a | | b | 1,| c | 2,b c a c 0,a 1 b ………………………………5分
2
| A1C | | b |
2 2b c | c |2 5
| BM | 4 4 8 4 4 2 10 | a |2 | b |2 | c |2 a b a c b c
9 9 9 3 3 3
2 2
AC BM 2 a b 2 a c 2 b 2 b c b c c 111 ………………8分3 3 3 3 3
11
cos AC,BM 3 11 2 1 …………………………10分
5 2 10
20
3
11 2
异面直线 BM与 A1C角的余弦值为 ……………………………………12分
20
19.（1）记甲乙丙三人在医学综合笔试中合格依次为 A1,B1,C1,
在实践考试中合格依次为 A2,B2,C2,
则甲乙丙获得执业医师证书依次为 A1A2,B1B2,C1C2，
{#{QQABSYYAogCgABBAABgCAQGCCAOQkAGAAKgOBEAMIAABSBNABAA=}#}
并且 A1与 A2,B1与 B2,C1与 C2相互独立………………………………………2分
P(A1A
4 1 2
2 ) ,P(B1B )
3 2 1 ,P(C C ) 2 2 42 5 2 5 4 3 2 1 2 3 3 9
乙的可能性最大……………………………………………………………………6分
（2）由于事件 A1A2,B1B2,C1C2彼此相互独立
“恰有两人获得执业医师证书”
(A1A2 )(B1B2 )C1C2 (A1A2 )(B1B2 )(C1C2 ) (A1A2 )(B1B2 )(C1C2 )………………10分
P 2 1 5 2 1 4 3 1 4 1 …………………………………………12分
5 2 9 5 2 9 5 2 9 3
20.（1）∵M是 AD中点，AD=2A1D1，AD//A1D1
∴A1D1//MD，A1D1=MD ∴四边形 A1MDD1是平行四边形
∴DD1//A1M，又 DD1 平面 A1MDD1，A1M 平面 A1MDD1
∴DD1//平面 B1CM…………………………………………4分
（2）过点 D作 DO⊥A1M于点 O，连 CO
易知 CM//BA,BA⊥平面 ADD1A1
平面 B1CM⊥平面 ADD1A1, DO⊥平面 B1CM……………………………………8分
所以∠DCO为 CD与平面 B1CM所成角………………………………………2分
2 MD
sin DCO DO 1 2 …………………………………………12分
CD 2MD 2
21 (1)设甲组插花作品所得分数的中位数为 ，由频率分布直方图可得甲组得分在前三
个分数区间的频率之和为 0.3，在最后三个分数区间的频率之和为 0.26，故 ∈ [84,88)，
所以 ( 84) × 0.110 = 0.5 0.3，解得 ≈ 85.82 ．
估计甲组插花作品所得分数的中位数为 85.82．...................3分
(2)由频率分布直方图可知，甲组揷花作品的最后得分约为
0.010 × 74 + 0.025 × 78 + 0.040 × 82 + 0.110 × 86 + 0.040 × 90 + 0.020 × 94 +
0.005 × 98 × 4 = 85.6
由乙组插花作品所得分数的频数分布表，得
{#{QQABSYYAogCgABBAABgCAQGCCAOQkAGAAKgOBEAMIAABSBNABAA=}#}
分数区间频数频率
72,76 1 0.025
76,80 5 0.125
80,84 12 0.300
84,88 14 0.350
88,92 4 0.100
92,96 3 0.075
96,100 1 0.025
所以乙组插花作品的最后得分约为
0.025 × 74 + 0.125 × 78 + 0.300 × 82 + 0.350 × 86 + 0.100 × 90 + 0.075 × 94 +
0.025 × 98 = 84.8．
因为 85.6 > 84.8，所以该校会选择甲组插花作品用于展览．................7分
(3)设“对乙组插花作品的‘观赏值 比对甲组插花作品的‘观赏值 高”为事件 ，
“对乙组插花作品的‘观赏值 为 2”为事件 2 ，“对乙组插花作品的‘观赏值
为 3”为事件 3 ，“对甲组插花作品的‘观赏值 为 1”为事件 1 ，“对甲组插花
作品的‘观赏值 为 2”为事件 2 ，则 = 2 1 ∪ 3 1 ∪ 3 2 ．
1 = 0.010 + 0.025 + 0.040 × 4 = 0.3， 2 = 0.110 + 0.040 × 4 = 0.6，
由频数分布表得， = 14+42 40 = 0.45 =
3+1
， 3 40 = 0.1．
因为事件 与 相互独立，其中 = 2,3， = 1,2，所以
= 2 1 ∪ 3 1 ∪ 3 2 = 2 1 + 3 1 + 3 2 = 0.45 ×
0.3 + 0.1 × 0.3 + 0.1 × 0.6 = 0.225，
所以估计该评委对乙组插花作品的“观赏值”比对甲组插花作品的“观赏值”高的
概率为 0.225．..............................................12分
22.连接 CC1
∵E、D分别 BC、AC中点
∴CE=C1E=EB ， CD=C1D=DA
∴△ACC1，△BCC1分别是以 AC、BC为斜边的 Rt△
即 CC1⊥AC1，CC1⊥BC1，又 AC1∩BC1=C1
∴CC1⊥平面 ABC
而平面 ADC1∩平面 BEC1=l=CC1
∴l⊥平面 ABC1.………………………………………………………………………………（3分）
{#{QQABSYYAogCgABBAABgCAQGCCAOQkAGAAKgOBEAMIAABSBNABAA=}#}
（2）在图 2 中延长 AD,BE 交于 C 点，连接 CP 并延长交 AC1于 Q 点，连接 EP、BQ，面
EPQB即为所求截面………（5分）
（3）过 C1作 C1H⊥BE ∵C1E=C1B
∴H为 EB中点 ∴BH=1…………………………………………………………………（6分）
连接 AH ∵AB= 13 13 BHcosB=
13 AB
∴AB⊥EB 又 AH∩C1H=H
∴BE⊥平面 AHC1，连接 HQ
则∠C1HQ是截面 EPQB与面 BEC1所成二面角的平面角.
3
即 tan∠C1HQ= …………………………………………………………………………（8分）
2
在 Rt△BCC1中，BC2=2，BC=4，∴CC1=2 3
又在△ABC中，由余弦定理可得
AC2=AB2
13
+BC2－2AB·BC cosB=13+16－2× 13 ×4× =21
13
RtACC AC 2 AC 2 2∴在 1中， 1 CC1 =21－12=9
2 2 2
∴AC1=3， ∴ AH AC1 HC1 ，∴HC1⊥AC1
C1Q C Q 3∵tan∠C HG= 11
HC1 3 2
3
∵C1Q= 即 Q为 AC1中点
2
又 D是 AC中点，∴P是△ACC1的重心
2 2
∴C1P= C1D，CP= CQ
3 3
S
∴ CPE
2 1 1
∴VC BQPE 2V 4VS 1 C1 CPE C DPE CQB 3 2 3
又VC AQB VC BQC1
∴V几何体ABCEPQP VC ABQ VC DPE
VC BQC V1 C DPE 5VC DPE
VC1 BQPE 4∴ ………………………………………………………………………（12分）
V几何体ABEDPQ 5
{#{QQABSYYAogCgABBAABgCAQGCCAOQkAGAAKgOBEAMIAABSBNABAA=}#}2023 年湖北云学新高考联盟学校高二年级 8 月联考
数学试卷
一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 容量为 8的样本：3.5，3.8，4.2，4.8，5，5，5.5，6.3，其第 75百分数是（ ）
A. 6 B. 5.25 C. 5 D. 5.5
2. 在跳水比赛中，有 8名评委分别给出某选手原始分，在评定该选手的成绩时，从 8个原始分中去掉 1个
最高分和 1个最低分，得到 6个有效分，这 6个有效分与 8个原始分相比较，下列说法正确的是（ ）
A.中位数，平均分，方差均不变 B.中位数，平均分，方差均变小
C.中位数不变，平均分可能不变，方差变小 D.中位数，平均分，方差都发生改变
3. 在抛掷硬币试验中，记事件 A为“正面朝上”，则下列说法正确的（ ）
1
A.抛掷两枚硬币，事件“一枚正面，一枚反面”发生的概率为
3
B.抛掷十枚硬币，事件 B“十枚硬币，正面都朝上”没有发生，说明 P(B)=0
C.抛掷 100次硬币，事件 A发生的频率比抛掷 50次硬币发生的频率更接近于 0.5
D.当抛掷次数足够大时，事件 A发生的频率接近于 0.5
4. 在平行六面体 1 1 1 1中，底面 是菱形，侧面 1 1是正方形，且∠ 1 = 120 ，
∠ = 60 ， = 2，若 是 1 与 1的交点，M是 1 1 的中点，则 =（ ）
A. 5 B. 7 C. 3 D. 5
5. 已知平面 ⊥平面 ，则“ ⊥ ”是“ // ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 圆台 O1O2母线长为 3，下底直径为 10，上底直径为 5，过圆台两条母线作截面，则该截面面积最大值
为（ ）
15 11 27 27
A. B. C. D.以上都不对
4 4 2
7. 二面角α—l—β中，A∈l，C∈l，AB α，CD β且 AB⊥l，CD⊥l，垂足分别为 A、C，AB=2，AC=1，
CD=4，已知异面直线 AB与 CD所成角为 60°，则 BD=（ ）
A. 29 B. 13 C. 17 或 5 D. 29 或 13
数学试卷 第 1 页 共 6 页
{#{QQABSYYAogCgABBAABgCAQGCCAOQkAGAAKgOBEAMIAABSBNABAA=}#}
8. 在四面体 ABCD 中（如图），平面 ABD⊥平面 ACD，△ABD 是等边三角形，AD=CD，AD⊥CD，M
为 AB的中点，N在侧面 BCD上（包含边界），若MN xAB yAC zAD，(x,y,z∈R)则下列正确
的是（ ）
1
A.若 x= ，则MN//平面 ACD B.若 z=0，则MN⊥CD
2
1
C.当|MN|最小时，x= D.当|MN|最大时，x=0
4
二、多选题：本大题共 4 小题，每个小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 非零向量 ， ， ，若 与 共面， 与 共面， 与 共面，则向量 ， ， 共面
B. 向量 ， ， 共面，即它们所在的直线共面
C. 设 ， ， 是三个空间向量，则 ( + ) = +
D. 若 a与 共面,b与 共面，则任意 x、y R, xa yb与 共面
10. 设 ， 为古典概率模型中的两个随机事件，以下命题正确的为 （ ）
A. ( ) = 1 ( ) = 1 5若 ， ，则当且仅当 ( + ) = 时，A、B是互斥事件
3 2 6
B. 若 ( ) = 1 2， ( ) = ,则 + 是必然事件
3 3
C. ( ) = 1若 ， ( ) = 2，则 ( + ) = 7 时 ， 是独立事件
3 3 9
D. 若 ( ) = 1， ( ) = 1 1，且 ( ) = ，则 ， 是独立事件
3 4 4
11. 一副三角板由一块有一个内角为 60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，∠ =
∠ = 90°，∠ = 60°, ∠ = 45°, = = 2，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥 ，取
中点 与 中点 ，则下列判断中正确的是（ ）
A. 与 所成的角为 60°
B. 与平面 所成的角 60°
C. 平面 与平面 所成的二面角的平面角为 45°
D. 设平面 ∩平面 = ，则有 与 所成的角为 60°
数学试卷 第 2 页 共 6 页
{#{QQABSYYAogCgABBAABgCAQGCCAOQkAGAAKgOBEAMIAABSBNABAA=}#}
12. 已知正方体 1 1 1 1的棱长为 1，点 满足 = + 1 ，其中 ∈ [0,1]， ∈ [0,1]，点
E、F分别是 1、 1 1的中点，下列选项不．正．确．的是（ ）
A. 当 = 1时，△ 1 的面积为定值
B. 当 + = 12 时，三棱锥 C1 的体积为定值
C. 存在 0<μ<λ<1使得 A1D与平面 ABP所成的角为 45°
D. = 1当 时，存在点 ，使得
2 1
⊥平面 1
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 已知基底{i, j,k},a 4i j k ，b i 2 j 3k ，若 a // b，则 =________.
14. 如图，电路中 A、B、C三个电子元件正常工作的概率分别为 P(A)=0.8，P(B)=P(C)=0.6，则该电路正常
工作的概率_________.
15.陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立
体结构图.已知，底面圆的直径 AB 6cm，圆柱体部分的高 BC=6cm，圆锥体部分的高 CD=4cm，则这个
2
陀螺的表面积（单位： cm ）是_________.
16.在正三棱台 1 °1 1中，侧棱长均为 2 3，侧棱 1A与底面所成的角 60 ，AB=2 1 1，则该三棱
台的外接球的体积=_______________.
数学试卷 第 3 页 共 6 页
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四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题 10分）
高二年级某班数学学习小组有男生 3名(记为 1， 2， 3)，女生 2名(记为 1， 2)，现从中随机抽出
2名学生去参加学校高二年级的数学竞赛(每人被抽到的可能性相同)．
（1）求参赛学生中恰有 1名男生的概率；
（2）求参赛学生中至少有 1名女生的概率．
18. （本小题 12分）
如图，正三棱柱 ABC—A1B1C1中，
AA1=2AC=2, A1B1 a， A1C1 b， A1A c，B1M 2MC1
（1）试用 a ,b , c表示 BM
（2）求异面直线 BM与 A1C所成角的余弦值.
19. （本小题 12分）
全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，
两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书。甲、乙、丙三人在医学综合笔试
“ ” 4 3 2 1 2 2中 合格 的概率依次为 ， ， ，在实践技能考试中“合格”的概率依次为 ， ， ，所有考试是否合格互不影
5 4 3 2 3 3
响．
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的
可能性最大
（2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概
率．
20. （本小题 12分）
如图，在四棱台 1 1 1 1中， 1 ⊥底面 ， 是 中点．底面 为直角梯形，且 //
1， = = = = ．∠ = 90
2 1 1 1
(1)求证：直线 1//平面 1 ；
(2)求直线 C 与平面 1 所成角的正弦值
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21. （本小题 12分）
插花是一种高雅的审美艺术，是表现植物自然美的一种造型艺术，与建筑、盆景等艺术形式相似，是
最优美的空间造型艺术之一。为了通过插花艺术激发学生对美的追求，某校举办了以“魅力校园、花香溢
校园”为主题的校园插花比赛。比赛按照百分制的评分标准进行评分，评委由 10 名专业教师、10 名非专
业教师以及 20名学生会代表组成，各参赛小组的最后得分为评委所打分数的平均分.比赛结束后，得到甲
组插花作品所得分数的频率分布直方图和乙组插花作品所得分数的频数分布表，如下所示：
定义评委对插花作品的“观赏值”如下所示：
分数区间 [72,84) [84,92) [92,100]
观赏值 1 2 3
（1）估计甲组插花作品所得分数的中位数(结果保留两位小数);
（2）若该校拟从甲、乙两组插花作品中选出 1个用于展览，从这两组插花作品的最后得分来看该校会选
哪一组 请说明理由(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
（3）从 40名评委中随机抽取 1人进行调查，试估计其对乙组插花作品的“观赏值”比对甲组插花作品的“观
赏值”高的概率.
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22.（本小题 12分）
13
如图 1，在△ABC中，BC=4，AB= 13，cosB= ，E,D分别为 BC, AC的中点，以 DE为折痕，13
将△DCE折起，使点 C到 C1的位置，且 BC1=2，如图 2
（1）设平面 C1 ∩平面 BEC1=l，证明： ⊥平面 ABC1
（2）P是棱 C1D上一点（不含端点）过 P、B、E三点作该四棱锥的截面，要求保留画痕，并说明过程；
3
（3）若(2)中的截面与面 BEC1所成的二面角的正切值为 ，求该截面将四棱锥分成上下两部分的体积之
2
比.
如图 1
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