3.2.2奇偶性 同步测（含解析）

3.2.2 奇偶性
一、单选题
1．下列函数中，为偶函数的是（ ）
A．= B．=
C．=+ D．=x+
2．已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．设是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
4．是定义在上的偶函数，且，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．为奇函数，为偶函数，且则（ ）
A．3 B．-1 C．1 D．-3
6．函数是定义在上的奇函数，当时，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．0
7．设是定义在上的奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
8．若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．若函数是偶函数，则函数的图象对称轴是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．下列函数是奇函数且在区间上是单调递增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
11．函数的定义域为，其图象如图所示.函数是定义域为的偶函数，满足，且当时，.则下列结论正确的是（ ）

A．；
B．不等式的解集为；
C．函数的单调递增区间为，；
D．对于.
12．已知是定义在上的偶函数，满足，且在上单调递减，则下列所给结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．是周期为的周期函数 B．的值域为
C．是图象的一条对称轴 D．的图象关于点对称
三、填空题
14．已知函数是偶函数，则实数 .
15．函数是定义域为的偶函数，若，则 .
16．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是 .
17．已知函数为偶函数，且，则
18．设偶函数的定义域为R，当时，是严格增函数，则，，的大小关系是 ．（用“＜”连接）
19．已知函数，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且，则 .
四、解答题
20．判断下列函数的奇偶性：
(1)
(2)．
21．已知函数，
(1)判断的奇偶性并证明
(2)根据函数单调性的定义证明在区间(0，+)上单调递增.
22．已知定义域为R的奇函数最大值为2，在上单调递增，在单调递减，且当时，
(1)求函数在的单调性并证明；
(2)求函数的最小值，并说明理由；
(3)直接写出函数图象的对称中心坐标.
23．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求在上的解析式；
(2)判断在的单调性，并给出证明．
(3)若，求实数的取值范围．
参考答案：
1．B
选项A中，函数定义域是，函数没有奇偶性；
选项B中，函数定义域是，，是偶函数；
选项C中，函数定义域是，函数没有奇偶性；
选项D中，函数定义域是，，函数是奇函数．
2．D
函数是上的奇函数，且当时，，
当时，则，
又，即，又，
，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递增，
的图象如下所示：

函数在区间上单调递增，
，，
即，，
，．
3．A
因为是定义在上的奇函数，且当时，，
所以.
4．C
由于函数是定义在上的偶函数，且.
对于A选项，与的大小无法判断；
对于B选项，与的大小无法判断；
对于C选项，，该不等式成立；
对于D选项，与的大小无法判断.
5．A
因为为奇函数，为偶函数，
则
所以
两式相加可得，即
6．B
因为函数是定义在上的奇函数，所以，
故，解得，
所以，故.
D
因为是定义在上的奇函数，
则关于原点对称，所以，，解得，
且，即，
所以，，解得，所以，，且，
所以，.
8．B
因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，
所以当时，，当时，，
所以由可得：或或,
解得或，所以满足的的取值范围是，
9．B
是偶函数，的图象关于轴对称，
又的图象是的图象向左平移一个单位长度得到，
的对称轴为，
10．AB
对于A，由函数的定义域为，且，则为奇函数；
根据反比例函数的定义，则函数在上单调递增，故A正确；
对于B，由函数的定义域为，且，则为奇函数；
根据一次函数的单调性，故B正确；
对于C，由函数的定义域为，则函数为非奇非偶函数，故C错误；
对于D，由函数的定义域为，且，则函数为偶函数，故D正确.
11．AC
满足，可知函数是周期为2的周期函数，
又函数是R上的偶函数，所以，
且当时，，作出大致图象如图所示，

由图可知，故A正确；
不等式的解集为，故B错误；
函数的单调递增区间为，，故C正确；
若对于，则是的对称轴，由图象可知不是的对称轴，故D错误.
12．AC
对于AB，因为，所以，
又为偶函数，则，
因为在上单调递减，所以，从而，
因此选项A正确，B错误；
对于CD，因为，所以，
因为为偶函数，所以，
因为在上单调递减，所以，所以，
所以选项C正确，D错误，
13．BCD
因为是定义在上的奇函数，
所以，又，
所以，
所以，
故，
所以是周期为的周期函数，故选项A错误；
由题意可知，的图象如图所示，

由的图象可得的值域为，
其中是函数图象的一条对称轴，
的图象关于点对称，故选项B，C，D正确．
14．
，
由题意该二次函数是偶函数，则对称轴为轴，
即对称轴方程，解得.
故答案为：
15．
因为是定义域为的偶函数，则.
故答案为：
16．
由题意可得，故，解得.
故答案为：
17．6
∵为偶函数，
∴，即关于x＝1对称，
则，由，得函数关于对称，
令x＝0，得，得，
则，即，
即，
得，即是周期为4的周期函数，
令x＝0，由得，，
即，
∴．
故答案为：6.
18．
∵是定义域为的偶函数，
∴，
∵函数在上是增函数，
∴，即.
故答案为：．
19．12
依题意，分别是定义在上的偶函数和奇函数，
∴，
∵，
∴，即.
故答案为：12.
20．(1)偶函数
(2)奇函数
（1）因为，所以的定义域关于原点对称，
因为
所以为偶函数；
（2）定义域为R，关于原点对称，
因为，
所以为奇函数.
21．(1)奇函数，证明见解析；
(2)增函数，证明见解析．
（1）易知函数定义域是，
，所以是奇函数；
（2）设是上任意两个实数且，
，
因为，所以，，所以，即，
所以在是是增函数．
22．(1)在上单调递增，证明见解析
(2)，理由见解析
(3).
（1）在上单调递增，
证明：，且，则，且，
函数在上单调递增，，
为奇函数，，
即，
在上单调递增.
（2）的最小值为.
理由如下：由题意可知，的最大值在处取得，即，
当时，.
设，则，，
为奇函数，，，即，
的最小值为，且在时取得.
（3）函数图象的对称中心为.
理由：由于为奇函数，所以图象关于对称，则关于对称，进而可得图象关于对称，故图象的对称中心为.
23．(1)
(2)在上单调递减，证明见解析
(3)
（1）是定义在上的奇函数，
，
当时，．
当时，则，
则，
则，，
所以．
（2）函数在上单调递减，
证明：设，
则
，
，
，，，
则，即，即函数在上单调递减．
（3）由（2）同理可证在上单调递增，
又为上的奇函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
即在上单调递减，在上单调递增，且当时，，
在上单调递增，在上单调递减，且当时，，
因为，则，
即，
若，即时，，，
恒成立，
若，即时，，，
不等式显然不成立，
当时，，，要使，
则，解得，
综上可得，或，
即实数的取值范围为.