辽宁省辽东十一所重点高中联合教研体2024届高三第一次摸底考试数学试题（含答案）

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辽东十一所重点高中联合教研体2024届高三第一次摸底考试
数学
本试卷共22题。全卷满分120分。考试用时120分钟
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．底面半径为3，表面积为的圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，则（ ）
A．1 B． C．或 D．
4．非空集合，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知是椭圆的长轴上的两个顶点，点是椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点与点关于轴对称，则直线与直线的交点所形成的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．两条互相垂直的直线
6．方程的非负整数解的组的个数为（ ）
A． B． C． D．
7．已知空间向量两两夹角均为，且。若向量满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，试比较的大小关系（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，选错得0分。
9．大连市教育局为了解二十四中学、第八中学、育明中学三所学校的学生文学经典名著的年阅读量，采用样本比例分配的分层随机抽样抽取了一个容量为120的样本。其中，从二十四中学抽取容量为35的样本，平均数为4，方差为9；从第八中学抽取容量为40的样本，平均数为7，方差为15；从育明中学抽取容量为45的样本，平均数为8，方差为21，据此估计，三所学校的学生文学经典名著的年阅读量的（ ）
A．均值为6.3 B．均值为6.5 C．方差为17.52 D．方差为18.25
10．已知数列满足。给出以下两个命题：
命题对任意，都有；
命题，使得对成立。（ ）
A．真 B．假 C．真 D．假
11．下列不等式中，正确的有（ ）
A． B．
C． D．
12．直角中是上的一动点，沿将翻折到，使二面角为直二面角，当线段的长度最小时（ ）
A．
B．
C．直线与的夹角余弦值为
D．四面体的外接球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．______．
14．已知，则的取值范围是______（精确0.1）．
15．的展开式中的系数为______（用数字作答）．
16．已知在椭圆上运动，且，延长至，使得为与椭圆的交点，则______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知函数．
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）若，关于的方程有三个不等的实根，求的取值范围．
18．（12分）
三棱柱中，．
（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值．
19．（12分）
在数列中，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）令，数列的前项和为，求证：．
20．（12分）
大连市是国内知名足球城市，足球氛围浓厚。在2022年第22届卡塔尔足球世界杯阶段，大连二十四中的同学们对世界杯某一分组内的四支球队进行出线情况分析。已知世界杯小组赛规则如下：小组内四支球队之间进行单循环（每只球队均与另外三只球队进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者0分；若出现平局，则比赛双方各积1分。现假设组内四支球队战胜或者负于对手的概率均为0.25，出现平局的概率为0.5．
（1）求某一只球队在参加两场比赛后积分的分布列与数学期望；
（2）小组赛结束后，求四支球队积分相同的概率．
21．（12分）
已知双曲线的离心率为分别是的左、右顶点，点在上，点，直线与的另一个交点分别为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）证明：直线经过定点．
22．（12分）
已知函数．
（1）当时，求证；
（2）令，若的两个极值点分别为，求证：．
辽东十一所重点高中联合教研体2024届高三第一次摸底考试
数 学
参考答案：
一、选择题
1A 2B 3B 4A 5A 6A 7C 8C
二、多选题
9BD 10AD 11AC 12 BD
三、填空题
13.2 14.（4.4，4.5） 15.-6480 16.5
四、解答题
17.（1）解：当时，函数，
由，可得，
故函数的单调递增区间为.
（2）解：当时，可得，
令，则，
令，其图象恒过和两点，
①当时，由（1）知有唯一根，
不合题意；
②当时，可得的图象开口向上，，方程存在两根，
且，此时有（舍），故，则方程只有一个根，不合题意；
③当时，可得的图象开口向下，，方程存在两根，且，
若要满足题意，则，，
此时方程有一个根，有两个不相等的根，
则有，解得，
综上所述，a的取值范围为．

18.（1）如图所示：作中点，连接，
，
是等边三角形，
又，
满足，即有，
而，所以，
，平面，
平面，
而平面，
所以，又因为是中点，
所以.
（2）若，则，易知，
以点为原点，分别以方向为轴，以过点竖直向上的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
过点作，垂足为，
在中，，
所以，，
则，
，，，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，所以，
同理可得：平面的法向量，
则.
因为所求二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.
19．（1）由
（2）
20.（1）球队参加两场比赛后积分的取值为0，1，2，3，4，6，
则，，
，，
，，
所以随机变量X的分布列为：
0 1 2 3 4 6
随机变量的数学期望：
.
（2）由于小组赛共打6场比赛，每场比赛两个球队共积2分或者3分；6场比赛总积分的所有情况为12分，13分，14分，15分，16分，17分，18分共7种情况，要使四支球队积分相同，则总积分被4整除，所以每只球队总积分为3分或者4分.
若每支球队得3分：
则6场比赛都出现平局，其概率为：；
若每支球队得4分：则每支球队3场比赛结果均为1胜1平1负，
其概率为：﹒
所以四支球队积分相同的概率为.
21.（1）解：由题意得，
，
，
∵ 点在C上，
，
，
解得，
，
∴ 双曲线方程为．
（2）解：由（1）知，，
直线AD的方程为，
设，，将直线AD的方程与C的方程联立，
消去y得① ，
，
．
当时，方程① 的两根为，，
，
，，
即，
直线BD的方程为，与C的方程联立，消去y得② ，
，
．
当时，方程② 的两根为，2，
，
，，
即．
当直线PQ的斜率存在时，．
∴直线PQ的方程为，
整理得．
此时直线PQ过定点．
②当直线PQ的斜率不存在时，，此时，
则直线PQ的方程为，
直线PQ过点．
综上，直线PQ经过定点．
22.（1）令，
则，
令，则，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，则，所以．
（2）由题可得，
则．令，
当时，，则，
令，则，所以在R上单调递减，
又，，
所以存在，使得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，所以，，
因为，，
所以曲线在处的切线方程为，
在处的切线方程为．
令，
则，
令，则，所以在R上单调递增，
又，所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以，
即；
令，则，
令，
则，所以在R上单调递增，
又，所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以，
即．
所以当时，曲线在，处的切线，均不在图象的下方，
所以，
，
得，．
所以，即．