22.2 二次函数与一元二次方程 教学设计（表格式） 人教版数学九年级上册

22.2　二次函数与一元二次方程
教材分析
本课时主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系．教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系．这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容．
备课素材
一、导入新知
【情景导入】
某火车站欲建造一个圆形喷水池，如图，点O表示喷水池的水面中心，OA表示喷水柱子，水流从点A喷出，按照图中所示的平面直角坐标系，每一股水流在空中的路线都可以用y＝－x2＋x＋来描述，那么水池的半径最少要多少米，才能使喷出的水流不会落到池外？
【说明与建议】　说明：通过对喷水池的实际问题的探究，建立二次函数与一元二次方程关系的模型，从而导出新课，制造悬念，使学生兴趣盎然地学习新课．建议：帮助学生把实际问题转化为二次函数问题的关键是弄清楚水流不会落到池外是什么意思，水流喷出的水平距离最远是多少，如何求，此时的函数值y是多少，为什么是0等问题．
【置疑导入】
多媒体演示：出示二次函数y＝x2－2x－3的图象，如图所示，根据图象回答：
(1)当x为何值时，y＝0
(2)你能根据图象，求方程x2－2x－3＝0的根吗？
(3)二次函数y＝x2－2x－3与一元二次方程x2－2x－3＝0之间有什么关系？
【说明与建议】　说明：通过对二次函数图象问题的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望，增加对二次函数y＝x2－2x－3与一元二次方程x2－2x－3＝0之间关系的了解和认识．建议：引导学生观察二次函数的图象与x轴的交点坐标是什么，有什么意义，与一元二次方程的根有什么联系．
【类比导入】
(1)回忆：一次函数y＝kx＋b(k≠0)与一次方程kx＋b＝0之间有何关系？
(2)观察：二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在结构上有哪些相同之处？
(3)类比猜想：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0之间有何关系？
【说明与建议】　说明：通过对一次函数y＝kx＋b与一次方程kx＋b＝0之间的关系的回顾，加强新旧知识之间的联系，类比旧知识的学习方法、数学思想来学习二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0之间的关系．建议：引导学生明白一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是当y＝0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的特殊情形．进一步引入教材中的问题．
二、命题热点
命题角度1　根据二次函数与一元二次方程的关系解方程
1．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象经过原点O，与x轴另一个交点为A点，则方程ax2＋bx＋c＝0的解是(D)
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．0和一个正根
命题角度2　根据二次函数与一元二次方程的关系判断b2－4ac(或其他代数式)的取值范围
2．(遂宁中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②b2＜4ac；③2c＜3b；④a＋b＞m(am＋b)(m≠1)；
⑤若方程|ax2＋bx＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为2.
其中正确的结论有(A)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
命题角度3　根据抛物线与直线的交点情况求待定字母(或代数式)的值(或取值范围)
3．(河北中考)对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是c＝1，乙的结果是c＝3或c＝4，则(D)
A．甲的结果正确 B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确
教学设计
课题 22.2　二次函数与一元二次方程 授课人
素养目标 理解二次函数的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，准确表述何时方程有两个不相等的实数根，两个相等的实数根和没有实数根；会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
教学重点 掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用函数图象求一元二次方程的近似解.
教学难点 理解二次函数的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 问题： (1)对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，当 ①Δ>0时，方程有两个不相等的实数根； ②Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； ③Δ<0时，方程没有实数根． (2)一次函数y＝2x－3的图象与x轴的交点坐标是(，0)．任意的一次函数的图象与x轴有1个交点．师生活动：学生自主解答上述问题，教师进行个别指导，然后进行点评和总结. 通过回顾一元二次方程和一次函数的相关知识，巩固以前所学知识，为学好本节课的新知识做好铺垫.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 问题：如图所示，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2.考虑以下问题： (1)小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要飞行多长时间？ (2)小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要飞行多长时间？ (3)小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？ (4)小球从飞出到落地要用多长时间？ 师生活动：教师进行引导，小球飞行高度h与飞行时间t之间的函数解析式为h＝20t－5t2，所以将h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程即可求解． 让学生完成解答过程，教师巡视指导. 从小球飞行问题中寻找一元二次方程与二次函数的关系，为学生能够积极主动投入到探索活动创设情境，激发学生的学习热情.
活动二：实践探究、交流新知 1.探究新知 活动一：针对【课堂引入】的问题进行探究，教师总结解题过程： (1)解方程15＝20t－5t2，即t2－4t＋3＝0，解得t1＝1，t2＝3. 答：小球的飞行高度能达到15 m，需要飞行1 s或3 s. (2)解方程20＝20t－5t2，即t2－4t＋4＝0，解得t1＝t2＝2. 答：小球的飞行高度能达到20 m，需要飞行2 s. (3)不能．理由：解方程20.5＝20t－5t2，即t2－4t＋4.1＝0. 因为b2－4ac＝16－4×4.1＝－0.4<0，所以此方程无实数解， 所以小球的飞行高度不能达到20.5 m. (4)解方程0＝20t－5t2，即t2－4t＝0，解得t1＝0，t2＝4. 当小球飞行0 s和4 s时，高度均为0 m，即0 s时，小球从地面飞出，4 s 时，小球落回地面，所以小球从飞出到落地要用4 s. 教师总结：把函数值代入函数解析式，得到关于自变量的一元二次方程，解方程即可得到自变量的值． 活动二：画出二次函数h＝20t－5t2的图象，体会以上问题的答案． 问题提示： (1)教师引导学生利用列表、描点、连线的步骤进行画图； (2)教师巡视指导，与学生合作、交流； (3)教师引导学生观察函数图象，体会得到问题答案的过程； (4)学生分组讨论、交流，总结二次函数与一元二次方程之间的关系． 活动三： 思考： 已知二次函数：①y＝x2＋x－2；②y＝x2－6x＋9；③y＝x2－x＋1. (1)以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？ (2)当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ 师生活动：教师展示二次函数的图象，如图，学生观察图象，展开讨论，并回答问题． (1)抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标分别是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1. (2)抛物线y＝x2－6x＋9与x轴只有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根是3. (3)抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根． 教师总结：一般地，如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根． 2．归纳总结 通过以上学生之间、师生之间的观察、交流、讨论，进行总结： 一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可得如下结论． (1)如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根． (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，只有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根． 由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根．由于作图或观察时可能存在误差，所以由图象求得的根，一般是近似的． 3．归纳提升 问题：(1)观察二次函数y＝x2－6x＋9的图象和y＝x2－2x＋3的图象，分别说出一元二次方程x2－6x＋9＝0和x2－2x＋3＝0的根的情况． (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？ 师生活动： 师生共同讨论总结： 当Δ>0时，方程有两个不等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴只有一个交点； 当Δ<0时，方程无实数根，抛物线与x轴没有交点. 1.学生通过计算、观察、分析，发现二次函数与一元二次方程之间的关系． 2．利用函数图象解决方程根的问题，让学生把方程与函数统一起来，体会数与形的结合带来的方便． 3．设计活动三使学生掌握通过函数图象判断方程的根这一方法，并把方程与函数建立联系，促使学生能够积极主动地投入到探索活动中.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 例　利用函数图象求一元二次方程x2－2x－2＝0的实数根(精确到0.1)． 师生活动：教师引导学生作出函数图象，或求出抛物线与x轴的交点坐标，学生独立完成解答过程． 解：作二次函数y＝x2－2x－2的图象，如图． 它与x轴的公共点的横坐标x1≈－0.7，x2≈2.7， 所以一元二次方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7，x2≈2.7. 播放课件：函数的图象与求一元二次方程的解，前一个课件用来画图，可根据图象估计出方程x2－2x－2＝0的近似解，后一个课件可以准确地求出方程的解，体会其中的差异． 【变式训练】 已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x. (1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点． (2)设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积． 解：(1)证明：联立 化简，得x2－(4＋k)x－1＝0， ∴Δ＝(4＋k)2＋4＞0. 故直线l与该抛物线总有两个交点． (2)当k＝－2时，y＝－2x＋1. 过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E， 联立 解得或 ∴A(1－，2－1)，B(1＋，－1－2)． ∴AF＝2－1，BE＝1＋2. 易得直线y＝－2x＋1与x轴的交点C为(，0)， ∴OC＝. ∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC ＝OC·AF＋OC·BE ＝OC(AF＋BE) ＝××(2－1＋1＋2) ＝. 师生活动：学生自主解答问题后，教师进行讲解，学生再次审题，完成对题目的重新整理. 【典型例题】是对于课题学习的针对练习．【变式训练】由根的判别式判断抛物线与x轴的交点个数，进一步提高学生对二次函数与一元二次方程关系的认识，提升学生灵活运用知识的能力.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 1.小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(D) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4 2．二次函数y＝x2－2x＋1与x轴的交点个数是(C) A．1个或2个 B．2个 C．1个 D．0个 3．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(C) A．x＜2 B．x＞－3 C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1 4．已知抛物线y＝kx2－4x－3与x轴有交点，则k的取值范围是k≥－且k≠0． 5．如图所示，你能直观看出哪些方程的根？ 解：－x2＋2x＋3＝0的根为x1＝－1，x2＝3；－x2＋2x＋3＝4的根为x1＝x2＝1；－x2＋2x2＋3＝3的根为x1＝0，x2＝2. 针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
课堂小结 1.课堂小结： 你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？还存在哪些困惑？ 教师总结：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与二次方程之间的关系，当y为某一确定值m时，相应的自变量x的值就是方程ax2＋bx＋c＝m的根． (2)若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(x0，0)，则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的根． (3)有下列对应关系： 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的位置关系一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况b2－4ac的值有两个公共点有两个不相等的实数根b2－4ac＞0只有一个公共点有两个相等的实数根b2－4ac＝0无公共点无实数根b2－4ac＜0
2.布置作业： 教材第47页习题22.2第3，4，6题. 巩固、梳理所学知识．对学生进行鼓励，并进行思想教育.
板书设计 22.2　二次函数与一元二次方程 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根 提纲挈领，重点突出.
教学反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.