22.3 实际问题与二次函数（2）教学设计 人教版数学九年级上册

22.3　实际问题与二次函数
第2课时　二次函数与商品利润
教材分析
本节课主要是通过探究讨论用二次函数解决实际生活中的最大销售利润问题．它是在学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，以及了解了用二次函数解决最大面积问题的基础上进行学习的．函数作为一种数学工具，在实际问题中有着极其重要的作用，二次函数与实际生活联系较为密切．本节课内容既是对数学知识的应用迁移，又是学生运用分类讨论思想、数学建模思想的良好素材，培养了学生的创新思维和探索精神．
备课素材
一、导入新知
【置疑导入】
一种商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期多卖出25件．已知该商品的进价为每件40元，请问：
①题中调整价格的方式有哪些？②如何表示价格与利润之间的关系？③如何确定x的取值范围？④如何定价才能使每星期的销售利润最大？
【说明与建议】　说明：从学生感兴趣的经济问题入手，学生通过观察、思考，小组内相互交流后建立数学模型．建议：教师需重点关注：①学生能否想到两种调整价格的方式；②学生在表示价格与利润之间的关系时，是否注意到自变量的取值范围．
二、命题热点
命题角度　利用二次函数的性质解决最大利润问题
1．某商场新上市了一款童装，进价每件60元，现以每件100元销售，每天可售出20件．在试销售阶段发现：若每件童装降价1元，则每天可多售出2件，设每件童装降价了x元．
(1)若x＝5，则该款童装每天的销售量为30件，每天利润是1__050元．
(2)当每件童装售价定为多少元时，商场每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
解：当每件童装售价定为85元时，商场每天可获得最大利润，最大利润是1 250元．
2．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过29元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系．
销售量y/千克 … 34.8 32 29.6 28 …
售价x/(元·千克－1) … 22.6 24 25.2 26 …
(1)求y与x的函数解析式．
(2)如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？
(3)该天水果的售价为多少元时获利最大？最大利润为多少？
解：(1)函数解析式为y＝－2x＋80(20≤x≤29)．
(2)该天水果的售价为25元．
(3)水果的售价为29元时获利最大，最大利润198元．
教学设计
课题 22.3　第2课时　二次函数与商品利润 授课人
素养目标 能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型．会用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题.
教学重点 用二次函数的知识分析解决有关利润的实际问题.
教学难点 通过问题中的数量变化关系列出函数解析式.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.请求出下列二次函数的最大值或最小值： (1)y＝2x2－8x＋1.(2)y＝－x2－6x＋3. 2．用一根长为40 m的绳子围成一个矩形，求围成的矩形的最大面积是多少． 师生活动：学生自主进行解答，教师做好指导和点评． 提示：对于第1题可指导学生运用两种不同的方法进行解答； 对于第2题应先确定矩形的长和宽，再利用矩形的面积公式列函数解析式，最后求最值. 1.通过回顾二次函数的最值问题，为讲解新课提供铺垫． 2．复习运用二次函数解答面积问题，采用类比的方法让教学效果较为明显.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 某商品现在的售价为每件60元，经过市场调查，商家决定提高售价，同时销售数量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系为y＝－10x＋900，已知该商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 师生活动：教师引导学生回顾复习售价、进价、利润三者之间的关系，学生回答． 教师展示问题：那么该如何定价呢？ 学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题，教师帮助学生解决问题. 通过日常生活中的实际问题，激发学生思考，培养学生的探究意识和解决实际问题的能力.
活动二：实践探究、交流新知 　　【探究新知】 针对【课堂引入】的问题进行探究，教师总结解题过程． 1．教师展示问题：①该如何定价呢？②问题中的变量是什么？ 提示：①学生分组讨论如何利用函数模型解决问题．②利润随着价格的变化而变化． 学生先独立思考，教师给予引导． 2．教师利用多媒体展示解答过程，指导学生进行对比： 问题1：销售额为多少？成本为多少？ 问题2：如何表示利润？[利润＝售价×数量－进价×数量，利润＝(售价－进价)×数量] 问题3：可否写出利润的函数解析式？ 经过上述3个问题的分析，设利润为w元，可得w＝(x－40)(－10x＋900)＝－10x2＋1 300x－36 000. 问题4：根据题目要求可否得到自变量x的取值范围？ ∴60≤x≤90. 问题5：当x＝________时，w最大． 因为a＝－10<0，所以函数有最大值． 当x＝－＝65时，y有最大值，为6 250. 3．教师指导、点拨，重点强调： ①怎样用函数观点来认识问题；②怎样建立函数模型；③怎样找到两个变量之间的关系；④从利润问题中体会函数模型对解决实际问题的价值． 4．师生总结： 教师指导学生总结解答问题的步骤和方法，学生代表进行说明，全班互相交流，师生共同确定解题思路： ①确定自变量和函数． ②利用“总利润＝单位利润×数量”列函数解析式． ③确定自变量的取值范围． ④利用顶点坐标公式求出问题中的最大利润. 1.通过解答此题，使学生明确利润问题可以利用“总利润＝单位利润×数量”列函数解析式． 2．通过一个已知数量与售价的一次函数关系求解利润问题来降低难度，给学生一个缓冲，将难点分散，提高学生学习的兴趣．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 例　某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 师生活动：学生自主进行解答，教师巡视、指导、点评． 提示：调整价格包括涨价和降价两种情况，需要进行分类讨论． 1．根据涨价情况解答： (1)设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化．我们先来确定y随x变化的函数解析式． 涨价x元时，每星期少卖10x件，实际卖出(300－10x)件，销售额为(60＋x)(300－10x)元，买进商品需付40(300－10x)元．因此，所得利润y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)，即 y＝－10x2＋100x＋6 000(0≤x≤30)． 当x＝－＝5时，y有最大值为6 250. 所以，在涨价情况下，涨价5元，即每件定价为65元时，利润最大，最大利润是6 250元． 2．根据降价情况解答： 设每件降价n元，总利润为w，则 w＝(60－40－n)(300＋20n)＝－20n2＋100n＋6 000. 当n＝－＝2.5时，w有最大值6 125，即每件定价为57.5元时，利润最大，最大利润是6 125元． 综上所述，当每件定价为65元时，利润最大． 师生总结： (1)确定自变量和函数． (2)表示出单位利润和销售数量． (3)利用利润公式列出函数解析式． (4)运用顶点坐标公式求出问题中的最大利润． 【变式训练】 某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/件，规定销售价不低于成本价，且不高于35元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)满足一次函数关系，如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若经销商想要每天获得550元的利润，销售价应该定为多少？ (3)设每天的销售利润为w(元)，当销售价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 解：(1)设y＝kx＋b(k≠0)，把(20，100)，(30，80)代入y＝kx＋b，得 解得 ∴y＝－2x＋140. (2)由题意，得(x－10)(－2x＋140)＝550. 解得x1＝15，x2＝65. ∵10≤x≤35， ∴x2＝65(不合题意，舍去)． ∴若经销商想要每天获得550元的利润，销售价应该定为15元/件． (3)w＝(x－10)(－2x＋140)＝－2x2＋160x－1 400. 此时x＝－＝40，∵10≤x≤35， ∴当x＝35时，w最大＝1 750. ∴当销售价为35元/件时，每天获得的利润最大，最大利润1 750元. 1.对例题的学习，其目的是巩固新知，通过老师的板演，强调格式步骤． 2．通过解答此题，让学生体会函数模型在同一个问题中的不同情况下可以是不同的，培养学生考虑问题的全面性． 3．变式训练是对基础知识的巩固和补充，培养学生的实际应用能力和提升思维能力.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 1.某童装专卖店销售一批某品牌童装，已知销售这种童装每天获得的利润y(元)与童装的销售价x(元/件)之间的函数解析式为y＝－x2＋160x－4 800.若想每天获得的利润最大，则销售价应定为(D) A．110元/件 B．100元/件 C．90元/件 D．80元/件 2．服装店将进价为每件100元的服装按每件x(x＞100)元出售，每天可销售(200－x)件，则每天可获得的最大利润为2__500元． 3．为了实现乡村振兴，某村委会成立了特别工作小组帮助果农进行西瓜种植和销售，已知西瓜的成本为5元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍，经市场调研发现，销售旺季，当销售单价为5元/千克时，每天的销售量为1 000千克，每增加0.1元/千克，每天的销售量就减少20千克．设每天西瓜的销售量为y(千克)，销售单价为x(元/千克)． (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围． (2)求销售旺季一天销售西瓜所获得的利润w的最大值． 解：(1)由题意，得 y＝1 000－×20＝1 000－200(x－5)＝－200x＋2 000. ∵销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍， ∴5≤x≤10. ∴y与x之间的函数关系式为y＝－200x＋2 000(5≤x≤10)． (2)由题意，得w＝(x－5)·y＝(x－5)(－200x＋2 000) ＝－200x2＋3 000x－10 000. ∵5≤x≤10， ∴当x＝－＝7.5时，w有最大值，最大值为1 250. ∴销售旺季一天销售西瓜所获得的利润w的最大值为1 250. 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
课堂小结 1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第51～52页习题22.3第2，8题. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计 22.3　实际问题与二次函数 第2课时　二次函数与商品利润 利用二次函数解决利润问题的一般步骤： (1)确定自变量和函数． (2)表示出单位利润和销售数量． (3)利用利润公式列出函数解析式． (4)运用顶点坐标公式求出问题中的最大利润. 提纲挈领，重点突出.
教学反思 反思，更进一步提升.