高三数学复习

课件56张PPT。高三数学复习中应重视数学阅读的教学 新的数学课程标准强调的一个新理念是：注重学生诸多能力的培养，其中包括数学阅读能力、数学应用能力和数学探究能力，而数学阅读能力是数学思维的基础和前提。 因此，在数学教学中对学生进行数学阅读能力的培养，是提高中学生自主学习能力和“教学生学会学习”的一项重要举措，对高三数学教学而言，数学阅读能力就是读教材、读题、审题、破题、书写表达的能力。它是高三数学复习中必须花大力气研究和解决的问题。一 高三数学教学中数学阅读教学的
现状
1．抛弃教材重资料。
中学生往往缺乏阅读数学课本的习惯，这除了数学难以读懂以外，另外一个原因是，有的数学教师自己很少阅读教材，也很少留时间和空间让学生阅读课本，喜欢滔滔不绝的讲，满黑板地写，使学生产生了依赖性． 2．数学表达能力欠缺。
许多学生不能用连贯的科学的数学语言叙述定义、定理，回答教师提出的问题往往断断续续，断章取义，残缺不齐，不知所云；书写解题过程时主次不分，条理杂乱无章，无法用准确完整的数学语言来表述解题过程等，这主要是没有让学生认真阅读教材的结果。 3．审题能力差。
缺乏仔细审题意识，因片面审题，快速答题带来诸多失误，“审题快作题慢，走不通回
头看，几回几转从头看，时间不够心头乱”；“一看就会，一做就错”；思维定势的影响，用“想当然”代替现实的片面意识，怀有侥幸心理，哪知道熟题“专烧熟人”；忽略题中的关键词语、条件，对题意的理解有偏差，一知半解，会做而不得分。例题1 在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列 是等和数列。且 ，公和是5，那么 的值为__________,这个数列 的前项和 的计算公式为______________4．只见表面不见实质。
数学阅读常出现这种情况，认识一段数学材料中每一个字、词或句子，却不能理解其
中的推理和数学含义，更难体会到其中的数学思想方法。数学语言形式表述与数学内容之间的这一矛盾决定了数学阅读必须勤思多想。数学语言的理解常需要更多的判断、推理，语言中蕴涵的推理、判断的理由、依据须清楚明白；否则，即便语言中的概念清楚，意义明白，也不能达到数学上的理解看不见材料背后的数学模型。例题2 已知函数 ，若 那么 的最大值是_________（注意：min表示值）5．迁移能力差。对新题型、新背景、新运算、新信息题目，看不懂，读不懂，不能转化成熟悉的数学模型解决问题。其实，这些都是由于学生平时学习过分依赖老师，往往是举三反一，而不是举一反三，缺乏数学阅读能力，读题、破题、解题能力差所造成的。6．对题干较长的题目不能抓住关键词，提取有效信息。
例题3（成都市高2007级摸底考试）某项赛事，在“五进三”的淘汰赛中，需要加
试综合素质测试．每位选手都有10道不同的题目可供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目．某选手从中任意连续地抽取3次，每次等可能地抽取1道题，被抽取的题目不再放回．（理）（I）求该选手在３次抽取中，只有第一次抽到艺术类题目的概率；（II）求该选手抽到体育类题目数的分布列和数学期望。（文）（I）求该选手在３次抽取中，至少有1次抽到体育类题目的概率；
（II）求该选手在３次抽取中，抽到3道彼此不同类别题目的概率。二 数学阅读的内涵
1．数学阅读、数学阅读教学及数学阅读能力。
（1）数学阅读的界定：《辞海》中“阅”的意思是看、经历、汇集；“读”的意思是照文字念诵、外扬、欣赏。数学阅读是指从数学公式、图形、符号、文字等数学材料中提取信息的心理过程和智力过程，包括看书、提出问题、对数学过程进行演绎推理、应用、归纳总结行为，其实质是领会、理解其中的数学知识、数学方法、数学思想，体验数学文化，欣赏数学美的过程。(2)数学阅读教学的界定：数学阅读教学是数学阅读活动的教学，是师生之间、学生之间在数学阅读活动中相互交流、互动合作与共同发展的过程。学生是数学阅读的主人，学生需要掌握数学阅读的基本方法、策略和技能，教师实施数学阅读教学是为了提高数学教与学的效益、促进学生形成和掌握数学阅读的基本方法和策略。(3)数学阅读能力：是指从数学公式、图形、符号、文字等数学材料中提取信息，并独
立的进行归纳、总结的能力，是通过动口、动手、动脑的理解过程和加工过程。2 数学阅读的特点。
(1)数学是一门语言。“数学教学就是数学语言的教学”，数学语言具有简洁、无歧义的特点，但数学符号内涵丰富，有一定的抽象性，尤其是符号语言和图式语言跟自然语言差别很大，而在阅读中语意转换频繁，要求灵活，这就给数学阅读带来一定难度．阅读过程是一个转化的过程,是一个内部言语的转化过程，是新知识的同化和顺应的过程。 (2)数学阅读的逻辑性。数学阅读不同于一般阅读，数学材料的呈现主要是归纳和演绎，
具有一定的严谨性，加之数学语言的抽象性，使数学阅读需较强的逻辑思维能力．在数学阅读过程中，记忆、理解、抽象、综合、分析、归纳、类比、联想等思维活动都需充分调动才能达到好的阅读效果。(3)数学阅读的综合性。数学阅读要求认真细致，要求记忆重要概念、原理、公式，因书写可以加快、加强记忆，所以在数学阅读时，对重要的内容常通过书写或作笔记来加强记忆。数学阅读时常要求从课文或数学试题或其它材料中概括归纳出一些东西，(4)数学阅读的精确性。每个数学概念、符号、术语都有其精确的含义，当一个学生试图阅读、理解一段数学材料、一个概念、定理或其证明时，他必须了解其中出现的每个数学术语和每个数学符号的精确含义，不能忽视或略去任何一个不理解的词汇。、(5)数学阅读的灵活性。数学阅读过程中语意转换频繁，要求思维灵活。 3 数学阅读的分类。
在开展阅读教学的过程中，离不开教师的适度引领，它主要包括三个阶段：教师的启
读、教师的辅读、教师的拓读。数学阅读主要是由认读、理解领悟、记忆想象、熟巧创获等因素和环节组成，根据学生学习数学的时间和过程,大致可分为：(1)课前阅读----预习性阅读。
(2)课后阅读----复习性阅读。
(3)局部阅读----针对性阅读。
(4)整体阅读----系统性阅读。
(5)课外阅读-----读课外读物。三 逐步培养学生数学阅读能力的策略
1、教师应将数学阅读纳入数学课堂教学的基本环节。不少的数学课堂教学，常常是教师在布置作业时，才让学生打开课本，学生也只有在做作业遇到困难时，才翻开数学课本，教师没有重视和引导学生进行数学阅读。在学或复习完某一章节或单元后，要求学生在全面阅读教材和课堂笔记的基础上，自己进行知识总结，以发现自己以前没有认识理解的问题，并及时阅读理解和弥补。把已经学过的东西咀嚼、消化、组织整理，反复推敲，融汇贯通，提炼出关键性的问题。使学生学习目的明确，条理清晰，概念准确。
建议：在每节数学课上能否设计至少5分钟数学阅读环节，可以读教材上的内容（定义、定理、规律总结等），可以是读题训练等。2、掌握阅读数学教材的技巧。
重视阅读数学课本，首先要教师引导，特别在讲授新课时，应当纠正那种“学生闭着书，光听老师讲”的教学方法；在讲解概念时，应让学生翻开课本，教师按课本原文逐字、逐句、逐节的阅读．在阅读中，让学生反复琢磨，认真思考，对书中概念、定理、定义中有本质特征的关键词句要仔细品味，深刻理解其语意，达到举一反三而非举三反一的效果。如 如：能换成其它词语行吗？能省略某字某行吗？加上某字词行吗？等等。要读出书中的要点、难点和疑点，读出字里行间所蕴藏的数学精髓，从数学材料或题目中提炼出数学思想、观点和方法。
教师可以列出读书提纲，以便使学生更快更好地理解复习内容。 A．阅读引言：(1)要注意章节标题，因为它标出了主要内容；(2)要注意引入新知识的直观素材、学习本章节的现实意义以及高考考纲对这部分考点的考查层次；(3)要抓住关键字、词、句、符号、图形和重要结论。例题4（2004年上海市高考题）教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 。B．阅读概念：(1)要正确理解概念中的字、词、句，能正确进行文字语言，图形语言和符号语言的互译；(2)要注意联系实际找出正反例子或实物；(3)要弄明白概念的内涵和外延，既能区分相近的概念，又能知道其适用范围。数学概念都是用文字来表达的，且文字精练、简明、准确，所以对有些数学概念的辨析简直需要“咬文嚼字”。 C．阅读定理 ：(1)要注意分清定理的条件和结论；(2)要探讨定理的证明途径和方法，通过与课本对照，分析证法的正误、优劣；(3)要注意联系类似定理，进行分析比较、掌握其应用；(4)要思考定理可否逆用、推广及引伸。D．阅读公式：(1)要弄明白公式的来龙去脉，会推导公式；(2)要明白公式的特征并能
想办法记忆；(3)要注意公式的应用条件，弄明白有关公式的内在联系，了解公式的运用、逆用、合用、变用和巧用。例题5（2003年上海春季高考题）设
利用课本中推导等差数列的前n项和的公式的方法，可求的 值为： E．阅读例题：(1)要认真审题，分析解题过程的关键所在，尝试解题；(2)要和课本比较解法的优劣，并使解题过程的表达既简捷又符合书写格式；(3)要注意总结解题规律并努力去探求新的解题途径；(4)本题是否可以与学科内(外)其它知识相联系,能否进行其它变式等。有时高考试题还通过模拟考生的错误，给出解法，让考生阅读。这一类试题给出的错误正是学生易出错的地方，具有很强的迷惑性和欺骗性，题型相当于英语考试中的“改错题”。 例题6（2003年上海卷高考题）给出问题：
是双曲线 的焦点，点P
在双曲线上。若点P到焦点的距离等于9，求点P到焦点的距离。某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 得 ，∴ 或17。
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内 。 F．阅读“阅读材料”。“阅读材料”是新教材的特点之一。数学教师要充分利用新教材中的这一“阅读材料”，引导学生进行数学阅读。如对材料中的《对数和指数发展简史》、《弧度制的由来》、《笛卡尔和费马》的阅读，可激发学生的兴趣，迎合学生善于模仿的心理特点，使学生以杰出的数学家为榜样，培养学生良好的数学品质和学习意志。通过对《有关储藏的计算》、《圆锥曲线的光学性质及其应用》、《自由落体的数学模型》的阅读，让学生认识到数学与各学科之间，数学与我们现实生活是密切相关的；抽象的、形式化的数学是建立在生动的、丰富的生活内容上，是建立在解决各学科的问题上，是为我们生活服务的。从而培养了学生的应用意识和应用能力。 例题7 （2006年湖北卷理）有限集合 中元素的
个数记做 ，设 都为有限集合，给出下列命题：
① 的充要条件是 ；
② 的充要条件是 ；
③ 的充要条件 ；
④ 的充要条件是 ；
其中真命题的序号是( B )
A．③④ B．①② C．①④ D．②③3、教师应掌握一定的阅读指导策略，指导学生进行有效的阅读。
教师在指导学生进行数学阅读时，要注意符合学生的认知规律，引导学生进行由简单到复杂、由点到面、由此及彼等认识活动，注重阅读的目标性，层次性，明确阅读的主攻方向或思维方向。可让学生运用不同的简单图线、符号圈点勾画不同的重要内容，标记不同的意义，以强化阅读重点与关键，做到自我阅读理解、掌握、心中有数。 例题8（成都市高2007级摸底考试19题）某项赛事，在“五进三”的淘汰赛中，需要加试综合素质测试．每位选手都有10道不同的题目可供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目．某选手从中任意连续地抽取3次，每次等可能地抽取1道题，被抽取的题目不再放回． （理）（I）求该选手在３次抽取中，只有第一次抽到艺术类题目的概率；
（II）求该选手抽到体育类题目数的分布列和数学期望。文）（I）求该选手在３次抽取中，至少有1次抽到体育类题目的概率；
（II）求该选手在３次抽取中，抽到3道彼此不同类别题目的概率。
变式：①将不再放回改为放回；
②连续地抽取3次改为一次抽取三道题；
③只有第一次改为恰有一次；
④彼此不同类别改为相同类别； ⑤至少有1次改为至多有1次；
⑥10道不同的题目改为有6个相同的红球，2个相同的白球，2个相同的黑球（除颜色外无区分）。
求该选手在３次摸取中，只有第一次摸到白球的概率；
⑦同⑥的题干，求该选手摸到黑球数的分布列、数学期望、方差。
⑧同⑥的题干，求该选手在３次摸取中，摸到3个彼此不同颜色球的概率。等等。
反思：变换不同的背景，要求学生阅读，让学生清晰地认识到读题、审题、破题的重要性，从而掌握“概率问题”的主要模型和审题的方法。（关键词：都、不都、都不、恰好（刚好、正好）、完全、不完全、全不、至多、至少、放回、不放回、相同的球、不同的球、或、且、非、排、选、各、共、k次内发生、第k次发生、第k次才发生、发生k次、连续取出3个球、一次取出3个球等）。“学生要不断反思自己的学，教师应不断反思自己的教”。4 数学阅读讲求听说读写相结合。
数学学习也要有听，说，读，写。在新课改背景下的数学教学中，教师的作用不应被看成“知识的传授者”，而应成为学生学习活动的促进者、启发者、质疑者和示范者，充分发挥“导向”作用，使用“听、说、读、写”这四大武器。数学学习中的“听”：
听老师上课。听老师上课，主要是听老师上课的思路，即发现问题、明确问题、提出假设、检验假设的思维过程。既要听老师讲解、分析时的每一句话，更要抓住重点，听好关键性的步骤，特别关注听课时发现或产生的疑难问题。(2)听同学发言。倾听和接受他人的数学思想和方法，不仅是听老师上课，还包括听同学的发言。同学间的思想交流更能引起共鸣，从中可以了解其他同学学习数学和思考问题的方法，加之老师适时的点拨和评价，有利于自己开阔思路、激发思考、澄清思维、引起反思。数学学习中的“说”。
培养良好的语言文字表达能力，不仅是语文学习的任务，也是提高数学素养的重要内
容，是数学学习的任务之一。
(1)说体会。
(2)说思路。
（3）说考点。
（4）说数学方法。数学学习中的“读”。
现代社会已进入信息化时代，要求学生不仅要“学会”，更要“会学”。高三的学生任务重，是否“会学”是成败的重要因素，“会学”的基础当然是会“读”。
(1)读教材。
(2)读书刊。
（3）读考试说明和高考题。
（4）读例题。数学学习中的“写”。
(1)写读后感。
(2)写小论文或数学作文。
（3）写错题本。5、开设三种语言相互转化专题讲座。
数学阅读能力的培养要靠教师长期的培养，需要每节课的设计上有数学阅读的意识。在高三复习中，也可以通过专题讲座加以提升、归纳、内化。如阅读图表等统计资料，提取有关信息并解决相关问题；阅读相关信息材料，通过归纳、探索，发现规律，得出结论；阅读试题提供的新定义、新定理，解决新问题等。高考不仅仅是要把平时储存在学生头脑中的知识提取出来，看其数量大小，而更要考核考生的知识应用能力以及从已有的知识出发，建构新的知识的能力。例题9（2003年全国卷文科试题）在平面几何里，有勾股定理：“设 的两边 互相垂直，则 “ ”。拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥 的三个侧面 、 、 两两相互垂直，则 。”例题10（2006年四川高考理科试题）非空集合 关于运算 满足：
（1）对任 意 、 ，都有 ；（2）存在 ，使得 对一切，都有 ，则称 关于运算 为“融洽集”。现给出下列集合和运算： ① {非负整数}， 为整数的加法。
② {偶数}， 为整数的乘法。
③ {平面向量}， 为平面向量的加法。
④ {二次三项式}， 为多项式的加法。
⑤ {虚数}， 为复数的乘法。
其中 关于 运算为“融洽集”的是 ．（写出所有“融洽集”的序号）例题11（2006高考数学试题陕西卷）为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文 对应密文
， ,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( )
A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7在高考试题中有时还会通过提供新材料、创设新情境和提出新问题来考查考生的学习新数学知识的能力和综合利用所学知识解决新问题的能力。这类问题大多没有在以往的复习资料上出现过，背景相对公平，正是高考所追求的理想题型。考生在考试过程中遇到这类试题时，要沉着冷静地仔细研读试题提供的材料，找准突破口，和自己已有的知识建立起实质性的联系，综合地运用所学的数学知识和数学思想方法解决新问题。6．加强审题训练。
审题三步曲：在解题过程中有可能会遇到三次审题：第一次是拿到题目时，耐心仔细地审题，把握条件的关键词，包括括号内一些不起眼的条件，从中获得尽可能多的信息，迅速找出解题方向；第二次是在解题受阻时，应再次审题，有没有漏看什么条件，想想有什么隐含条件，再去考虑解题策略；第三次是在解完题后，再次回顾题目，看看所得解答与题目要求是否吻合，是否合理，“瞻前顾后”。审题思维链：区分重要和非重要信息→概括信息→推理信息→激活原有知识经验。
（1）审视条件，挖掘隐含信息。
（2）审视结论，确定解题方向。
（3）审视数值、符号、位置，探求优美解法。阅读能力是学习数学的一个十分重要而又容易被忽略的技能，学习数学新知识离不开阅读，高三数学复习也离不开数学阅读。由此可见，在高三数学复习中通过让学生自己阅读教材、自己阅读例题的解法，加强学生阅读能力的培养势在必行。数学阅读会使学生形成求知、开动脑筋、不断探索的良好习惯，可大大激发学生学习数学的积极性和灵感，同时对其他各学科的学习起着巨大的促进作用。 数学阅读是学生享用不尽、终生受益的一种崇高的精神活动。前苏联教育家苏霍姆林斯基说“没有大量的阅读，一个人就会受到精神空虚的威胁。” 数学家张广厚在给母校同学作报告时特别指出：“只做题不看书，是学不好数学的”。高三的数学教师更应加强对学生的数学阅读能力的培养，让高三的学生们愉快地越过“数学阅读”这座山。