【名师一号】2014-2015学年新课标A版高中数学必修4：第二章+平面向量+单元同步测试（含解析）
文档属性
| 名称 | 【名师一号】2014-2015学年新课标A版高中数学必修4：第二章+平面向量+单元同步测试（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 101.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-12-08 20:51:52 | ||
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文档简介
第二章测试
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有下列四个表达式：
①|a＋b|＝|a|＋|b|；
②|a－b|＝±(|a|－|b|)；
③a2>|a|2；
④|a·b|＝|a|·|b|.
其中正确的个数为( )
A．0 B．2
C．3 D．4
解析 对于①仅当a与b同向时成立．对于② ( http: / / www.21cnjy.com )左边|a－b|≥0，而右边可能≤0，∴不成立．对于③∵a2＝|a|2，∴a2>|a|2不成立．对于④当a⊥b时不成立，综上知，四个式子都是错误的．
答案 A
2．下列命题中，正确的是( )
A．a＝(－2,5)与b＝(4，－10)方向相同
B．a＝(4,10)与b＝(－2，－5)方向相反
C．a＝(－3,1)与b＝(－2，－5)方向相反
D．a＝(2,4)与b＝(－3,1)的夹角为锐角
解析 在B中，a＝(4,10)＝－2(－2，－5)＝－2b，
∴a与b方向相反．
答案 B
3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝( )
A. B.
C. D．4
解析 ∵|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋9b2＋6a·b＝1＋9＋6|a||b|cos60°＝13，∴|a＋3b|＝.
答案 C
4．已知向量a＝，b＝(x＋1,2)，其中x>0，若a∥b，则x的值为( )
A．8 B．4
C．2 D．0
解析 ∵a∥b，∴(8＋x)×2－x(x＋1)＝0，即x2＝16，又x>0，∴x＝4.
答案 B
5．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析 M为BC的中点，得＋＝2＝，
∴·(＋)＝2.
又∵＝2，∴||＝||＝.
∴2＝||2＝.
答案 A
6．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析 8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，c＝(3，x)，
∴(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝18＋3x.
又(8a－b)·c＝30，∴18＋3x＝30，x＝4.
答案 C
7．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
解析 依题意可设a＋2b＝λa(λ>0)，
则b＝(λ－1)a，
∴a·b＝(λ－1)a2＝(λ－1)×2＝λ－1>－1.
答案 B
8．设单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量3e1＋4e2与向量e1的夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析 ∵(3e1＋4e2)·e1＝3e＋4e1·e2＝3×12＋4×1×1×cos60°＝5，|3e1＋4e2|2＝9e＋16e＋24e1·e2＝9×12＋16×12＋24×1×1×cos60°＝37.
∴|3e1＋4e2|＝.
设3e1＋4e2与e1的夹角为θ，则
cosθ＝＝.
答案 D
9．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析 如图所示，＝＋，
由题意知，DE：BE＝DF：BA＝1：3.
∴＝.
∴＝a＋b＋(a－b)＝a＋b.
答案 B
10．已知点B为线段AC的中点，且A点坐标为(－3,1)，B点坐标为，则C点坐标为( )
A．(1，－3) B.
C．(4,2) D．(－2,4)
解析 设C(x，y)，则由＝，得
＝，
∴ ∴C(4,2)．
答案 C
11．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b夹角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 设a与b的夹角为θ，
∵Δ＝|a|2－4a·b≥0，
∴a·b≤，∴cosθ＝≤＝.
∵θ∈[0，π]，∴θ∈.
答案 B
12．在△ABC所在平面内有一点P，如果＋＋＝，则△PAB与△ABC的面积之比是( )
A. B.
C. D.
解析 因为＋＋＝＝－，所以2＋＝0，＝－2＝2，所以点P是线段AC的三等分点(如图所示)．所以△PAB与△ABC的面积之比是.
答案 A
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．已知a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(3，)，且a与b共线，θ∈[0,2π)，则θ＝________.
解析 由a∥b，得2cosθ＝6sinθ，∵cosθ≠0，
∴tanθ＝，又θ∈[0,2π)，∴θ＝或.
答案 或π
14．假设|a|＝2，b＝(－1,3)，若a⊥b，则a＝________.
解析 设a＝(x，y)，则有x2＋y2＝20.①
又a⊥b，∴a·b＝0，∴－x＋3y＝0.②
由①②解得x＝3，y＝，或x＝－3，
y＝－，
∴a＝(3，)，或a＝(－3，－)．
答案 (3，)或(－3，－)
15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若·＝·＝2，那么c＝__________.
解析 由题知
·＋·＝2，
即·－·＝·(＋)＝2＝2 c＝||＝.
答案
16．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：
①若a·b＝a·c，则b＝ ( http: / / www.21cnjy.com )c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.
其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)
解析
当a＝0时，①不成立；对于②，若a∥b ( http: / / www.21cnjy.com )，则－2k＝6，∴k＝－3，②成立；对于③，由于|a|＝|b|＝|a－b|，则以|a|，|b|为邻边的平行四边形为菱形，如图．∠BAD＝60°，＝a＋b，由菱形的性质可知，a与a＋b的夹角为∠BAC＝30°.
答案 ②
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.
(1)当m为何值时，c与d垂直？
(2)当m为何值时，c与d共线？
解 (1)令c·d＝0，则(3a＋5b)·(ma－3b)＝0，
即3m|a|2－15|b|2＋(5m－9)a·b＝0，
解得m＝.
故当m＝时，c⊥d.
(2)令c＝λd，则3a＋5b＝λ(ma－3b)
即(3－λm)a＋(5＋3λ)b＝0，
∵a，b不共线，
∴解得
故当m＝－时，c与d共线．
18．(12分)如图所示，在△ABC中，∠C为直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
证明 设此等腰直角三角形的直角边长为a，则
·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝－a2＋0＋a·a·＋·a·
＝－a2＋a2＋a2＝0，
∴⊥，∴AD⊥CE.
19．(12分)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．
解 设D点坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，
＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)，
∵D在直线BC上，即与共线，
∴存在实数λ，使＝λ，
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．
∴∴x－3＝2(y－2)，
即x－2y＋1＝0.①
又∵AD⊥BC，∴·＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0.
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.②
由①②可得
∴||＝ ＝，
即||＝，D(1,1)．
20．(12分)在直角坐标系中，已知＝(4，－4)，＝(5,1)，在方向上的射影数量为||，求的坐标．
解 设点M的坐标为M(x，y)．
∵在方向上的射影数量为||，
∴⊥，∴·＝0.
又＝(x，y)，＝(5－x,1－y)，
∴x(5－x)＋y(1－y)＝0.
又点O，M，A三点共线，∴∥.
∴＝.
∴解得
∴＝－＝(5－2,1＋2)＝(3,3)．
21．(12分)
如图，在平面斜坐标系xOy中．∠x ( http: / / www.21cnjy.com )Oy＝60°，平面上任一点P关于斜坐标系的坐标是这样定义的；若＝xe1＋ye2(其中e1，e2分别为与x轴，y轴同方向的单位向量)，则点P的斜坐标为(x，y)．
(1)若点P的斜坐标为(2，－2)，求点P到O的距离|OP|；
(2)求以O为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程．
解 (1)因为点P的斜坐标为(2，－2)，故＝2e1－2e2，||2＝(2e1－2e2)2＝8－8e1·e2＝8－8cos60°＝4，
∴||＝2，即|OP|＝2.
(2)设圆上动点M的坐标为(x，y)，则＝xe1＋ye2，
又||＝1.故(xe1＋ye2)2＝1.
∴x2＋y2＋2xye1·e2＝1.即x2＋y2＋xy＝1.
故所求方程为x2＋y2＋xy－1＝0.
22．(12分)如图，在四边形ABCD中，＝λ(λ∈R)，||＝||＝2，|－|＝2，且△BCD是以BC为斜边的直角三角形．
(1)求λ的值；
(2)求·的值．
解 (1)因为＝λ，
所以BC∥AD，
且||＝λ||.
因为||＝||＝2，
所以||＝2λ.
又|－|＝2，
所以||＝2.
作AH⊥BD交BD于H，
则H为BD的中点．
在Rt△AHB中，有
cos∠ABH＝＝，
于是∠ABH＝30°，
所以∠ADB＝∠DBC＝30°.
而∠BDC＝90°，
所以BD＝BC·cos30°，即2＝2λ·，
解得λ＝2.
(2)由(1)知，
∠ABC＝60°，||＝4，
所以与的夹角为120°，
故·＝||·||cos120°＝－4.
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有下列四个表达式：
①|a＋b|＝|a|＋|b|；
②|a－b|＝±(|a|－|b|)；
③a2>|a|2；
④|a·b|＝|a|·|b|.
其中正确的个数为( )
A．0 B．2
C．3 D．4
解析 对于①仅当a与b同向时成立．对于② ( http: / / www.21cnjy.com )左边|a－b|≥0，而右边可能≤0，∴不成立．对于③∵a2＝|a|2，∴a2>|a|2不成立．对于④当a⊥b时不成立，综上知，四个式子都是错误的．
答案 A
2．下列命题中，正确的是( )
A．a＝(－2,5)与b＝(4，－10)方向相同
B．a＝(4,10)与b＝(－2，－5)方向相反
C．a＝(－3,1)与b＝(－2，－5)方向相反
D．a＝(2,4)与b＝(－3,1)的夹角为锐角
解析 在B中，a＝(4,10)＝－2(－2，－5)＝－2b，
∴a与b方向相反．
答案 B
3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝( )
A. B.
C. D．4
解析 ∵|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋9b2＋6a·b＝1＋9＋6|a||b|cos60°＝13，∴|a＋3b|＝.
答案 C
4．已知向量a＝，b＝(x＋1,2)，其中x>0，若a∥b，则x的值为( )
A．8 B．4
C．2 D．0
解析 ∵a∥b，∴(8＋x)×2－x(x＋1)＝0，即x2＝16，又x>0，∴x＝4.
答案 B
5．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析 M为BC的中点，得＋＝2＝，
∴·(＋)＝2.
又∵＝2，∴||＝||＝.
∴2＝||2＝.
答案 A
6．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析 8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，c＝(3，x)，
∴(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝18＋3x.
又(8a－b)·c＝30，∴18＋3x＝30，x＝4.
答案 C
7．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
解析 依题意可设a＋2b＝λa(λ>0)，
则b＝(λ－1)a，
∴a·b＝(λ－1)a2＝(λ－1)×2＝λ－1>－1.
答案 B
8．设单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量3e1＋4e2与向量e1的夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析 ∵(3e1＋4e2)·e1＝3e＋4e1·e2＝3×12＋4×1×1×cos60°＝5，|3e1＋4e2|2＝9e＋16e＋24e1·e2＝9×12＋16×12＋24×1×1×cos60°＝37.
∴|3e1＋4e2|＝.
设3e1＋4e2与e1的夹角为θ，则
cosθ＝＝.
答案 D
9．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析 如图所示，＝＋，
由题意知，DE：BE＝DF：BA＝1：3.
∴＝.
∴＝a＋b＋(a－b)＝a＋b.
答案 B
10．已知点B为线段AC的中点，且A点坐标为(－3,1)，B点坐标为，则C点坐标为( )
A．(1，－3) B.
C．(4,2) D．(－2,4)
解析 设C(x，y)，则由＝，得
＝，
∴ ∴C(4,2)．
答案 C
11．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b夹角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 设a与b的夹角为θ，
∵Δ＝|a|2－4a·b≥0，
∴a·b≤，∴cosθ＝≤＝.
∵θ∈[0，π]，∴θ∈.
答案 B
12．在△ABC所在平面内有一点P，如果＋＋＝，则△PAB与△ABC的面积之比是( )
A. B.
C. D.
解析 因为＋＋＝＝－，所以2＋＝0，＝－2＝2，所以点P是线段AC的三等分点(如图所示)．所以△PAB与△ABC的面积之比是.
答案 A
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．已知a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(3，)，且a与b共线，θ∈[0,2π)，则θ＝________.
解析 由a∥b，得2cosθ＝6sinθ，∵cosθ≠0，
∴tanθ＝，又θ∈[0,2π)，∴θ＝或.
答案 或π
14．假设|a|＝2，b＝(－1,3)，若a⊥b，则a＝________.
解析 设a＝(x，y)，则有x2＋y2＝20.①
又a⊥b，∴a·b＝0，∴－x＋3y＝0.②
由①②解得x＝3，y＝，或x＝－3，
y＝－，
∴a＝(3，)，或a＝(－3，－)．
答案 (3，)或(－3，－)
15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若·＝·＝2，那么c＝__________.
解析 由题知
·＋·＝2，
即·－·＝·(＋)＝2＝2 c＝||＝.
答案
16．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：
①若a·b＝a·c，则b＝ ( http: / / www.21cnjy.com )c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.
其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)
解析
当a＝0时，①不成立；对于②，若a∥b ( http: / / www.21cnjy.com )，则－2k＝6，∴k＝－3，②成立；对于③，由于|a|＝|b|＝|a－b|，则以|a|，|b|为邻边的平行四边形为菱形，如图．∠BAD＝60°，＝a＋b，由菱形的性质可知，a与a＋b的夹角为∠BAC＝30°.
答案 ②
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.
(1)当m为何值时，c与d垂直？
(2)当m为何值时，c与d共线？
解 (1)令c·d＝0，则(3a＋5b)·(ma－3b)＝0，
即3m|a|2－15|b|2＋(5m－9)a·b＝0，
解得m＝.
故当m＝时，c⊥d.
(2)令c＝λd，则3a＋5b＝λ(ma－3b)
即(3－λm)a＋(5＋3λ)b＝0，
∵a，b不共线，
∴解得
故当m＝－时，c与d共线．
18．(12分)如图所示，在△ABC中，∠C为直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
证明 设此等腰直角三角形的直角边长为a，则
·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝－a2＋0＋a·a·＋·a·
＝－a2＋a2＋a2＝0，
∴⊥，∴AD⊥CE.
19．(12分)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．
解 设D点坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，
＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)，
∵D在直线BC上，即与共线，
∴存在实数λ，使＝λ，
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．
∴∴x－3＝2(y－2)，
即x－2y＋1＝0.①
又∵AD⊥BC，∴·＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0.
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.②
由①②可得
∴||＝ ＝，
即||＝，D(1,1)．
20．(12分)在直角坐标系中，已知＝(4，－4)，＝(5,1)，在方向上的射影数量为||，求的坐标．
解 设点M的坐标为M(x，y)．
∵在方向上的射影数量为||，
∴⊥，∴·＝0.
又＝(x，y)，＝(5－x,1－y)，
∴x(5－x)＋y(1－y)＝0.
又点O，M，A三点共线，∴∥.
∴＝.
∴解得
∴＝－＝(5－2,1＋2)＝(3,3)．
21．(12分)
如图，在平面斜坐标系xOy中．∠x ( http: / / www.21cnjy.com )Oy＝60°，平面上任一点P关于斜坐标系的坐标是这样定义的；若＝xe1＋ye2(其中e1，e2分别为与x轴，y轴同方向的单位向量)，则点P的斜坐标为(x，y)．
(1)若点P的斜坐标为(2，－2)，求点P到O的距离|OP|；
(2)求以O为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程．
解 (1)因为点P的斜坐标为(2，－2)，故＝2e1－2e2，||2＝(2e1－2e2)2＝8－8e1·e2＝8－8cos60°＝4，
∴||＝2，即|OP|＝2.
(2)设圆上动点M的坐标为(x，y)，则＝xe1＋ye2，
又||＝1.故(xe1＋ye2)2＝1.
∴x2＋y2＋2xye1·e2＝1.即x2＋y2＋xy＝1.
故所求方程为x2＋y2＋xy－1＝0.
22．(12分)如图，在四边形ABCD中，＝λ(λ∈R)，||＝||＝2，|－|＝2，且△BCD是以BC为斜边的直角三角形．
(1)求λ的值；
(2)求·的值．
解 (1)因为＝λ，
所以BC∥AD，
且||＝λ||.
因为||＝||＝2，
所以||＝2λ.
又|－|＝2，
所以||＝2.
作AH⊥BD交BD于H，
则H为BD的中点．
在Rt△AHB中，有
cos∠ABH＝＝，
于是∠ABH＝30°，
所以∠ADB＝∠DBC＝30°.
而∠BDC＝90°，
所以BD＝BC·cos30°，即2＝2λ·，
解得λ＝2.
(2)由(1)知，
∠ABC＝60°，||＝4，
所以与的夹角为120°，
故·＝||·||cos120°＝－4.