【名师一号】2014-2015学年新课标A版高中数学必修5：第一章++解三角形+单元同步测试（含解析）
文档属性
| 名称 | 【名师一号】2014-2015学年新课标A版高中数学必修5：第一章++解三角形+单元同步测试（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 32.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-12-08 20:53:42 | ||
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文档简介
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第一章测试
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．非钝角三角形
解析 最大边AC所对角为B，则cosB＝＝－<0，∴B为钝角．
答案 C
2．在△ABC中，已知a＝1，b＝，A＝30°，B为锐角，那么A，B，C的大小关系为( )
A．A>B>C B．B>A>C
C．C>B>A D．C>A>B
解析 由正弦定理＝，∴sinB＝＝.
∵B为锐角，∴B＝60°，则C＝90°，故C>B>A.
答案 C
3．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
A．4 B．4
C．4 D.
解析 由A＋B＋C＝180°，可求得A＝45°，由正弦定理，得b＝＝＝＝4.
答案 C
4．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则·的值为( )
A．5 B．－5
C．15 D．－15
解析 在△ABC中，由余弦定理得
cosB＝＝＝.
∴·＝||·||cosB＝5×7×＝5.
答案 A
5．若三角形三边长之比是1：：2，则其所对角之比是( )
A．1：2：3 B．1：：2
C．1：： D.：：2
解析 设三边长分别为a，a,2a，设最大角为A，则cosA＝＝0，∴A＝90°.
设最小角为B，则cosB＝＝，
∴B＝30°，∴C＝60°.
因此三角之比为1：2：3.
答案 A
6．在△ABC中，若a＝6，b＝9，A＝45°，则此三角形有( )
A．无解 B．一解
C．两解 D．解的个数不确定
解析 由＝，得sinB＝＝＝>1.
∴此三角形无解．
答案 A
7．已知△ABC的外接圆半径为R，且2R ( http: / / www.21cnjy.com )(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB(其中a，b分别为A，B的对边)，那么角C的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析 根据正弦定理，原式可化为
2R＝(a－b)·，
∴a2－c2＝(a－b)b，∴a2＋b2－c2＝ab，
∴cosC＝＝，∴C＝45°.
答案 B
8．在△ABC中，已知sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，且满足ab＝4，则该三角形的面积为( )www.21-cn-jy.com
A．1 B．2
C. D.
解析 由＝＝＝2R，
又sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，
可得a2＋b2－ab＝c2.
∴cosC＝＝，∴C＝60°，sinC＝.
∴S△ABC＝absinC＝.
答案 D
9．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为( )
A. B.
C. D.
解析 由余弦定理，得
cosA＝，解得AC＝3.
由正弦定理＝＝.
答案 D
10.在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为( )
A. B.
C. D.
解析 由余弦定理，得cos∠BAC＝＝＝－，∴∠BAC＝.
答案 A
11．有一长为1 km的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长( )
A．0.5 km B．1 km
C．1.5 km D. km
解析 如图，AC＝AB·sin20°＝sin20°，
BC＝AB·cos20°＝cos20°，DC＝＝2cos210°，
∴DB＝DC－BC＝2cos210°－cos20°＝1.
答案 B
12．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且A＝75°，则b为( )21cnjy.com
A．2 B．4＋2
C．4－2 D.－
解析 在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b ( http: / / www.21cnjy.com )2＋c2－2bccosA，∵a＝c，∴0＝b2－2bccosA＝b2－2b(＋)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝＝(－)，∴b2－2b(＋)cos75°＝b2－2b(＋)·(－)＝b2－2b＝0，解得b＝2，或b＝0(舍去)．故选A.2·1·c·n·j·y
答案 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．在△ABC中，A＝60°，C＝45°，b＝4，则此三角形的最小边是____________．
解析 由A＋B＋C＝180°，得B＝75°，∴c为最小边，由正弦定理，知c＝＝＝4(－1)．
答案 4(－1)
14．在△ABC中，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________.
解析 由B＝A＋60°，得
sinB＝sin(A＋60°)＝sinA＋cosA.
又由b＝2a，知sinB＝2sinA.
∴2sinA＝sinA＋cosA.
即sinA＝cosA.
∵cosA≠0，∴tanA＝.
∵0°答案 30°
15．在△ABC中，A＋C＝2B，BC＝5，且△ABC的面积为10，则B＝________，AB＝________.【来源：21·世纪·教育·网】
解析 由A＋C＝2B及A＋B＋C＝180°，得B＝60°.
又S＝AB·BC·sinB，
∴10 ＝AB×5×sin60°，∴AB＝8.
答案 60° 8
16．在△ABC中，已知(b＋c)：(c＋a)：(a＋b)＝8：9：10，则sinA：sinB：sinC＝________.21·世纪*教育网
解析 设可得a：b：c＝11：9：7.
∴sinA：sinB：sinC＝11：9：7.
答案 11：9：7
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)在非等腰△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b(b＋c)．
(1)求证：A＝2B；
(2)若a＝b，试判断△ABC的形状．
解 (1)证明：在△ABC中，∵a2＝b·(b＋c)＝b2＋bc，由余弦定理，得cosB＝＝＝＝＝，
∴sinA＝2sinBcosB＝sin2B.
则A＝2B或A＋2B＝π.
若A＋2B＝π，又A＋B＋C＝π，∴B＝C.这与已知相矛盾，故A＝2B.
(2)∵a＝b，由a2＝b(b＋c)，得3b2＝b2＋bc，∴c＝2b.
又a2＋b2＝4b2＝c2.
故△ABC为直角三角形．
18．(12分)锐角三角形ABC中，边a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，角A，B满足2sin(A＋B)－＝0.求：www-2-1-cnjy-com
(1)角C的度数；
(2)边c的长度及△ABC的面积．
解 (1)由2sin(A＋B)－＝0，得sin(A＋B)＝.
∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B＝120°，∴∠C＝60°.
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，
∴a＋b＝2，ab＝2.
∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝12－6＝6.
∴c＝.
S△ABC＝absinC＝×2×＝.
19．(12分)如右图，某货轮在A处看灯塔 ( http: / / www.21cnjy.com )B在货轮的北偏东75°，距离为12 nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：21·cn·jy·com
(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
解 (1)在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12 ，由正弦定理，得AD＝＝＝24(nmile)．
(2)在△ADC中，由余弦定理，得
CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos30°.
解得CD＝8(nmile)．
∴A处与D处的距离为24 nmile，灯塔C与D处的距离为8 nmile.
20．(12分)已知△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．
解 (1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB.
由正弦定得知，sinA＝，sinB＝(其中R为△ABC外接圆的半径)，代入上式，得a·＝b·，∴a＝b.故△ABC为等腰三角形．
(2)∵m⊥p，∴m·p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得
4＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.
解得ab＝4，ab＝－1(舍去)．
∴△ABC的面积S＝absinC＝×4×sin＝.
21．(12分)在△ABC中，已知内角A＝，边BC＝2，设内角B＝x，周长为y.
(1)求函数y＝f(x)的解析式和定义域；
(2)求y的最大值．
解 (1)△ABC的内角和A＋B＋C＝π，由A＝，B>0，C>0，得0AC＝·sinB＝·sinx＝4sinx.
AB＝sinC＝4sin.
∵y＝AB＋BC＋CA，
∴y＝4sinx＋4sin＋2.
(2)y＝4(sinx＋cosx＋sinx)＋2
＝4sin(x＋)＋2.
∵∴当x＋＝，即x＝时，y取得最大值6.
22．(12分)△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝，sin(B－A)＝cosC.21世纪教育网版权所有
(1)求A，C；
(2)若S△ABC＝3＋，求a，c.
解 (1)因为tanC＝，
即＝，
所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，
即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，得sin(C－A)＝sin(B－C)．21教育网
所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)，
即2C＝A＋B，得C＝，所以B＋A＝.
又因为sin(B－A)＝cosC＝，
则B－A＝，或B－A＝(舍去)．
得A＝，B＝.
所以A＝，C＝.
(2)S△ABC＝acsinB＝ac＝3＋，
又＝，即＝.
得a＝2，c＝2.
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第一章测试
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．非钝角三角形
解析 最大边AC所对角为B，则cosB＝＝－<0，∴B为钝角．
答案 C
2．在△ABC中，已知a＝1，b＝，A＝30°，B为锐角，那么A，B，C的大小关系为( )
A．A>B>C B．B>A>C
C．C>B>A D．C>A>B
解析 由正弦定理＝，∴sinB＝＝.
∵B为锐角，∴B＝60°，则C＝90°，故C>B>A.
答案 C
3．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
A．4 B．4
C．4 D.
解析 由A＋B＋C＝180°，可求得A＝45°，由正弦定理，得b＝＝＝＝4.
答案 C
4．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则·的值为( )
A．5 B．－5
C．15 D．－15
解析 在△ABC中，由余弦定理得
cosB＝＝＝.
∴·＝||·||cosB＝5×7×＝5.
答案 A
5．若三角形三边长之比是1：：2，则其所对角之比是( )
A．1：2：3 B．1：：2
C．1：： D.：：2
解析 设三边长分别为a，a,2a，设最大角为A，则cosA＝＝0，∴A＝90°.
设最小角为B，则cosB＝＝，
∴B＝30°，∴C＝60°.
因此三角之比为1：2：3.
答案 A
6．在△ABC中，若a＝6，b＝9，A＝45°，则此三角形有( )
A．无解 B．一解
C．两解 D．解的个数不确定
解析 由＝，得sinB＝＝＝>1.
∴此三角形无解．
答案 A
7．已知△ABC的外接圆半径为R，且2R ( http: / / www.21cnjy.com )(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB(其中a，b分别为A，B的对边)，那么角C的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析 根据正弦定理，原式可化为
2R＝(a－b)·，
∴a2－c2＝(a－b)b，∴a2＋b2－c2＝ab，
∴cosC＝＝，∴C＝45°.
答案 B
8．在△ABC中，已知sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，且满足ab＝4，则该三角形的面积为( )www.21-cn-jy.com
A．1 B．2
C. D.
解析 由＝＝＝2R，
又sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，
可得a2＋b2－ab＝c2.
∴cosC＝＝，∴C＝60°，sinC＝.
∴S△ABC＝absinC＝.
答案 D
9．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为( )
A. B.
C. D.
解析 由余弦定理，得
cosA＝，解得AC＝3.
由正弦定理＝＝.
答案 D
10.在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为( )
A. B.
C. D.
解析 由余弦定理，得cos∠BAC＝＝＝－，∴∠BAC＝.
答案 A
11．有一长为1 km的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长( )
A．0.5 km B．1 km
C．1.5 km D. km
解析 如图，AC＝AB·sin20°＝sin20°，
BC＝AB·cos20°＝cos20°，DC＝＝2cos210°，
∴DB＝DC－BC＝2cos210°－cos20°＝1.
答案 B
12．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且A＝75°，则b为( )21cnjy.com
A．2 B．4＋2
C．4－2 D.－
解析 在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b ( http: / / www.21cnjy.com )2＋c2－2bccosA，∵a＝c，∴0＝b2－2bccosA＝b2－2b(＋)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝＝(－)，∴b2－2b(＋)cos75°＝b2－2b(＋)·(－)＝b2－2b＝0，解得b＝2，或b＝0(舍去)．故选A.2·1·c·n·j·y
答案 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．在△ABC中，A＝60°，C＝45°，b＝4，则此三角形的最小边是____________．
解析 由A＋B＋C＝180°，得B＝75°，∴c为最小边，由正弦定理，知c＝＝＝4(－1)．
答案 4(－1)
14．在△ABC中，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________.
解析 由B＝A＋60°，得
sinB＝sin(A＋60°)＝sinA＋cosA.
又由b＝2a，知sinB＝2sinA.
∴2sinA＝sinA＋cosA.
即sinA＝cosA.
∵cosA≠0，∴tanA＝.
∵0°
15．在△ABC中，A＋C＝2B，BC＝5，且△ABC的面积为10，则B＝________，AB＝________.【来源：21·世纪·教育·网】
解析 由A＋C＝2B及A＋B＋C＝180°，得B＝60°.
又S＝AB·BC·sinB，
∴10 ＝AB×5×sin60°，∴AB＝8.
答案 60° 8
16．在△ABC中，已知(b＋c)：(c＋a)：(a＋b)＝8：9：10，则sinA：sinB：sinC＝________.21·世纪*教育网
解析 设可得a：b：c＝11：9：7.
∴sinA：sinB：sinC＝11：9：7.
答案 11：9：7
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)在非等腰△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b(b＋c)．
(1)求证：A＝2B；
(2)若a＝b，试判断△ABC的形状．
解 (1)证明：在△ABC中，∵a2＝b·(b＋c)＝b2＋bc，由余弦定理，得cosB＝＝＝＝＝，
∴sinA＝2sinBcosB＝sin2B.
则A＝2B或A＋2B＝π.
若A＋2B＝π，又A＋B＋C＝π，∴B＝C.这与已知相矛盾，故A＝2B.
(2)∵a＝b，由a2＝b(b＋c)，得3b2＝b2＋bc，∴c＝2b.
又a2＋b2＝4b2＝c2.
故△ABC为直角三角形．
18．(12分)锐角三角形ABC中，边a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，角A，B满足2sin(A＋B)－＝0.求：www-2-1-cnjy-com
(1)角C的度数；
(2)边c的长度及△ABC的面积．
解 (1)由2sin(A＋B)－＝0，得sin(A＋B)＝.
∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B＝120°，∴∠C＝60°.
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，
∴a＋b＝2，ab＝2.
∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝12－6＝6.
∴c＝.
S△ABC＝absinC＝×2×＝.
19．(12分)如右图，某货轮在A处看灯塔 ( http: / / www.21cnjy.com )B在货轮的北偏东75°，距离为12 nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：21·cn·jy·com
(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
解 (1)在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12 ，由正弦定理，得AD＝＝＝24(nmile)．
(2)在△ADC中，由余弦定理，得
CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos30°.
解得CD＝8(nmile)．
∴A处与D处的距离为24 nmile，灯塔C与D处的距离为8 nmile.
20．(12分)已知△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．
解 (1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB.
由正弦定得知，sinA＝，sinB＝(其中R为△ABC外接圆的半径)，代入上式，得a·＝b·，∴a＝b.故△ABC为等腰三角形．
(2)∵m⊥p，∴m·p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得
4＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.
解得ab＝4，ab＝－1(舍去)．
∴△ABC的面积S＝absinC＝×4×sin＝.
21．(12分)在△ABC中，已知内角A＝，边BC＝2，设内角B＝x，周长为y.
(1)求函数y＝f(x)的解析式和定义域；
(2)求y的最大值．
解 (1)△ABC的内角和A＋B＋C＝π，由A＝，B>0，C>0，得0
AB＝sinC＝4sin.
∵y＝AB＋BC＋CA，
∴y＝4sinx＋4sin＋2.
(2)y＝4(sinx＋cosx＋sinx)＋2
＝4sin(x＋)＋2.
∵
22．(12分)△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝，sin(B－A)＝cosC.21世纪教育网版权所有
(1)求A，C；
(2)若S△ABC＝3＋，求a，c.
解 (1)因为tanC＝，
即＝，
所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，
即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，得sin(C－A)＝sin(B－C)．21教育网
所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)，
即2C＝A＋B，得C＝，所以B＋A＝.
又因为sin(B－A)＝cosC＝，
则B－A＝，或B－A＝(舍去)．
得A＝，B＝.
所以A＝，C＝.
(2)S△ABC＝acsinB＝ac＝3＋，
又＝，即＝.
得a＝2，c＝2.
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