【名师一号】2014-2015学年北师大版高中数学必修5：第二章 解三角形 单元同步测试（含解析）

第二章测试
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(5×10＝50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，若sinA>sinB，则A与B的大小关系是(　　)
A．A>B B．AC．A≥B D．不能确定
解析　由sinA>sinB知a>b，由三角形大边对大角知A>B.
答案　A
2．在△ABC中，A、B均为锐角，sinA＝，cosB＝，则cosC的值为(　　)
A. B.
C．－ D．±
解析　由sinA＝，A为锐角，cosA＝，由cosB＝，sinB＝，cosC＝－cos(A＋B)＝－[cosAcosB－sinAsinB]＝－.
答案　C
3．在△ABC中，a＝，b＝，A＝30°，则B等于(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．60°或120°
解析　由正弦定理＝，∴sinB＝.
又b>a，∴B＝60°或B＝120°.
答案　D
4．在△ABC中，sin2A－sin2C＋sin2B＝sinAsinB，则C为(　　)
A．60° B．45°
C．120° D．30°
解析　由正弦定理得a2＋b2－c2＝ab，
整理得＝，∴cosC＝.
又C为三角形内角，∴C＝60°.
答案　A
5．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析　由余弦定理，b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋c2－ac＝ac，
即(a－c)2＝0，∴a＝c.又B＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
答案　D
6．在△ABC中，A＝60°，a＝，则＝(　　)
A．2 B.
C. D.
解析　由正弦定理可知＝＝＝2.
答案　A
7．三角形某两边之差为2，且夹角的余弦值为，面积为14，那么这个三角形的这两边长分别是(　　)
A．3和5 B．4和6
C．6和8 D．5和7
解析　设这两边为x，x＋2.
由题意可得S＝x(x＋2)sinθ＝x·(x＋2)×＝14，
得x＝5，或x＝－7(舍)，故选D.
答案　D
8．在△ABC中，已知sinC＝2sin(B＋C)·cosB，那么△ABC一定是(　　)
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
解析　由题可知，sinC＝sinAcosB＋cosAsinB＝2sinAcosB，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B.
∴△ABC为等腰三角形．
答案　B
9．在△ABC中，b＝8，c＝8，S△ABC＝16，则A＝(　　)
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
解析　S△ABC＝bc·sinA＝16，
即32sinA＝16，sinA＝.
又A为三角形的内角，∴A＝30°，或A＝150°.
答案　C
10．甲船在岛A的正南B处，以4 km/h的速度向正北航行，AB＝10 km，同时乙船自岛A出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为(　　)
A.min B.h
C．21.5 min D．2.15 h
解析　如图所示，过t小时，甲船到达D点，
CD＝
＝.
∴当t＝＝时，甲、乙两船相距最近，
∴t＝×60＝ min.
答案　A
二、填空题(5×5＝25分)
11．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则A＝______；
AB＝________.
解析　∵＝，
∴sinA＝.又BC又C＝180°－A－B＝75°，∴＝.
∴AB＝＋1.
答案　45°　＋1
12．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝π，则a＝________.
解析　由正弦定理得＝，
得sinB＝.又b∴B＝，故∠A＝π－π－＝，∴a＝1.
答案　1
13．设△ABC的内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，且3b2＋3c2－3a2＝4bc.则sinA的值为________．
解析　由余弦定理得cosA＝＝，又0答案　
14．已知△ABC的面积为，||＝3，||＝5，且·<0，则||＝________.
解析　由题意得||·||sinA＝×3×5sinA＝，∴sinA＝.又·<0，
∴A是钝角，∴A＝120°，
||＝ ＝7.
答案　7
15．已知△ABC中，A＝60°，最大边和最小边的长是方程3x2－27x＋32＝0的两根，那么BC边长等于________．
解析　由题意得x1＋x2＝9，x1x2＝，
由余弦定理，得BC2＝x＋x－2x1x2cos60°＝49.
∴BC＝7.
答案　7
三、解答题(共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(12分)在△ABC中，C－A＝，sinB＝.
(1)求sinA的值；
(2)设AC＝，求△ABC的面积．
解　(1)由C－A＝及A＋B＋C＝π，
得2A＝－B,0故cos2A＝sinB，即1－2sin2A＝，sinA＝.
(2)由(1)得cosA＝，由正弦定理得
＝，∴BC＝AC＝3.
∴S△ABC＝AC·BC·sinC＝AC·BC·cosA＝3.
17．(12分)在△ABC中，A、B均为锐角，且cosA>sinB，判断△ABC的形状．
解　∵cosA>sinB，∴sin(－A)>sinB.
∵A∈，∴－A∈.
∵B∈，
且y＝sinx在上为单调增函数，
∴－A>B，∴A＋B<.
∵A＋B＋C＝π，∴C∈(，π)．
∴△ABC为钝角三角形．
18．(12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝(sinB＋sinC，sinA－sinB)，n＝(sinB－sinC，sin(B＋C))，且m⊥n.
(1)求角C的大小；
(2)若sinA＝，求cosB的值．
解　(1)由m⊥n可得m·n＝0.
即sin2B－sin2C＋sin2A－sinAsinB＝0.
由正弦定理得b2－c2＋a2－ab＝0，
得cosC＝＝＝.
又C为三角形的内角，
∴C＝.
(2)∵sinC＝，sinA＝，
∵>，知C>A.
∴cosA＝.
∴cosB＝－cos(A＋C)＝sinAsinC－cosAcosC＝.
19．(13分)已知角A、B、C为△ABC的内角，其对边分别为a、b、c，若向量m＝，n＝，a＝2，且m·n＝，△ABC的面积S＝，求b＋c的值．
解　∵m＝，n＝，且m·n＝，∴－cos2＋sin2＝.
即cosA＝－.又0∵S＝bc·sinA＝bc·sin＝bc＝，
∴bc＝4.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2＋bc＝12，
∴(b＋c)2＝16，故b＋c＝4.
20．(13分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，满足S＝(a2＋b2－c2)．
(1)求角C的大小；
(2)求sinA＋sinB的最大值．
解　(1)由题意得absinC＝×2ab·cosC，
∴tanC＝.又C为△ABC的内角，
∴C＝.
(2)∵∠C＝，
∴sinA＋sinB＝sinA＋sin
＝sinA＋cosA＋sinA
＝sin≤.
当A＝，即△ABC为等边三角形时取等号．
∴sinA＋sinB的最大值为.
21．(13分)已知向量m＝(cos，1)，n＝(sin，cos2)．记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．
解　(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得
(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC.
∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC.
∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．
∵A＋B＋C＝π，
∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0.
∴cosB＝，则B＝，∴0∴<＋<，又∵f(x)＝m·n＝sin＋，
∴f(A)＝sin＋.
故函数f(A)的取值范围是.