【名师一号】2014-2015学年北师大版高中数学必修4：第一章 三角函数 单元同步测试（含解析）

阶段性检测卷(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．下列说法中，正确的是(　　)
A．第一象限的角都是锐角
B．第三象限的角必大于第二象限的角
C．－831°是第二象限角
D．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角
解析　对于A项来说，如390°是第一象限角，但它不是锐角；
对于B项来说，－170°是第三象限角，120°是第二象限角，但120°>－170°；
对于C项来说，－831°＝－2×360°－111°，因为－111°是第三象限角，所以－831°是第三象限角；
对于D项来说，984°40′＝3×360°－95°20′，264°40′＝360°－95°20′.
所以角984°40′，264°40′都与－95°20′角的终边相同．
答案　D
2．函数y＝2tan的最小正周期是(　　)
A. B.
C. D.π
解析　T＝.
答案　B
3．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析　sinπ＝cosπ，cosπ＝sinπ.
答案　D
4．把y＝sinx的图像向右平移后，再把各点横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数的解析式为(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
答案　A
5．函数y＝sin在区间的简图是(　　)
解析　∵f＝sin＝0，故C，D不正确，又f(0)＝sin＝－sin＝－<0.
∴B不正确．
答案　A
6．函数y＝的定义域为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　由得

即2kπ≤x＜2kπ＋，k∈Z，
所以选A.
答案　A
7．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图像关于x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
解析　f(x)＝sin＝－sin＝－cosx，显然f(x)为偶函数，不是奇函数．
答案　D
8．y＝cos在(　　)
A．[－π，0]上是增加的
B.上是增加的
C.上是增加的
D.上是增加的
解析　y＝cos＝cos，当2kπ－π≤x－≤2kπ(k∈Z)时，函数是增加的，解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．当k＝0时，－≤x≤，∴x∈时，函数是增加的．
答案　B
9．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有(　　)
A．aC．c解析　a＝－sin1，b＝cos1，c＝－tan1，
∵a<0，c<0，b>0，又sin1∴－sin1>－tan1，故选C.
答案　C
10．已知函数f(x)＝sin的图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x2＋y2＝k2上，则f(x)的最小正周期是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析　由题意可知点在圆x2＋y2＝k2上，所以2＋()2＝k2，解得k＝±2.此时，函数的最小正周期是T＝＝2|k|＝4.
答案　D
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．已知角α的终边过点P(－4m,3m)，(m≠0)，则2sinα＋cosα＝________.
解析　当m>0时，|OP|＝5m,2sinα＋cosα＝＋＝；当m<0时，|OP|＝－5m,2sinα＋cosα＝＋＝－.
答案　或－
12．sin4π＋cosπ＋tan3π－sinπ＋cos5π＝________.
解析　sin4π＋cosπ＋tan3π－sinπ＋cos5π
＝sin0＋cos＋tanπ－sin＋cosπ
＝0＋0＋0－1－1＝－2.
答案　－2
13．已知半径为2的扇形的面积为4，则这个扇形的圆心角为________．
解析　设这个扇形的弧长为l，则4＝×2×l，∴l＝4，∴这个扇形的圆心角θ＝＝＝2.
答案　2
14．若函数f(x)＝sinx＋mcosx图像的一条对称轴方程为x＝，则实数m的值为________．
解析　由题意得f(0)＝f，即m＝＋，得m＝.
答案　
15．若函数f(x)＝2sin，有下列命题：①其最小正周期为π；②其图像由y＝2sin3x向左平移个单位得到；③其表达式可写成f(x)＝2cos；④在x∈为单调增函数．则其中真命题为________．
解析　由T＝，故①正确；
将y＝2sin3x的图像向左平移个单位得到y＝2sin3＝2sin，故②不正确；
y＝2cos＝2cos
＝2sin＝2sin
＝2sin＝2sin，故③正确；
当答案　①③④
三、解答题(本大题共6道题，共75分)
16．(12分)化简：
(1)sin420°cos330°＋sin(－690°)·cos(－660°)；
(2)＋.
解　(1)sin420°cos330°＋sin(－690°)·cos(－660°)＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＝1.
(2)原式＝＋
＝－sinα＋sinα
＝0.
17．(12分)已知扇形的圆心角θ＝，它所对的弦长为2，求扇形的弧长和面积．
解　∵扇形的圆心角θ＝(如图)，∴△AOB为等边三角形，∴R＝AB＝2，∴扇形的弧长l＝Rθ＝2×＝π.
S扇＝Rl＝×2×π＝π.
18．(12分)如图，点P是半径为r cm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s做匀速圆周运动，求点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式，并求点P的运动周期和频率．
解　当质点P从位置P0开始转动t s时，点P转过的角度为ωt.设此时点P所在的位置为P′，则∠P′Ox＝ωt＋φ.由任意角的三角函数得点P的纵坐标为y＝rsin(ωt＋φ)，此即为所求的函数关系式．
点P的运动周期为T＝，频率为f＝＝.
19．(13分)如图所示，是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的一段图像．
(1)求此函数解析式；
(2)分析该函数是如何通过y＝sinx变换得来的？
解　(1)由图像知A＝＝，
k＝＝－1，
T＝2×＝π，
∴ω＝＝2.
∴y＝sin(2x＋φ)－1.
当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝.
∴所求函数解析式为y＝sin－1.
(2)把y＝sinx向左平移个单位，得到y＝sin，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的，得到y＝sin，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到y＝sin，
最后把函数y＝sin的图像向下平移1个单位，得到y＝sin－1的图像．
20．(13分)如果关于x的方程sin2x－(2＋a)sinx＋2a＝0在x∈上有两个实数根，求实数a的取值范围．
解　sin2x－(2＋a)sinx＋2a＝0，
即(sinx－2)(sinx－a)＝0.
∵sinx－2≠0，∴sinx＝a，即求在x∈上sinx＝a有两根时a的范围．
由y＝sinx，x∈与y＝a的图像知≤a＜1.
故实数a的取值范围是.
21．(13分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，f(x)图像的一条对称轴是直线x＝，
(1) 求φ；
(2) 求函数y＝f(x)的单调增区间；
(3) 画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像．
解　(1)∵x＝是函数y＝f(x)的图像的对称轴，
∴sin＝±1.
∴＋φ＝kπ＋，(k∈Z)，φ＝kπ＋，(k∈Z)．
∵－π<φ<0，∴φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，∴y＝sin.
由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
∴kπ＋≤x≤kπ＋，(k∈Z)．
即函数y＝sin的单调增区间为
，(k∈Z)．
(3)由y＝sin知，
x
0




π
y
－
－1
0
1
0
－
故函数y＝f(x)在区间[0，π]上图像是